1、PAGE 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.已知向量a=4e1-25e2,b=e1-110e2,則()A.a,b一定共線B.a,b不一定共線C.只有當(dāng)e1,e2不共線時,a,b才共線D.只有當(dāng)e1,e2為不共線的非零向量時,a,b才共線2.O為空間任意一點(diǎn),若OP=34OA+18OB+18OC,則A,B,C,P四點(diǎn)()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷3.(2013重慶高二檢測)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中點(diǎn),F是A1B的中點(diǎn),且DF=AB+AC,則()A.=12,=-1B.=-12,=1C.=1,=-12D.=-

2、1,=124.設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足OP=mOA+nOB,其中m+n=1,則()A.點(diǎn)P一定在直線AB上B.點(diǎn)P一定不在直線AB上C.點(diǎn)P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上D.AB與AP的方向一定相同5.若a,b是平面內(nèi)的兩個向量,則()A.內(nèi)任一向量p=a+b(,R)B.若存在,R使a+b=0,則=0C.若a,b不共線,則空間任一向量p=a+b(,R)D.若a,b不共線,則內(nèi)任一向量p=a+b(,R)二、填空題(每小題8分,共24分)6.非零向量e1,e2不共線,若向量ke1+e2與e1+ke2共線,則k=.7.已知O是空間任一點(diǎn),A,B,C,D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線,但四點(diǎn)共面,

3、且OA=2xBO+3yCO+4zDO,則2x+3y+4z=.8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),則x=,y=.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖,已知四邊形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求證:MN平面CDE.10.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對平面ABC外一點(diǎn)O,當(dāng)OP=2OA-OB-OC時,點(diǎn)P是否與A,B,C共面?11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示,若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)H為PC上的點(diǎn),且PHHC=12,點(diǎn)G在

4、AH上,且AGAH=m,若G,B,P,D四點(diǎn)共面,求m的值.答案解析1.【解析】選A.a=4e1-25e2,b=e1-110e2,a=4(e1-110e2)=4b,a,b一定共線.2.【解析】選B.34+18+18=1,根據(jù)向量共面定理,A,B,C,P四點(diǎn)共面.3.【解析】選A.DF=DC+CB+BF=12C1C+CB+12BA1=-12AA1+(AB-AC)+12(AA1-AB)=(1-12)AB-AC=12AB-AC=AB+AC,=12,=-1.4.【解題指南】考查點(diǎn)P是否在直線AB上,只需考查AP與AB是否共線.解決本題的關(guān)鍵是利用條件m+n=1把判斷三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為判斷AP與AB是否

5、共線.【解析】選A.已知m+n=1,則m=1-n.OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOBOP-OA=n(OB-OA)AP=nAB,因?yàn)锳B0,所以AP和AB共線,即點(diǎn)A,P,B共線,故選A.5.【解析】選D.當(dāng)a與b是共線向量時,A不正確;當(dāng)a與b是相反向量,=0時,a+b=0,故B不正確;若a,b不共線,則平面內(nèi)的向量都可用a,b表示,對空間向量則不一定適合,故C不正確,D正確,故選D.6.【解析】ke1+e2與e1+ke2共線,存在實(shí)數(shù)使得ke1+e2=(e1+ke2)成立.e1,e2不共線,k=,1=k,k=1.答案:1【舉一反三】若本題條件改為:設(shè)e1,e2是空間兩個不共線

6、的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,且A,B,D三點(diǎn)共線.所求問題不變,結(jié)果如何?【解析】A,B,D三點(diǎn)共線,向量AB與BD共線,于是存在實(shí)數(shù),使AB=BD,即AB=(CD-CB),2e1+ke2=(2e1-e2)-(e1+3e2)(2-)e1+(k+4)e2=0,e1,e2不共線,2-=0且k+4=0,得k=-8.答案:-87.【解析】A,B,C,D共面,OA=OB+BC+BD=OB+(OC-OB)+(OD-OB)=(1-)OB+OC+OD=(+-1)BO-CO-DO=2xBO+3yCO+4zDO,2x+3y+4z=(+-1)+(-)+(-)=-1.答案

7、:-18.【解析】AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14(A1B1+A1D1)=AA1+14(AB+AD),對比系數(shù)可得x=1,y=14.答案:1149.【證明】MN=MB+BA+AN=13DB+BA+13AE=13(DC+CB)+BA+13(AD+DE)=13DC+13CB+CD+13AD+13DE=23CD+13DE.又CD與DE不共線,根據(jù)共面向量定理,可知MN,CD,DE共面.因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi),所以MN平面CDE.【拓展提升】利用向量法證明線面平行的技巧(1)用向量法證明直線與平面平行一般有兩種方法:一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個向量平行;二是證明直線的

8、方向向量和平面內(nèi)的兩個不共線的向量共面.(2)線面平行的證明方法包含著證明空間線與線,面與面平行的方法.【變式備選】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點(diǎn).求證:平面EFG平面AB1C.【證明】設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則EG=ED1+D1G=12(a+b),AC=a+b=2EG,EGAC,EF=ED1+D1F=12b-12c=12(b-c),B1C=B1C1+C1C=b-c=2EF,EFB1C.又EG與EF相交,AC與B1C相交,平面EFG平面AB1C.10.【解析】若P與A,B,C共面,則存在惟一的實(shí)數(shù)對(x,y)使AP=xAB+yAC,于是對平面ABC外一點(diǎn)O,有OP-OA=x(OB-OA)+y(OC-OA),OP=(1-x-y)OA+xOB+yOC,比較原式得1-x-y=2,x=-1,y=-1,此方程組無解,這樣的x,y不存在,所以A,B,C,P四點(diǎn)不共面.11.【解析】連接BD,BG.AB=PB-PA,AB=DC,DC=PB-PA,PC=PD+DC,PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.PHHC=12,PH=13PC,PH=13(-PA+PB+PD)=-13PA+13PB+13PD.又AH=PH-PA,AH=-