1、函數(shù)的周期性與圖象(t xin)變換一、函數(shù)(hnsh)的周期性 定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在常數(shù)T0，使得(sh de)當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f(x+T)=f(x)成立，稱y=f(x)為周期函數(shù)，T為周期函數(shù)f(x)的周期. 若函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)且有一個(gè)周期為T(T0)，則T的非零整數(shù)倍即nT(nZ, n0)都是f(x)的周期. 例1若函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且滿足f(x-1)=f(x+1)，求證：f(x)是周期函數(shù). 證明：f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)xR時(shí)，x+1R, 由已知f(x+1)=f(x-1)有f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)即f(x+2)=f

2、(x) 由周期函數(shù)的定義可知，y=f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是2. 例3設(shè)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)=x, 則f(7.5)=( ) A、0.5 B、-0.5 C、1.5 D、-1.5 解法1：由已知f(x+2)=-f(x)依次地把7.5逐步地降下去即f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=-f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=-f(-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.故選B. 解法2：f(x)定義域?yàn)?-,.+)xR, x+2R, f(x+4)=f(x+2

3、+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x)f(x)是以4為周期的函數(shù)， 因此，8也是f(x)的一個(gè)周期，f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 二、函數(shù)圖象的幾何變換 （一）平移變換 由y=f(x)y=f(x+a)+b，分為橫向平移與縱向平移. 1橫向平移：由y=f(x)y=f(x+a) 2縱向平移：由y=f(x)y=f(x)+b （二）伸縮變換 由y=f(x)y=Af(x) (A0,0) 分為橫向與縱向伸縮，其變換過程可表示為： y=f(x)y=f(x) y=Af(sx) （三）對稱變換 1關(guān)于x軸對稱：y=f(x)與y=-f(x)，其解析式的特征是：

4、用-y代y，解析式能由一個(gè)變成另一個(gè). 2關(guān)于y軸對稱：y=f(x)與y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一個(gè)變成另一個(gè). 3關(guān)于原點(diǎn)對稱：y=f(x)與y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分別代x，y，解析式能由一個(gè)變成另一個(gè). 4關(guān)于直線y=x直線對稱：y=f(x)與y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一個(gè)變成另一個(gè). （四）絕對值變換有兩種：y=|f(x)|與y=f(|x|) 1由y=f(x)y=|f(x)| ，由絕對值的意義(yy)有：y=|f(x)|= 即：(1)留住x軸上方(shn fn)的圖象 (2)翻折，將x軸下方的圖

5、象沿x軸對稱上去 (3)去掉x軸下方的圖象 2由y=f(x)y=f(|x|) ，由絕對值的意義(yy)有：y=f(|x|)= 即 (1)留住y軸右側(cè)的圖象 (2)去掉y軸左側(cè)的圖象 (3)翻折：將y軸右側(cè)的圖象沿y軸對稱到y(tǒng)軸左側(cè). 例3（97年全國高考題）將函數(shù)y=2x的圖象（）再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象. A、先向左平移1個(gè)單位B、先向右平移1個(gè)單位 C、先向上平移1個(gè)單位D、先向下平移1個(gè)單位 解答：這里函數(shù)y=log2(x+1)的圖象不是函數(shù)y=2x的圖象進(jìn)行的指定平移變換的結(jié)果，依題意，這個(gè)平移變換的結(jié)果是函數(shù)y=log2(x+1)的反函數(shù)的

6、圖象，而函數(shù)y=log2(x+1)的反函數(shù)是y=2x-1，于是，選D. 窗體底端三、函數(shù)奇偶性的認(rèn)知與延伸一、 關(guān)于偶函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知與延伸1、原型：函數(shù)f()為偶函數(shù) 函數(shù)f()的圖像關(guān)于y軸對稱. 關(guān)系式：f() =f()，即f(0) =f(0)對稱軸：=02、延伸（1）延伸之一：函數(shù)圖象自身關(guān)于直線=a對稱我們由上述對對稱軸=0展開聯(lián)想：直線=0可視為直線=a的特例. （2）延伸二：兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線=對稱.（）原型：函數(shù)y=()與y=()的圖象關(guān)于直線(zhxin)=0對稱 結(jié)論(jiln)2： 結(jié)論(jiln)3：結(jié)論4： 例1.設(shè)f()是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線=2對稱，

7、已知當(dāng)-2，2時(shí)，f()=+，求當(dāng)-，2時(shí)的f()的解析式.解：由函數(shù) f()的圖象關(guān)于直線 =2對稱知，對任意都有f(-)= f(+4)（為便于與“f()為偶函數(shù)”這一條件建立聯(lián)系而作出這一選擇）又f() 為偶函數(shù) f(-) =f()由以上兩式得 f(+4) =f() f()為周期函數(shù)且4是 f()的一個(gè)周期.而當(dāng)-，2時(shí)4+-2，2由已知條件得 f(4+) =-(+4)2+1 于是由，得 f() =-(+4)2+1，即當(dāng)-，2時(shí)，f()= -8-15例2.設(shè)f()是定義在R上的偶函數(shù)，且 f(+3) =1-f()，又當(dāng)（0，1時(shí)，f()=2，求f(17.5)的值.解：從進(jìn)一步認(rèn)知f()的性

8、質(zhì)切入.f(+3)=1- f() 注意到的任意性，在中以-替代得f(-+3)=1- f(-) 又f()為偶函數(shù) f(-)= f() 由、得f(3-)= f(3+) f()圖象關(guān)于直線=3對稱 f(-)= f(6+)由、得f(+6)= f()即f()是以6為周期的周期函數(shù).于是有f(17.5)=f(17.536)=f(0.5)=f(0.5) 再注意到當(dāng)x (0,1時(shí)，f(x)=2x,由得f(17.5)=f(0.5)=20.5=1二.關(guān)于(guny)奇函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)知與延伸1、原型(yunxng)：函數(shù)f(x)為奇函數(shù) 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(guny)原點(diǎn)對稱.即 對函數(shù)定義域內(nèi)每一個(gè)x都有f

9、( x)= f(x) 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱. 關(guān)系式：f() = - f()，即f(0) = - f(0)，對稱中心：（0，0）2、延伸（1）延伸之一:函數(shù)圖象自身關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱點(diǎn)(0,0)可視為點(diǎn)(a,0)的特例,以a-x,a+x分別代替上面函數(shù)關(guān)系式中的0-x與0+x,便得出作為原型引申的結(jié)論1.結(jié)論1. 結(jié)論2. 結(jié)論3. （2）延伸之二: 兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)中心對稱原型：函數(shù)(hnsh)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 結(jié)論(jiln)1. 結(jié)論(jiln)2. 結(jié)論3. 結(jié)論4. 例3.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3,且函數(shù)f(

10、x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對稱,已知當(dāng)x 2,3時(shí)f(x)= 2x,求當(dāng)x 1,2時(shí),f(x)的解析式.解:由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱得f(x)=-f(4-x)又當(dāng)x 1,2時(shí),4-x 2,3,再由已知條件得f(4-x)=(4-x) -2(4-x) 由得f(x)=- (x- 4) +2(4-x)當(dāng)x 1,2時(shí),f(x)=-x +6x-8例4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)= f(20+x),試判斷f(x)的奇偶性與周期性.解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x) f(-x)=f(20+x)另一方面,f(20-x)