1、平行線測試卷平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形.練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對(duì)邊、桌面的對(duì)邊、教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線段.正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí).正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象.歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何（羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何），它們?cè)谑谷藗冋J(rèn)識(shí)宇宙空間中起著非常重要的作用.現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直

2、線與這條直線平行”.在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理.下面我們舉例說明這些知識(shí)的應(yīng)用.例1如圖118,直線a/b,直線AB交a與b于A,B,CA平分/1,CB平分/2,求證：/C=90°圖1-10分析由于a/b,/1,/2是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此/1+/2=180".那么?（Z1+Z2）=90，問題在于如何使:N1+J/2與/cffl等，這必須通過輔助線將轉(zhuǎn)移到C點(diǎn).為此，過C點(diǎn)作直線l,使l/a（或b）即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移.B圖1-19證過C點(diǎn)作直線l,使l/a（圖119）.因?yàn)閍/b,所以b/l,所以/1+/2=180°（同側(cè)內(nèi)角互

3、補(bǔ)）.因?yàn)锳C平分/1,BC平分/2,所以ZCAE=-ZLZCBF=-Z2.22又/3=/CAEZ4=ZCBF（內(nèi)錯(cuò)角相等），所以Z3+Z4=/CAE+CBF二工（Z1+Z2）=-X180"=90°.22說明做完此題不妨想一想這個(gè)問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a,b被直線AB所截（如圖120所示），CACB分別是/BAE與/ABF的平分線，若/C=90°,問直線a與直線b是否一定平行？”圖H2O由于這個(gè)問題與上述問題非常相似（將條件與結(jié)論交換位置），因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解.例2如圖121所示，AA/BA求/A-/B+/A.圖L21分析本題對(duì)/

4、A,/A,/B的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無關(guān).也就是說，不管/A,/A,/B的大小如何，答案應(yīng)是確定的.我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即/A+/A=/B.猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明.式給我們一種啟發(fā)，能不能將/B一分為二使其每一部分分別等于/A與/A.這就引發(fā)我們過B點(diǎn)引AA（從而也是BA）的平行線，它將/B一分為二.圖1-22證過B弓IBE/AA,它將/ABA分成兩個(gè)角：/1,/2（如圖122所示）.因?yàn)锳A/BA,所以BE/BA.從而Z1=ZAi,/2=/A（內(nèi)錯(cuò)角相等），所以/B=/1+/2=/A+/A,即/A-/B+

5、/A=0.圖1-23說明（1）從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)在于AA/BA,它與連接A,A兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖123所示.連接A,A之間的折線段增加到4條：AB,BA,AB,BA3,仍然有/A+/A+/A3=/B+/B.（即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即/A-/B+/A-/B+/A3=0.進(jìn)一步可以推廣為/A-/B+/A-/B+-/B-1+/A=0.這時(shí)，連結(jié)A,A之間的折線段共有n段AB,BA,&A（當(dāng)然，仍要保持AA/BA）.推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況.（2）這

6、個(gè)問題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問題.問題1如圖124所示./A+/A=/B,問AA與BA是否平行?圖1-24問題2如圖125所示.若/Ai+/A+-+/A=/B+/+/B-i,問AA與BA是否平行?這兩個(gè)問題請(qǐng)同學(xué)加以思考.例3如圖126所示.AE/BD/1=3/2,Z2=25,求/C.分析利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如/1=/DFC或/AFB若能將/1,/2,/C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過的了，過F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo).解過F至ijFG/CB交AB于G,則ZC=ZAFG同位角相等）,/2=/BFG的錯(cuò)角相等）.因?yàn)锳E/BD所以/1=/B

7、FA（內(nèi)錯(cuò)角相等）,所以ZC=ZAFG=/BFA-ZBFG=/1-/2=3/2-/2=2/2=50°.說明(1)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧.(2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識(shí)后，可有以下較為簡便的解法：/1=/DFC=C+/2,即/C=/1-/2=2/2=50°.例4求證：三角形內(nèi)角之和等于180°.分析平角為180°.若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問題即可解決，下面方法是最簡單的一種.圖1-27證如圖127所示，在ABC中，過A引l/BC則/B=/1,/C=/2(內(nèi)錯(cuò)角相

8、等).顯然/1+/BAC+2=平角，所以/A+/B+/C=180.說明事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論.如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過，解法將較為麻煩.同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法.例5求證：四邊形內(nèi)角和等于3600.分析應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角.在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程.ffl1-29證如圖128所示，四邊形ABCLfr,過頂點(diǎn)B弓IBE/AD,BF/CR并延長AB,

9、CB到H,G.則有/A=G2(同位角相等),CD=/1(內(nèi)錯(cuò)角相等)，C1=/3(同位角相等)./C=/4(同位角相等),又/ABC理/B尸/GBH(寸頂角相等).由于/2+/3+Z4+ZGBH=360,所以/A+/B+/C+/D=360.說明(1)同例3,周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變.(2)總結(jié)例3、例4,并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：三角形內(nèi)角和=180°=(3-2)X180°,四邊形內(nèi)角和=360°=2X180°=(4-2)X180°.人們不禁會(huì)猜想：五邊形內(nèi)角和=(5-2)X180°=540&

10、#176;,n邊形內(nèi)角和=(n-2)X180°.這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡單.(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法.例6如圖129所示.直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A,B,C,且AB/l,BC/l.求證：A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.2乂1圖1-29分析A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為/ABC平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180。即可，考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條

11、件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處.證過B作直線BD,交l于D.因?yàn)锳B/l,CB/l,所以/1=/ABD/2=/CBD的錯(cuò)角相等）.又/1+/2=180°,所以/ABD+CBD=180,即/ABC=180=平角.A,B,C三點(diǎn)共線.思考若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個(gè)點(diǎn)A1,A2,，An-1,An,且有AiAi+1/l（i=1,2,，n-1）.是否還有同樣的結(jié)論？例7如圖130所示./1=/2,/D=90,EF,CD求證：/3=/B.分析如果/3=/B,貝U應(yīng)需EF/BC又知/1=/2,貝U有BC/AD.從而，應(yīng)有EF/AD.這一點(diǎn)從條件EF±CD及/D=90°不難獲得.證因?yàn)?1=/2,所以AD/BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.因?yàn)?D=90及EF±CD所以AD/EF（同位角相等，兩直線平行）.所以BC/EF（平行公理），所以/3=/B（兩直線平行，同位角相等）.練習(xí)十二1.如圖1-31所示.和/DEG100'c圖t-312.如圖1-32所示./EDCffi/BDO度數(shù).CD是/ACB勺平分線，/ACB=40,/B=70