1、第二講有限差分方法基本原理有限差分方法基本原理1有限差分方法概述有限差分方法概述2有限差分法概述有限差分法概述 22xutu1. 差分差分方法方法Ttx0 , 10離散點上利用離散點上利用Taylor展開，把展開，把微分微分轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成差分差分! 2221xxuxuuxujjjj)(1xOxuuxujjj111112121njnjnjnjnjuuuxtuu j-2 j-1 j j+1 .)(! 31)(! 21)(3332221xxuxxuxxuuujjjjj)(2211xOxuuxujjj（等距網(wǎng)格）（等距網(wǎng)格）多維問題，各方向獨自離散；（時間同樣考慮）多維問題，各方向獨自離散；（時間同樣考

2、慮）)(1tOtuutunjnjnj比有限體積法計算量??；比有限體積法計算量小；便于構(gòu)造高階格式便于構(gòu)造高階格式；23311)(! 312xxuxuuxujjjj3基本概念：基本概念： a. 差分表達式及截斷誤差差分表達式及截斷誤差:截斷誤差截斷誤差差分表達式差分表達式（1階）（2階）b. 前差、后差、中心差前差、后差、中心差 j-2 j-1 j j+1 前前)(1xOxuuxujjj前差前差)(2211xOxuuxujjj中心差中心差)(1xOxuuxujjj后差后差其他：其他： 向前（后）偏心差分向前（后）偏心差分； 后后c.差分方程差分方程 經(jīng)差分離散后的方程，稱為差分方程經(jīng)差分離散后的

3、方程，稱為差分方程 精度精度如何確定精度？如何確定精度？ 1） 理論方法，理論方法， 給出誤差表達式給出誤差表達式 2）數(shù)值方法，）數(shù)值方法， 給出誤差對給出誤差對 的數(shù)值依賴關(guān)系的數(shù)值依賴關(guān)系x011xuuatuunjnjnjnj0 xuatu微分方程微分方程差分方程差分方程xxuxuuxujjjj221! 2123311)(! 312xxuxuuxujjjjxxuattuTEnjnj2222! 2! 21截斷誤差：截斷誤差：4d. 顯格式及隱格式顯格式及隱格式顯格式：顯格式： 無需解方程組就可直接計算無需解方程組就可直接計算n+1層的值；層的值；隱格式：隱格式： 必須求解方程組才能計算必須

4、求解方程組才能計算n+1層的值層的值011xuuatuunjnjnjnj01111xuuatuunjnjnjnje. 守恒型差分格式守恒型差分格式基本思想：基本思想： 保證（整個區(qū)域）積分守恒律嚴格滿足保證（整個區(qū)域）積分守恒律嚴格滿足 0 xuftu 定義：對于定義：對于上述上述守恒型方程守恒型方程，差分格式，差分格式njnjnjnjgghuu21211稱為守恒型差分格式。稱為守恒型差分格式。),(2121nljnljnljnjuuugg其中：nnNnjnjNjgggg2/12121211特點：特點： 消去了中間點上的值，只保留兩端消去了中間點上的值，只保留兩端物理含義：物理含義： 只要邊界

5、上沒有誤差，只要邊界上沒有誤差，總體積分總體積分方程方程不會有任何誤差。不會有任何誤差。1njju如果如果 是準(zhǔn)確的，則是準(zhǔn)確的，則 也是準(zhǔn)確的也是準(zhǔn)確的 （假設(shè)邊界條件沒有誤差）（假設(shè)邊界條件沒有誤差）njju守恒性的例子：守恒性的例子： 環(huán)形管道里的流動環(huán)形管道里的流動 總質(zhì)量保持不變總質(zhì)量保持不變 早期 極為強調(diào)守恒性 最近 重新認識5關(guān)于守恒性格式的一些注解關(guān)于守恒性格式的一些注解 xffxfjj2/12/1中的符號中的符號 2/1jf與函數(shù)與函數(shù)f 在在 點的值點的值無關(guān)無關(guān)！2/1j),.,(12/1ljljljjuuuff是是j點周圍幾個點上點周圍幾個點上 f (或者或者u)值的

6、函數(shù)，值的函數(shù)， 為一記號，請勿理解為為一記號，請勿理解為j+1/2點的值點的值 ！1）2） 常系數(shù)線性格式都是守恒的常系數(shù)線性格式都是守恒的)(126154132231jjjjjjjfafafafafafaxxf例如，差分格式：等價于xffxfjjj2/12/1其中2514312212/1jjjjjjfbfbfbfbfbf,.)3 , 2(;111kabbabkkk守恒方程守恒方程+ 守恒格式守恒格式= 守恒解守恒解67f. 傳統(tǒng)型（非緊致）差分格式及緊致型差分格式傳統(tǒng)型（非緊致）差分格式及緊致型差分格式傳統(tǒng)型：傳統(tǒng)型： 運用多個點函數(shù)值的組合逼近運用多個點函數(shù)值的組合逼近一點的導(dǎo)數(shù)一點的導(dǎo)

7、數(shù) j-2 j-1 j j+1 123121.mkjmkjkjkjjfafafafaxfxfffjjj/ )(1xfffffffjjjjjjj60/ )3302060152(21123緊致型：緊致型： 多個點函數(shù)值的組合逼近多個點函數(shù)值的組合逼近多個點導(dǎo)數(shù)值的組合多個點導(dǎo)數(shù)值的組合11122134152jjjjjjjjFFFa fa fa fa fa fxffffFFFjjjjjjj36/)()(28(3/13/1221111例：例：例：例：xffFFFjjjjj2/ )( 34/14/11111xfffffFFjjjjjjj120/ )1236443(5/35/221111jjxfF聯(lián)立求解

8、聯(lián)立求解 ， 多對角方程多對角方程 追趕法求解（追趕法求解（LU分解法）分解法）jF 緊致格式：緊致格式： 同樣的基架點，可構(gòu)造更高階格式同樣的基架點，可構(gòu)造更高階格式 （因為自由參數(shù)更多）（因為自由參數(shù)更多） （最高）精度（最高）精度=自由參數(shù)個數(shù)自由參數(shù)個數(shù)-12. 構(gòu)造差分格式的基本方法構(gòu)造差分格式的基本方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法)(31431221Ouauauauaxujjjjj j-2 j-1 j j+1)()(! 31)(! 21)()()(! 31)(! 21)()()2(! 31)2(! 21)2(43)3(2143)3(2143)3(22 OuuuuuOuuuuuOuuuuu

9、jjjjjjjjj)(! 3/)10) 1()2(! 2/)10) 1()2()02()(4343332313)3(242322212432143211431221 Oaaaauaaaauaaaauaaaauuauauauajjjjjjjj0)1 (0)1()2(0)1 (0)1()2(1)1 (0)1()2(0)1 ()1()2(4333231342322212413121114032010aaaaaaaaaaaaaaaa3 , 2 , 1 , 0)3(41kbajjkjkotherkbk01/1解出解出akxffxfjjj2/12/1 （可選）化成守恒型（可選）化成守恒型小程序：小程序：

10、求系數(shù)求系數(shù)8) 1 . 3()(.123121mmkjmkjkjkjjOuauauauaxu更一般的情況：更一般的情況： m+1個基架點上構(gòu)造的個基架點上構(gòu)造的m階差分格式：階差分格式：要善于用數(shù)值計算的手段要善于用數(shù)值計算的手段研究研究CFD ， 不能僅限于不能僅限于用理論手段研究用理論手段研究CFD !基架點基架點 （stencil ）3. 復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法1） 一維情況：一維情況： 非均勻網(wǎng)格非均勻網(wǎng)格 方法方法1 （常用）：（常用）： 網(wǎng)格（網(wǎng)格（Jacobian）變換）變換 j-2 j-1 j j+1 非均勻網(wǎng)格)(xx )1/()1(Nii0,1的均勻網(wǎng)格的均

11、勻網(wǎng)格)(iixxdxdfxf 將方程由物理空間變到計算空間將方程由物理空間變到計算空間 （以（以x 為自變量變?yōu)橐詾樽宰兞孔優(yōu)橐?為自變量）為自變量）dxd為已知函數(shù)為已知函數(shù))(xx 常用的一維坐標(biāo)變換函數(shù)：常用的一維坐標(biāo)變換函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 雙曲正切函數(shù)雙曲正切函數(shù)9)tanh(/ )tanh(gjgjbbx物理坐標(biāo)物理坐標(biāo) 計算坐標(biāo)計算坐標(biāo) 要求：要求： 坐標(biāo)變換必須足夠坐標(biāo)變換必須足夠光滑，否則會降低精度光滑，否則會降低精度網(wǎng)格間距變化要緩慢，否則網(wǎng)格間距變化要緩慢，否則會帶來較大誤差會帶來較大誤差方法方法2） 在非等距網(wǎng)格上直接構(gòu)造差分格式在非等距網(wǎng)格上直接構(gòu)造差分格式 j

12、-2 j-1 j j+1 )(31431221Ouauauauaxujjjjj4131)3(21114131)3(21114232)3(2222)()(! 31)(! 21)()()(! 31)(! 21)()()(! 31)(! 21)(jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxOxxuxxuxxuuuxxOxxuxxuxxuuuxxOxxuxxuxxuuu 原理：原理： 直接進行直接進行Taylor展開，構(gòu)造格式展開，構(gòu)造格式 格式系數(shù)是坐標(biāo)（或網(wǎng)格間距）的函數(shù)格式系數(shù)是坐標(biāo)（或網(wǎng)格間距）的函數(shù)0)(0)()(0)(0)()(1)(0)()(0)()()(431

13、3323113242132221122411312111124013201102axxaaxxaxxaxxaaxxaxxaxxaaxxaxxaxxaaxxaxxjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj解出系數(shù)解出系數(shù)jjjjaaaa4321,注：注： 系數(shù)隨網(wǎng)格點系數(shù)隨網(wǎng)格點(j)變化！變化！10 網(wǎng)格非光滑、間距劇烈變化不會降低精度；網(wǎng)格非光滑、間距劇烈變化不會降低精度； 隨機網(wǎng)格都可保證精度隨機網(wǎng)格都可保證精度2） 二維二維/三維情況三維情況坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 均勻的直角網(wǎng)格均勻的直角網(wǎng)格RAE2822翼型周翼型周圍的網(wǎng)格圍的網(wǎng)格),(),(),(zzyyxx123123UfffVV

14、Vtxyzxyz ,TUuvw E 21, ()Tfuupuvuw u Ep),(),(zyxxxxfffxf1111三個方向共需計算三個方向共需計算9次導(dǎo)數(shù)，次導(dǎo)數(shù)，計算量大計算量大yyyfffyf2222zzzfffzf3333對流項可組合，求對流項可組合，求3次導(dǎo)數(shù)即可次導(dǎo)數(shù)即可321321VVVffftUUJU1),(),(1zyxJ)(32111fffJfzyx)(32112fffJfzyx)(32113fffJfzyx11.0)()()(111xxxJJJ4. 時間項的離散時間項的離散1）直接離散法）直接離散法 把時間導(dǎo)數(shù)直接差分離散把時間導(dǎo)數(shù)直接差分離散 0 xuftu0)(1n

15、xnnuftuu0)(11nxnnuftuu0)()(2111nxnxnnufuftuu1階階Euler顯格式顯格式1階階Euler隱格式隱格式2階階Crank-Nicolson格式格式0)()1 ()(11nxnxnnufuftuu2） Runge-Kutta 格式格式)(ULtU目前最常使用的：目前最常使用的：3步步3階階TVD型型R-K)( 3/23/1)( 4/14/3)()2()2(1)1()1()2()1(UtLUUUUtLUUUUtLUUnnnnn推薦！推薦！半離散格式半離散格式!12 在某一點進行在某一點進行Taylor展開，構(gòu)造格式展開，構(gòu)造格式3） 時時-空耦合離散空耦合離

16、散0 xuctun+1nj-1 j j+1),(txu 蛙跳格式蛙跳格式 0 xuftu0221111xfftuunjnjnjnjn,jLax-Wandrof格式格式cucxtuuxtcuuxxnjnjnjnj2111212njnjnjnjnjffxtuuu112121212212121211njnjnjnjffxtuu半隱錯點格式半隱錯點格式022)(11111njnjnjnjnjnjuuuuxctuunjnjnjnjffxtuu11MacCormack格式格式1111121)(21njnjnjnjnjffxtuuu135 特征理論與差分格式特征理論與差分格式，CFL條件條件特征性質(zhì)是雙曲型

17、方程的重要特點。在構(gòu)造差分格式是考慮到微特征性質(zhì)是雙曲型方程的重要特點。在構(gòu)造差分格式是考慮到微分方程的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)，有助于得到性態(tài)較好的差分格式。分方程的數(shù)學(xué)物理性質(zhì)，有助于得到性態(tài)較好的差分格式。 j-3 j-2 j-1 j j+1 n+1n000方程的特征線為，沿特征線?？紤]的情形，參考上圖，我們知道：uuaxatcuconstatxa1(,(1)(,)njjOPjuu xntuuu xa t n t 由于P點一般不在網(wǎng)格點上，P點的值必須由A、B、C等各點通過插值來獲得。141）采用B，C兩點線性插值，得令，上式為tcaxCBPBuuuuxa tx 111nnjjnnjjuuuuxa

18、tx 111nnnjjjuc ucu110nnnnjjjjuuuuatx. . .()()01(0)LT EOxtca 這就是所謂的迎風(fēng)格式。其截斷誤差為，穩(wěn)定性條件 j-3 j-2 j-1 j j+1 152DBPBuuuuxa tx 11111122nnnnnjjjjjcuuuuu111111()202nnnnnjjjjjuuuuuatx. . .()()1LT EOxtc Lax格式的截斷誤差為，穩(wěn)定條件是2）采用）采用B,D兩點進行線性插值兩點進行線性插值該格式稱為Lax格式（或LaxFriedrichs格式）。即或 j-3 j-2 j-1 j j+1 163)采用采用A.B.C.三點

19、進行二次插值。三點進行二次插值。 212(), (), ()取二次曲線，滿足oAABBCCu xaa xa xu xu u xu u xu22222CAACBPBuuuuuuuxa txa txx 201212,oa a au xaa xa x定出系數(shù)。把P點坐標(biāo)代入，得到：21122112122123422234222nnnnnnnnjjjjjjjjnnnnnjjjjjnnnjjjccuuuuuuuuuuuuuatauuutxx。. . .()() )02LT EOxtc 22Warming Beam格式的截斷誤差為穩(wěn)定條件是（a0）該格式稱為WarmingBeam格式。 j-3 j-2 j

20、-1 j j+1 174)采用采用B，C，D三點進行二次插值三點進行二次插值 212(), (), ()取二次曲線，滿足oBBCCDDu xaa xa xu xu u xuu xu 201212,oa a au xaa xa x定出系數(shù)。把P點坐標(biāo)代入，得到：22222BDCDBPBuuuuuuua ta txx 2111111211112222222nnnnnnnjjjjjjjnnnnjjjjnnnjjjccuuuuuuuuuuuatauuutxx。. . .()() )1LT EOxtc 22Lax Wendroff格式的截斷誤差為穩(wěn)定條件是該格式稱為LaxWendroff格式。 j-3

21、j-2 j-1 j j+1 180(通過上面的幾個格式的構(gòu)造，我們可以看出：(1) 當(dāng)時，用及其左側(cè)的點進行插值，得到的是迎風(fēng)型格式 Warming-Beam可以看作二階迎風(fēng)格式)，其穩(wěn)定性條件與a的正負有關(guān)；(2)當(dāng)用及與之對稱的點進行插值，得到的是中心型格式，此時，其穩(wěn)定性條件與a正負無關(guān)。njnjauu0重要現(xiàn)：當(dāng)差分格式穩(wěn)定時，P點必然在插值點的中間， 即由插值點內(nèi)插出P點的值，差分格式才可能是穩(wěn)定的?？梢则炞C，當(dāng)P點的值由插值點外推得到時，格式必然不穩(wěn)定，如，可以用C，D外推出P點的值，此時得到的所謂的順風(fēng)格式，該格式無條件不穩(wěn)定。這種現(xiàn)象有一般意義,稱為：Courant-Fried

22、richsLewy(CF件象L)條：a 19定理：雙曲型方程的差分格式收斂（在定理：雙曲型方程的差分格式收斂（在Lax等價性定理滿足時等價性定理滿足時亦即穩(wěn)定）的必要條件是差分格式的依賴域包含微分方程的依亦即穩(wěn)定）的必要條件是差分格式的依賴域包含微分方程的依賴域。賴域。一階迎風(fēng)(a0)差分格式依賴域差分格式依賴域CFL條件條件01c穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件01c差分格式差分格式Warming-Beam（a0）02c02cEuler顯式1c 無條件不穩(wěn)定：CFL數(shù)a tcx01/tax20差分方法理論基礎(chǔ)差分方法理論基礎(chǔ)21 1） 相容性：相容性： 當(dāng)差分方程中當(dāng)差分方程中 ，時間與空間步長均趨近于，時

23、間與空間步長均趨近于0 時，差分方程的時，差分方程的截斷誤差截斷誤差也趨近于也趨近于0，則稱差分方程與原微分方程是，則稱差分方程與原微分方程是相容相容的。的。差分差分方法理論基礎(chǔ)方法理論基礎(chǔ)2）收斂性：）收斂性：0lim0,uuhtxL2 模：212)()(dxxuxu 模：)(max)(xuxuxLxuxujjh2)(jjhuxumax)(22 當(dāng)時間與空間步長均趨近于當(dāng)時間與空間步長均趨近于0 時，差分方程的時，差分方程的解解趨近于微分方程的解，趨近于微分方程的解，則稱差分方程的解則稱差分方程的解收斂收斂于原微分方程的解。于原微分方程的解。注意！注意！ 方程互相趨近方程互相趨近 解互相趨近

24、解互相趨近（多值性、奇異性多值性、奇異性 ）)()(lim00 xfxfxx不一定等于不一定等于只有連續(xù)函數(shù)才滿足只有連續(xù)函數(shù)才滿足 （根據(jù)（根據(jù)Lax等價定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的等價定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的情況下，方程趨近才能保證解趨近）情況下，方程趨近才能保證解趨近）含義：含義： 方程趨近方程趨近含義：含義： 解趨近（更強）解趨近（更強）)(),(xuxuh分別為差分方程和微分方程的解1. 相容、收斂、穩(wěn)定性與相容、收斂、穩(wěn)定性與Lax等價定理等價定理相似的例子：3） 穩(wěn)定性穩(wěn)定性：xt 和xt 和0021,exp,txuttcctxuhnnh定義：稱差分方程的初值問題定義：稱差分方程

25、的初值問題是穩(wěn)定的，如果當(dāng)是穩(wěn)定的，如果當(dāng) 做夠小時，存在于做夠小時，存在于 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)C1和和C2使得使得:含義：含義： 在差分方程的求解過程中，如果引入的誤差隨時間的增長有界，在差分方程的求解過程中，如果引入的誤差隨時間的增長有界，則稱差分方程是穩(wěn)定的。則稱差分方程是穩(wěn)定的。234） Lax 等價定理等價定理 如果線性微分方程如果線性微分方程的的初值問題初值問題是適定的，差分方程是相容的，則是適定的，差分方程是相容的，則差分方程解的差分方程解的收斂性收斂性與與穩(wěn)定性穩(wěn)定性是等價的。是等價的。含義：含義： 如果微分方程不出問題（適定），差分方程性質(zhì)好（穩(wěn)定），如果微分方程不出問題（

26、適定），差分方程性質(zhì)好（穩(wěn)定），則則方程逼近方程逼近就可保證就可保證解逼近解逼近。 如果方程逼近就可以導(dǎo)致解逼近，則差分方程的性質(zhì)肯定好（穩(wěn)定）如果方程逼近就可以導(dǎo)致解逼近，則差分方程的性質(zhì)肯定好（穩(wěn)定）2. 差分格式穩(wěn)定性分析方法差分格式穩(wěn)定性分析方法 njnjnjnjuuxcuut1111Fourier分析法：分析法： 基本思想：基本思想： 初始時刻引入單波擾動，考慮其隨時間的變化初始時刻引入單波擾動，考慮其隨時間的變化 原理：原理： 任何擾動都可認為是單波擾動的疊加；任何擾動都可認為是單波擾動的疊加； 線性情況下不同波之間獨立發(fā)展線性情況下不同波之間獨立發(fā)展。 引入單波擾動，帶入差分方程

27、，如果其振幅放大，則不穩(wěn)定；否則穩(wěn)定引入單波擾動，帶入差分方程，如果其振幅放大，則不穩(wěn)定；否則穩(wěn)定00cxuctujikxnnjeG引入單波擾動引入單波擾動：inneGGG11解出放大因子：解出放大因子：)2/(sin)1 (4122G1024xeecGetGGxikikxnikxnnjj)1 (11G穩(wěn)定性條件：對所有穩(wěn)定性條件：對所有 帶入差分方程例例1： 考察右式給出差分格式的穩(wěn)定性考察右式給出差分格式的穩(wěn)定性一些注解一些注解：1,nnGGG 通常為復(fù)數(shù)；通常為復(fù)數(shù)； 可反映可反映振幅及相位；振幅及相位；xtc/ 稱為庫朗數(shù)稱為庫朗數(shù)穩(wěn)定條件：穩(wěn)定條件：xk 有效波數(shù)有效波數(shù)/2PPW

28、一個波里面的網(wǎng)格點數(shù)一個波里面的網(wǎng)格點數(shù)3. 差分方程的修正方程差分方程的修正方程修正方程修正方程 差分方程準(zhǔn)確逼近（無誤差逼近）的方程差分方程準(zhǔn)確逼近（無誤差逼近）的方程0 xuatu011xuuatuunjnjnjnjtttttnjnjnjututtuutu6221差分方程截斷誤差微分方程微分方程=差分方程差分方程+截斷誤差截斷誤差通常要求：通常要求： 修正方程中不出現(xiàn)時間的修正方程中不出現(xiàn)時間的高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)項項 （便于進行空間分析）（便于進行空間分析）25.6221xxxxxnjnjnjuxuxxuuxu2202266txttxxtttxxxta xta xuauuuuu與差分方程等

29、價的微分方程稱為修正方程!表表 1 自循環(huán)消去過程自循環(huán)消去過程 tu xu ttu txu xxu tttu ttxu txxu xxxu （*） 1 a 2t 0 2xa 62t 0 0 62xa *2tt 2t 2a t 0 42t 0 4xta 0 xta2 2a t 22at 0 24a t 0 42xta 22212tt 2121t 122ta 0 0 221(*)3a tt x 231ta 2213at 0 22221(*)34a t xatx 43122xtata 431223xtata 按列求和按列求和 1 a 0 0 12cxa 0 0 0 132622ccxa 22(1)

30、( 231)26txxxxxxa xa xuauc uccua tcx110nnnnjjjjuuuuatx2202266txttxxtttxxxta xta xuauuuuu264 差分格式的耗散和頻散 考慮線性波動方程 的某一差分格式，其修正方程為：0uuatx2lllluuuatxx研究差分格式解的性質(zhì)，相當(dāng)于研究修正方程解的性質(zhì)。 的初值問題存在解析解。設(shè)其初始條件為：2lllluuuatxx0( ,0)( )u xux假定 是周期為 的周期性函數(shù)，則當(dāng)長度為 的區(qū)間劃分為M等分時， 可以展開為離散的Fourier級數(shù)：0( ,0)( )u xuxLL0( ,0)( )u xux/20/

31、2 1( )(0)mMk xmmMuxAei27由由Fourier 級數(shù)級數(shù)的正交性，我們可以只考慮波數(shù)為的正交性，我們可以只考慮波數(shù)為 的分量的分量，此時，上式可以簡寫為mk0( )(0)mk xmuxAei2lllluuuatxx記 的解的波數(shù)為 的分量為：mk( , )( )mk xmu x tA t ei帶入方程 得2( )()( )() ( )mmmk xk xk xlmmmlmmldA tea kA t ekA t edtiiiii2( )()() ( )lmmlmlmdAta kkdtAt ii22() () ln( )()() ( )lmlmllmmlmla kktmdA ta

32、 kkdtA tCe iiii28由初始條件，可知 ，所以(0)mCA2() () ( )(0)lmlmla kktmmA tAeii即2() () ( , )(0)lmmmlmakktk xmu x tAeeiii上式也可以寫為：2222111221( 1) ( 1) ( 1) 2211( , )(0)(0),( 1)lllll mmlmllmlll mlktkxaktkx atmmmktllmlmlu x tAeeAg egeaak其中，ii在相同的初始條件下， 的解為0uuatx( , )(0)mkx atmu x tAei顯然，數(shù)值解的幅值可能隨時間變化，而解析解的振幅不隨時間變化，二

33、者的比值是 。利用 可以分析差分格式的耗散（dissipation）特性。221( 1) lll mlktmgemg29 當(dāng) ，即 時，數(shù)值解的振幅是隨時間衰減的，我們稱差分格式具有正的耗散； 當(dāng) ， 即 時，數(shù)值解的幅值不變，這時稱差分格式具有零耗散。 當(dāng) ，即 時，數(shù)值解的振幅隨時間增長的，我們稱差分格式具有負耗散。 具有負耗散的差分格式是不穩(wěn)定的，具有正耗散的差分格式是穩(wěn)定的，具有零耗散的差分格式是中性穩(wěn)定的。利用這個性質(zhì)，我們也可以通過修正方程進行穩(wěn)定性分析。1mg 221( 1)0lllmlk1mg 221( 1)0lll mlk1mg 221( 1)0lll mlk注意到：只有修正

34、方程中的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)項影響差分格式的耗散特性，我們稱這些項為修正方程中的耗散項。對于一階精度的差分格式，如迎風(fēng)格式，其修正方程耗散項的主項是 ，所以 的符號主要由 決定，即如果差分格式是耗散（正耗散或者中性耗散）的，必須有 。222ux221( 1)lll mlk22030通過考察一階迎風(fēng)格式的修正方程式，差分格式有非負耗散則要求 。這和由Von Neumann方法得到的穩(wěn)定性條件是一致的。22(1)( 231)26txxxxxxa xa xuauc uccu1c 對于二階精度的格式，如LaxWendroff格式， ，所以耗散項的主項是 ， 即如果差分格式是耗散的，必須有 。由LaxWendro

35、ff格式的修正方程可得耗散非負的條件為 ，仍然與Von Neumann方法的結(jié)論相同。20444ux402322(1)(1)68txxxxxxxxa xa xuauc ucc u 1c 一般的，如果修正方程中所有 階項的系數(shù)均為非負，所有 階項的系數(shù)均為非正，則數(shù)值解的振幅不會隨時間增長，差分格式是耗散的。在實際應(yīng)用中，我們常常只考慮主項的影響，如在上面所作的那樣。42 (1,2,)nn4 (1,2,)n n 31差分格式的耗散性質(zhì)，造成數(shù)值解和解析解之間幅值的差別。而數(shù)值解和解析解之間相位的差別，則取決于差分格式的頻散（又稱色散）(dispersion)特性。 為了解釋所謂差分格式的頻散性質(zhì)，我們首先引入相速度的概念。所謂相速度，是指波數(shù)為 波動的傳播速度。顯然，由修正方程的解析解，知道相速度為 。如果相速度與 有關(guān)，稱差分格式有色散（或者頻散）。如果 ，則稱差分格式有正的色散；如果 ，則稱差分格式有負的色散 。 的精確解中，各個波數(shù)的波的傳播速度都是 ，因此，精確解的波形在傳播的過程中保持不變。但是，差分方程的數(shù)值解由于色散的作用，不同波數(shù)的波的傳播速度是不同的，從而造成波形的畸變。mk2211( 1)ll