1、4.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)高考文數(shù)高考文數(shù) (課標(biāo)專用)考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換五年高考A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組課標(biāo)卷題組1.(2016課標(biāo)全國(guó),6,5分)將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個(gè)周期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin26x1424x23x24x23x答案答案D函數(shù)y=2sin的周期為,將其圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin=2sin,故選D.26x4246x23x易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示在三角函數(shù)圖象的平移變換中,“左加右減”是對(duì)x而言的,將x變?yōu)閤-,而不是將2x

2、變?yōu)?x-.442.(2016課標(biāo)全國(guó),3,5分)函數(shù)y=Asin(x+)的部分圖象如圖所示,則()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin26x23x6x3x答案答案A由題圖可知A=2,=-=,則T=,所以=2,則y=2sin(2x+),因?yàn)轭}圖經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以2sin=2,所以+=2k+,kZ,即=2k-,kZ,此時(shí),y=2sin=2sin,故選A.2T362,23232326226xk26x考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2019課標(biāo)全國(guó),8,5分)若x1=,x2=是函數(shù)f(x)=sinx(0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn),則=()A.2B.C.1D

3、.4343212答案答案A本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì);滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng);體現(xiàn)了創(chuàng)新意識(shí).由x1=,x2=是f(x)=sinx兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn),可得=-=,則T=,得=2,故選A.4342T344222.(2018課標(biāo)全國(guó),8,5分)已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,則()A.f(x)的最小正周期為,最大值為3B.f(x)的最小正周期為,最大值為4C.f(x)的最小正周期為2,最大值為3D.f(x)的最小正周期為2,最大值為4答案答案B本題主要考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin

4、2x=4-3=+,f(x)的最小正周期T=,當(dāng)cos2x=1時(shí),f(x)取最大值,為4.故選B.1 cos22x523cos22x解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵是通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.3.(2018課標(biāo)全國(guó),10,5分)若f(x)=cosx-sinx在0,a是減函數(shù),則a的最大值是()A.B.C.D.4234答案答案C本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì).f(x)=cosx-sinx=cos.因?yàn)閒(x)在0,a上是減函數(shù),所以解得0a.故a的最大值是.故選C.24x0,4aa34344.(2018課標(biāo)全國(guó),6,5分)函數(shù)f(x)=的最小正周期為()A.B.C.D.22tan1tanxx42答

5、案答案C本題考查三角函數(shù)的周期.解法一:f(x)的定義域?yàn)?f(x)=sinxcosx=sin2x,f(x)的最小正周期T=.解法二:f(x+)=f(x),是f(x)的周期.f=,而tan=-,f=-f(x),不是f(x)的周期,也不是f(x)的周期.故選C.|,Z2x xkk2sincossin1cosxxxx12222tan()1tan ()xx2tan1tanxx2x2tan21tan2xx2xsin2cos2xxcossinxx1tan x2x2tan1tanxx24方法總結(jié)方法總結(jié)函數(shù)周期的求法:(1)定義法:若f(x+T)=f(x),T0,則T是f(x)的一個(gè)周期.(2)若T是函數(shù)

6、y=f(x)的周期,則kT(kZ且k0)也是y=f(x)的周期.(3)若定義域內(nèi)都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=(f(x)0)或f(x+a)=-(a是常數(shù)且a0,f(x)0),則f(x)是以2|a|為周期的周期函數(shù).(4)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱,則2|a-b|是f(x)的一個(gè)周期;若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱,則2|a-b|是f(x)的一個(gè)周期;若f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對(duì)稱,則4|a-b|是f(x)的一個(gè)周期.1( )f x1( )f x5.(2017課標(biāo)全國(guó),3,5分)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為()A.4B.2C.D.

7、23x2答案答案C函數(shù)f(x)=sin的最小正周期T=.故選C.23x2|6.(2017課標(biāo)全國(guó),6,5分)函數(shù)f(x)=sin+cos的最大值為()A.B.1C.D.153x6x653515答案答案Af(x)=sin+cos=+cosx+sinx=sinx+cosx=2sin=sin,f(x)的最大值為.故選A.153x6x1513sincos22xx3212353 35353x653x65一題多解一題多解cos=cos=sin=sin,f(x)=sin,f(x)max=.故選A.6x6x26x3x653x657.(2015課標(biāo),8,5分)函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖象如圖所示,則f

8、(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ13,44kk132,244kk13,44kk132,244kk答案答案D由題圖可知=-=1,所以T=2,=,又由題圖知f=0,即+=+2k,kZ,得=+2k,kZ,此時(shí)f(x)=cos=cos,kZ,由2kx+2k+,kZ,得2k-x0,A0)的形式,利用函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)涉及sinxcosx,sinxcosx的形式,常采用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)形式求解;(3)形如f(x)=的形式常用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.sincosaxbcxd9.(2017課標(biāo)全國(guó),13,5分)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為.答案答案

9、5解析解析由題意可知f(x)=2cosx+sinx=sin(x+)(tan=2),f(x)的最大值為.55B B組組 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換1.(2019天津,7,5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函數(shù),且f(x)的最小正周期為,將y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g=,則f=()A.-2B.-C.D.2423822答案答案C本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換.要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力.f(x)的最小正

10、周期為,=2.又f(x)=Asin(2x+)為奇函數(shù),=k(kZ),|0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖象的交點(diǎn)中,距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2,則=.3答案答案2解析解析由消去y,得sinx-cosx=0,即sin=0,解得x=+,kZ.取k=0,1,可得距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,又兩交點(diǎn)的距離為2,所以+(+)2=(2)2,解得=.2sin,2cosyxyx24xk4, 245,243254422326.(2016山東,17,12分)設(shè)f(x)=2sin(-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

11、來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g的值.336解析解析(1)f(x)=2sin(-x)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-(1-2sinxcosx)=(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-cos2x+-1=2sin+-1.由2k-2x-2k+(kZ),得k-xk+(kZ).所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=2sin+-1的圖象,3333323x3232125125,1212kk5k,(Z)1212k

12、k或23x33x3再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到y(tǒng)=2sinx+-1的圖象,即g(x)=2sinx+-1.所以g=2sin+-1=.3336633方法總結(jié)方法總結(jié)研究三角函數(shù)的單調(diào)性,首先將函數(shù)化為y=Asin(x+)+h(或y=Acos(x+)+h)的形式,要視“x+”為一個(gè)整體,另外注意A的正負(fù).7.(2015湖北,18,12分)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(x+)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式;(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)圖象,求y=g(x)的圖

13、象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心.x+02xAsin(x+)05-500,|22323566解析解析(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,=2,=-.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,因此,g(x)=5sin=5sin.令2x+=k,kZ,解得x=-,kZ.即y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為,kZ,其中離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心為.x+02xAsin(x+)050-50623212371256131226x26x266x26x62k12,0212k,012考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2019上海,15,5分)已知R,函數(shù)f(x

14、)=(x-6)2sin(x),存在常數(shù)aR,使得f(x+a)為偶函數(shù),則的值可能為()A.B.C.D.2345答案答案Cf(x+a)=(x+a-6)2sin(x+a),因?yàn)閒(x+a)為偶函數(shù),所以y1=(x+a-6)2與y2=sin(x+a)都為偶函數(shù),由于y1=x2+2(a-6)x+(a-6)2,所以可得a-6=0,即a=6,此時(shí)y2=sin(x+6)為偶函數(shù),則6=+k(kZ),則=+(kZ),當(dāng)k=1時(shí),=,所以的值可能為.故選C.2126k442.(2017山東,7,5分)函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期為()A.B.C.D.23223答案答案C本題考查三角函數(shù)輔助角公式及

15、三角函數(shù)的性質(zhì).y=sin2x+cos2x=2sin,從而最小正周期T=.326x223.(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,則()A.=,=B.=,=-C.=,=-D.=,=58118231223111213112413724答案答案Af=2,f=0,f(x)的最小正周期大于2,=-=,得T=3,則=,又f=2sin=2,sin=1.+=2k+,kZ,=2k+,kZ.|2,可知T=-=,得T=3.若不注意已知條件,則容易出現(xiàn)T=,得T=,從而造成錯(cuò)誤.1411858343434思路分析思路分析由三角函數(shù)

16、的圖象(圖略)可知=-=,得T=3,=,然后將代入y=f(x)中解出的值即可.4T1185834235,284.(2016天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=sin2+sinx-(0),xR.若f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C.D.2x121210,810,45,1850,810,81 5,4 8答案答案Df(x)=+sinx-=(sinx-cosx)=sin,x(,2),0,x-,f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),有以下兩種情況:(2k,2k+),kZ,則有kZ,1 cos2x121212224x4,244,2442,422,4kk得,kZ,當(dāng)k=0時(shí),;(2k+

17、,2k+2),kZ,則有kZ,152,48kk1 5,4 8,2442,4222 ,4kk得,kZ,當(dāng)k=-1時(shí),又0,.綜上,故選D.592,48kk3 1,4 810,810,81 5,4 8疑難突破疑難突破將函數(shù)化簡(jiǎn)為f(x)=sin,將x-看作一個(gè)整體,借助函數(shù)y=sinx的圖象得出f(x)在(,2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)需滿足的條件,建立不等式組求解.224x45.(2018江蘇,7,5分)已知函數(shù)y=sin(2x+)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則的值是.223答案答案-6解析解析本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)y=sin(2x+)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,x=時(shí),函數(shù)取得最大值或最小值,sin=

18、1.+=k+(kZ),=k-(kZ),又-,=-.332323262266.(2019浙江,18,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,xR.(1)已知0,2),函數(shù)f(x+)是偶函數(shù),求的值;(2)求函數(shù)y=+的值域.212fx24fx解析解析本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算,考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分14分.(1)因?yàn)閒(x+)=sin(x+)是偶函數(shù),所以,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin(x+)=sin(-x+),即sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故2sinxcos=0,所以cos=0.又0,2),

19、因此=或.232(2)y=+=sin2+sin2=+=1-212fx24fx12x4x1 cos 262x1 cos 222x1233cos2sin222xx=1-cos.因此,函數(shù)的值域是.3223x331,122思路分析思路分析(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等變換,得出cos=0,從而求出的值.(2)將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求值域.7.(2018北京,16,13分)已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為,求m的

20、最小值.3,3m32解析解析(1)f(x)=-cos2x+sin2x=sin+.所以f(x)的最小正周期為T=.(2)由(1)知f(x)=sin+.因?yàn)?xm.所以-2x-2m-.要使得f(x)在上的最大值為,即sin在上的最大值為1.所以2m-,即m.12123226x122226x1235666,3m3226x,3m623所以m的最小值為.38.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(xR).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.323解析解析本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.(1)

21、由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).23322312232322123321223326x26326232,63kk1.(2016課標(biāo)全國(guó),11,5分)函數(shù)f(x)=cos2x+6cos的最大值為()A.4B.5C.6D.72xC C組教師專用題組組教師專用題組答案答案Bf(x)=1-2sin2x+6sinx=-2+,當(dāng)sinx=1時(shí),f(x)取得最

22、大值5,故選B.23sin2x112思路分析思路分析利用二倍角的余弦公式及誘導(dǎo)公式將f(x)=cos2x+6cos轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù),通過(guò)配方來(lái)求最值,注意不要忘記sinx-1,1.2x2.(2015山東,4,5分)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin4x的圖象()A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位43x121233答案答案B因?yàn)閥=sin=sin,易知只需將y=sin4x的圖象向右平移個(gè)單位,即得y=sin的圖象,故選B.43x412x1243x3.(2015四川,5,5分)下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是()A.y=sinB.y

23、=cosC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx22x22x答案答案By=cos=-sin2x,y=cos是最小正周期為的奇函數(shù),故選B.22x22x4.(2014課標(biāo),7,5分)在函數(shù)y=cos|2x|,y=|cosx|,y=cos,y=tan中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.B.C.D.26x24x答案答案Ay=cos|2x|=cos2x,最小正周期為;由圖象知y=|cosx|的最小正周期為;y=cos的最小正周期T=;y=tan的最小正周期T=.因此選A.26x2224x25.(2011課標(biāo),11,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin+cos,則()A.y=f(x)在單調(diào)遞增,

24、其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱B.y=f(x)在單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱C.y=f(x)在單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱D.y=f(x)在單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱24x24x0,240,220,240,22答案答案Df(x)=sin+cos=sin=cos2x,其部分圖象如下.故選D.24x24x222x26.(2016課標(biāo)全國(guó),14,5分)函數(shù)y=sinx-cosx的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.3答案答案3解析解析函數(shù)y=sinx-cosx=2sin的圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.33x37.(2015浙江,11,6分)

25、函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,最小值是.答案答案;322解析解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=(1-cos2x)+sin2x+1=(sin2x-cos2x)+=sin+,最小正周期T=,f(x)min=.121212322224x32223228.(2014課標(biāo),14,5分)函數(shù)f(x)=sin(x+)-2sincosx的最大值為.答案答案1解析解析解法一:f(x)=sin(x+)-2sincosx=sinxcos+cosxsin-2sincosx=sinxcos-cosxsin=sin(x-),所以f(x)max=1.解法二:f(x)=sin(x

26、+)-2sincosx=sin(x+)-2sin(+x)+sin(-x)=-sin(-x)=sin(x-),所以f(x)=sin(x+)-2sincosx的最大值為1.129.(2013課標(biāo),16,5分)設(shè)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cos=.答案答案-2 55解析解析解法一:f(x)=sinx-2cosx=sin(x-),其中cos=,sin=,當(dāng)x-=2k+(kZ)時(shí),f(x)取得最大值,此時(shí)x=2k+(kZ),即=2k+(kZ),所以cos=cos=-sin=-.解法二:f(x)=cosx+2sinx.依題設(shè)得f()=0,即cos+2sin=0,又sin2+

27、cos2=1,5552 55252222 55又sin2+cos2=1,所以cos=,sin=-或cos=-,sin=.當(dāng)cos=時(shí),f()=sin-2cos=-;當(dāng)cos=-時(shí),f()=sin-2cos=.故滿足題設(shè)的cos=-.2 55552 55552 5552 5552 55解法三:f(x)=cosx+2sinx.依題設(shè)得f()=0,即cos+2sin=0.又sin-2cos=,所以cos=-.52 5510.(2014大綱全國(guó),14,5分)函數(shù)y=cos2x+2sinx的最大值為.答案答案32解析解析y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2+,因?yàn)?1sinx1

28、,所以當(dāng)sinx=時(shí),ymax=.21sin2x32123211.(2013課標(biāo),16,5分)函數(shù)y=cos(2x+)(-)的圖象向右平移個(gè)單位后,與函數(shù)y=sin的圖象重合,則=.223x答案答案56解析解析解法一:函數(shù)y=cos(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=cos2+=cos(2x+-)=sin,由題意,得-=+2k(kZ),=+2k(kZ).又-,所以=.解法二:由題意,知點(diǎn)P在函數(shù)y=cos(2x+)的圖象上,故點(diǎn)Q在函數(shù)y=sin的圖象上,所以sin=1,即-=+2k(kZ),=-2k(kZ).又-0)的最小正周期為.(1)求的值;(2)求f(x)的單調(diào)遞

29、增區(qū)間.解析解析(1)因?yàn)閒(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin,(3分)所以f(x)的最小正周期T=.(4分)依題意,=,解得=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=sin.函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).(8分)由2k-2x+2k+(kZ),得k-xk+(kZ).(12分)所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).(13分)224x22224x2,222kk2423883,88kk易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題函數(shù)解析式中含有參數(shù),在用倍角公式時(shí)要注意轉(zhuǎn)化成“2x”,在求單調(diào)區(qū)間時(shí),也要注意x的系數(shù).14.(2015安徽,16,12分)已知函數(shù)f(x)=(si

30、nx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.0,2解析解析(1)因?yàn)閒(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T=.(2)由(1)的計(jì)算結(jié)果知,f(x)=sin+1.當(dāng)x時(shí),2x+,由正弦函數(shù)y=sinx在上的圖象知,當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取最大值+1;當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取最小值0.綜上,f(x)在上的最大值為+1,最小值為0.224x22224x0,245,445,44428245420,22評(píng)析評(píng)析本題考查三角恒等變換

31、,三角函數(shù)的周期性及最值.15.(2015北京,15,13分)已知函數(shù)f(x)=sinx-2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間上的最小值.32x20,3解析解析(1)因?yàn)閒(x)=sinx+cosx-=2sin-,所以f(x)的最小正周期為2.(2)因?yàn)? x,所以x+.當(dāng)x+=,即x=時(shí),f(x)取得最小值.所以f(x)在區(qū)間上的最小值為f=-.333x3233332320,323316.(2015重慶,18,13分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)將函數(shù)f(x)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍,縱坐標(biāo)不

32、變,得到函數(shù)g(x)的圖象.當(dāng)x時(shí),求g(x)的值域.123,2解析解析(1)f(x)=sin2x-cos2x=sin2x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期為,最小值為-.(2)由條件可知:g(x)=sin-.當(dāng)x時(shí),有x-,從而sin,那么sin-.故g(x)在區(qū)間上的值域是.123123212323223x322323x32,232,633x1,123x3213 23,22,213 23,2217.(2015福建,21,12分)已知函數(shù)f(x)=10sincos+10cos2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平

33、移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移a(a0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2.(i)求函數(shù)g(x)的解析式;(ii)證明:存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0.32x2x2x6解析解析(1)因?yàn)閒(x)=10sincos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin+5,所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2.(2)(i)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=10sinx+5的圖象,再向下平移a(a0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)=10sinx+5-a的圖象.又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13.所以g(x)=10sinx-

34、8.32x2x2x36x6(ii)證明:要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0,就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得10sinx0-80,即sinx0.由知,存在00.因?yàn)閥=sinx的周期為2,45453234545所以當(dāng)x(2k+0,2k+-0)(kZ)時(shí),均有sinx.因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)k,(2k+-0)-(2k+0)=-201,所以對(duì)任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)xk(2k+0,2k+-0),使得sinxk.亦即,存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)0.45345考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換考點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象及其變換三年模擬A A組組 20172

35、019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019安徽蚌埠第二次教學(xué)質(zhì)量檢查,9)將函數(shù)f(x)=sinx+cosx的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的,再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位后,得到的函數(shù)g(x)的解析式為()A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin123223x211212x223x25212x答案答案Bf(x)=sinx+cosx=sin的圖象y=sin的圖象g(x)=sin=sin.故選B.24x224x2234x211212x2.(2019江西吉安期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將函數(shù)

36、f(x)=sin的圖象向左平移(0)個(gè)單位后得到的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則的最小值為()A.B.C.D.34x34612答案答案B將函數(shù)f(x)=sin的圖象向左平移(0)個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=sin3(x+)+,因?yàn)槠鋱D象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以sin=0,所以3+=k,kZ,解得=-,kZ,又0,所以的最小值為-=,故選B.34x43443k1231243.(2018湖南永州第一次模擬,10)函數(shù)y=2cos的部分圖象是()26x答案答案A由y=2cos可知,函數(shù)的最大值為2,故排除D;又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn),故排除B;又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn),故排除C.故選A.26x,06,2124.(2017河南百

37、校聯(lián)考,6)將函數(shù)f(x)=tan(210)的圖象向右平移個(gè)單位之后與f(x)的圖象重合,則=()A.9B.6C.4D.83x6答案答案B將函數(shù)f(x)=tan(210)的圖象向右平移個(gè)單位后得函數(shù)y=tan=tan的圖象,結(jié)合題意得-=k,kZ,即=-6k,kZ.因?yàn)?10,所以=6.3x663 x63x65.(2019安徽黃山畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè),8)已知f(x)=Asin(x+)+B的部分圖象如圖,則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.B.C.D.0,0,|2A5, 16,012, 1125,06答案答案A由題圖得為f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,=-,T=,從而f(x)圖象的對(duì)稱中心為(k

38、Z),當(dāng)k=1時(shí),為,選A., 134T312, 132k5, 166.(2019湖南寧鄉(xiāng)一中、攸縣一中4月聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x,將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g的值為.3634答案答案3解析解析f(x)=sin2x-cos2x=2sin,將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=2sin=2sin2x的圖象,再將函數(shù)y=2sin2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)=2sin2x+1的圖象,所以g=2sin+1=3.323x6263x34327.(2019福建模擬,14)已知直線

39、y=n與函數(shù)f(x)=msinx+cosx的圖象相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=-,x2=,則m=.3656答案答案1解析解析f(x)=sin(x+),由已知得x=為函數(shù)f(x)=msinx+cosx的圖象的一條對(duì)稱軸,則有=m+,解得m=1.231m 122xx33231m 3212考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2019河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)檢(四),5)同時(shí)滿足f(x+)=f(x)與f=f的函數(shù)f(x)的解析式可以是()A.f(x)=cos2xB.f(x)=tanxC.f(x)=sinxD.f(x)=sin2x4x4x答案答案D由題意得所求函數(shù)的周期為,且圖象

40、關(guān)于直線x=對(duì)稱.A.f(x)=cos2x的周期為,而f=0不是函數(shù)的最值,其圖象不關(guān)于直線x=對(duì)稱.B.f(x)=tanx的周期為,但圖象不關(guān)于直線x=對(duì)稱.C.f(x)=sinx的周期為2,不合題意.D.f(x)=sin2x的周期為,且f=1為函數(shù)最大值,D滿足條件,故選D.444442.(2019廣東東莞第二次調(diào)研,8)將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)()A.的周期為,最大值為1,圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,為奇函數(shù)B.的周期為,最大值為1,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,為奇函數(shù)C.的周期為,最大值為1,在上單調(diào)遞減,為奇函數(shù)D.的周期為,最大值為1,在上單

41、調(diào)遞增,為奇函數(shù)423,083,88 0,4答案答案D將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=cos=sin2x的圖象,則函數(shù)g(x)的周期為,最大值為1,在上單調(diào)遞增,并且為奇函數(shù).故選D.422x0,43.(2019湖南衡陽(yáng)高中畢業(yè)班聯(lián)考(二),4)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,得到函數(shù)g(x)=Asin(x+)的圖象.已知函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)()A.的最小正周期為,最大值為2B.的最小正周期為,圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.的最小正周期為,圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱6230,0,|2A23,0

42、6236D.的最小正周期為,在區(qū)間上單調(diào)遞減,6 3 答案答案D對(duì)于g(x),由題圖可知,A=2,T=4=,=3.則g(x)=2sin(3x+),又由g=2可得=-+2k,kZ,而|0)圖象上的一個(gè)最低點(diǎn),M,N是與點(diǎn)P相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn),若MPN=60,則該函數(shù)的最小正周期是()A.3B.4C.5D.633 3,22答案答案D由P是函數(shù)y=Asin(x+)(0)圖象上的一個(gè)最低點(diǎn),M,N是與P相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn),知|MP|=|NP|,又MPN=60,所以MPN為等邊三角形.由P,得|MN|=2=6,即該函數(shù)的最小正周期是6.故選D.33 3,223 32235.(2019河南中原名校聯(lián)盟聯(lián)考,7

43、)已知函數(shù)f(x)=4sin(x+)(0).在同一周期內(nèi),當(dāng)x=時(shí)取最大值,當(dāng)x=-時(shí)取最小值,則的值可能為()A.B.C.D.6312313676答案答案CT=2=,故=2,又2+=2k+,kZ,所以=2k+,kZ,所以的值可能為.故答案為C.263 6261366.(2018湖南三湘名校教育聯(lián)盟第三次聯(lián)考,5)若f(x)為偶函數(shù),且在上滿足:對(duì)任意x10,則f(x)可以為()A.f(x)=cosB.f(x)=|sin(+x)|C.f(x)=-tanxD.f(x)=1-2cos22x0,21212( )()f xf xxx52x答案答案Bf(x)=cos=-sinx為奇函數(shù),排除A;f(x)

44、=-tanx為奇函數(shù),排除C;f(x)=1-2cos22x=-cos4x為偶函數(shù),且單調(diào)增區(qū)間為,kZ,排除D;f(x)=|sin(+x)|=|sinx|為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,故選B.52x,224kk0,27.(2018河南六市第一次聯(lián)考,5)已知函數(shù)f(x)=2sinx+(0)的圖象與函數(shù)g(x)=cos(2x+)的圖象的對(duì)稱中心完全相同,則為()A.B.-C.D.-6|26633答案答案D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(0)的圖象與函數(shù)g(x)=cos(2x+)的圖象的對(duì)稱中心完全相同,所以=2,=-+2k(kZ),即=-+2k(kZ),|0)在0,上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn),則的取值

45、范圍是.6x答案答案5 13,3 6解析解析f(x)=cosx+sin=cosx+sinx=sin,由x0,0,得x+.因?yàn)閒(x)在0,上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn),所以2+,解得0,則f=cos=(cosx-sinx),f=sin=(cosx-sinx),此時(shí)f=f,若x0,則f=sin=(cosx+sinx),f=cos=(cosx+sinx),此時(shí)f=f,綜上,恒有f=f,即圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以C正確;當(dāng)x=時(shí),f=cos=0不是函數(shù)的最大值,所以D錯(cuò)誤,故選C.4x4x224x4x224x4x4x4x224x4x224x4x4x4x45252522.(2019河北衡水中學(xué)一調(diào),

46、8)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(0)的部分圖象如圖所示,其中M(m,0),N(n,2),P(,0),且mn0,則f(x)在下列區(qū)間中具有單調(diào)性的是()A.B.C.D.0,42,433,242,3答案答案B因?yàn)閙n0,所以m、n異號(hào),根據(jù)題意可得m0,又P(,0),所以T且,即T0)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱且在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,則的值為()A.B.C.D.4232432答案答案A由題意得g(x)=sin.因?yàn)間(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以g()必是函數(shù)g(x)一個(gè)周期上的最大值,所以有+=2

47、k+,kZ,所以2=+2k,kZ,又-(-),即2,所以2=,所以=.選A.4x424222424.(2019湘贛十四校第二次聯(lián)考,11)如果圓x2+(y-1)2=m2至少覆蓋函數(shù)f(x)=2sin2-cos(m0)的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),則m的取值范圍是()A.2,+)B.C.D.512xm323xm2 15,32 15,58 15,15答案答案D化簡(jiǎn)f(x)=2sin2-cos得f(x)=2sin+1,所以,函數(shù)f(x)靠近圓心(0,1)的最大值點(diǎn)為,最小值點(diǎn)為,所以只需解得m.故選D.512xm323xm2 xm,34m, 14m222222(3 1),4( 1 1),4mmmm 8 1515思路分析思路分析先將f(x)=2sin2-cos化簡(jiǎn)整理,結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì),求出函數(shù)f(x)靠近圓心(0,1)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn),結(jié)合題意可列出不等式組,求解即可得出結(jié)果.512xm323xm5.(2019河南名校聯(lián)盟尖子生第六次聯(lián)合調(diào)研,10)將函數(shù)g(x)=2sinx+1的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)f(x)的圖象,若f(x1)=f(x2)=3,且-x2x1,則x1-2x2的值為()A.B.C.D.3122562312答案答案D易求得f(x)=2sin+1,