1、P78 第四章3.一物體按規(guī)律xct3 在流體媒質(zhì)中作直線運(yùn)動，式中c為常量，t為時間設(shè)媒質(zhì)對物體的阻力正比于速度的平方，阻力系數(shù)為k，試求物體由x0運(yùn)動到xl時，阻力所作的功解：由xct3可求物體的速度： 1分 物體受到的阻力大小為： 2分力對物體所作的功為： = = 2分4一人從10 m深的井中提水起始時桶中裝有10 kg的水，桶的質(zhì)量為1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水求水桶勻速地從井中提到井口，人所作的功 解：選豎直向上為坐標(biāo)y軸的正方向，井中水面處為原點(diǎn) 由題意知，人勻速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量即： F=P=107.8-1.96y(SI) 3分

2、人的拉力所作的功為： W=980 J 2分5質(zhì)量m2kg的質(zhì)點(diǎn)在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)沿x軸正向作直線運(yùn)動，求前三秒內(nèi)該力所作的功 解： 1分而質(zhì)點(diǎn)的速度與時間的關(guān)系為 2分所以力所作的功為 =729J 2分6如圖所示，質(zhì)量m為 0.1 kg的木塊，在一個水平面上和一個勁度系數(shù)k為20 N/m的輕彈簧碰撞，木塊將彈簧由原長壓縮了x = 0.4 m假設(shè)木塊與水平面間的滑動摩擦系數(shù)m k為0.25，問在將要發(fā)生碰撞時木塊的速率v為多少？ 解：根據(jù)功能原理，木塊在水平面上運(yùn)動時，摩擦力所作的功等于系統(tǒng)（木塊和彈簧）機(jī)械能的增量由題意有 而 3分由此得木塊開始碰撞彈簧時的速率為 1分 = 5.

3、83 m/s 1分另解根據(jù)動能定理，摩擦力和彈性力對木塊所作的功，等于木塊動能的增量，應(yīng)有 其中 7一物體與斜面間的摩擦系數(shù)m = 0.20，斜面固定，傾角a = 45°現(xiàn)給予物體以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如圖所示求： (1) 物體能夠上升的最大高度h；(2) 該物體達(dá)到最高點(diǎn)后，沿斜面返回到原出發(fā)點(diǎn)時的速率v 解：(1)根據(jù)功能原理，有 2分 2分 =4.5 m 2分 (2)根據(jù)功能原理有 1分 1分 =8.16 m/s 2分8一鏈條總長為l，質(zhì)量為m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的長度為a設(shè)鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為m令鏈條由靜止開始運(yùn)動，則

4、 (1)到鏈條剛離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條作了多少功？ (2)鏈條剛離開桌面時的速率是多少？ 解：(1)建立如圖坐標(biāo). 某一時刻桌面上全鏈條長為y,則摩擦力大小為 1分摩擦力的功 2分 = = 2分 (2)以鏈條為對象，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動能定理 W 其中 W = W PWf ，v0 = 0 1分 WP = 2分由上問知 所以 得 2分9勁度系數(shù)為k、原長為l的彈簧，一端固定在圓周上的A點(diǎn)，圓周的半徑Rl，彈簧的另一端點(diǎn)從距A點(diǎn)2l的B點(diǎn)沿圓周移動1/4周長到C點(diǎn)，如圖所示求彈性力在此過程中所作的功 解：彈簧長為AB時，其伸長量為 1分彈簧長為AC時，其伸長量為 1分彈性力的功等于彈性勢能的減少

5、2分 1分10一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上運(yùn)動，其位置矢量為 (SI)式中a、b、w是正值常量，且ab (1)求質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)(a，0)時和B點(diǎn)(0，b)時的動能； (2)求質(zhì)點(diǎn)所受的合外力以及當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中的分力和分別作的功 解：(1)位矢 (SI) 可寫為 ， ， 在A點(diǎn)(a，0) ， EKA= 2分在B點(diǎn)(0，b) ， EKB= 2分(2) = 2分由AB = 2分 = 2分11某彈簧不遵守胡克定律. 設(shè)施力F，相應(yīng)伸長為x，力與伸長的關(guān)系為F52.8x38.4x2（SI）求： (1)將彈簧從伸長x10.50 m拉伸到伸長x21.00 m時，外力所需做的功(2)將彈簧橫放在

6、水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一個質(zhì)量為2.17 kg的物體，然后將彈簧拉伸到一定伸長x21.00 m，再將物體由靜止釋放，求當(dāng)彈簧回到x10.50 m時，物體的速率(3)此彈簧的彈力是保守力嗎？解：(1) 外力做的功 3分 31 J 1分(2) 設(shè)彈力為F 3分 = 5.34 m/s 1分 (3) 此力為保守力，因?yàn)槠涔Φ闹祪H與彈簧的始末態(tài)有關(guān) 2分12如圖所示，懸掛的輕彈簧下端掛著質(zhì)量為m1、m2的兩個物體，開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)現(xiàn)在突然把m1與m2間的連線剪斷，求m1的最大速度為多少？設(shè)彈簧的勁度系數(shù)k8.9×104 N/m，m10.5 kg，m20.3 kg 解：以彈簧僅掛重

7、物m1時，物體靜止（平衡）位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸正向，此時彈簧伸長為： l1m 1 g / k 1分再懸掛重物m2后，彈簧再獲得附加伸長為 l2m2 g /k 1分當(dāng)突然剪斷連線去掉m2后，m1將上升并開始作簡諧振動，在平衡位置處速度最大根據(jù)機(jī)械能守恒，有 2分將、代入得 0.014 m/s 1分 13用勁度系數(shù)為k的彈簧，懸掛一質(zhì)量為m的物體，若使此物體在平衡位置以初速v突然向下運(yùn)動，問物體可降低到何處？ 解：取物體在平衡位置時，重力勢能EP0，設(shè)平衡時彈簧的伸長量為x0，則物體開始向下運(yùn)動的一瞬間，機(jī)械能為 1分設(shè)物體剛好又下降x距離的一瞬間速度為零(不再下降)，則該瞬時機(jī)械能為

8、1分物體運(yùn)動過程中，只有保守力作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒： 2分把kx0mg代入上式，可解得： 1分P103 第五章3一飛輪以等角加速度2 rad /s2轉(zhuǎn)動，在某時刻以后的5s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過了100 rad若此飛輪是由靜止開始轉(zhuǎn)動的，問在上述的某時刻以前飛輪轉(zhuǎn)動了多少時間？ 解：設(shè)在某時刻之前，飛輪已轉(zhuǎn)動了t1時間，由于初角速度 w 00 則 w1t1 1分而在某時刻后t2 =5 s時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角位移為 2分將已知量100 rad， t2 =5s， 2 rad /s2代入式，得 w1 = 15 rad /s 1分從而 t1 = w1/ 7.5 即在某時刻之前，飛輪已經(jīng)轉(zhuǎn)動了7.5 1分4有一半徑

9、為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（已知圓形平板的轉(zhuǎn)動慣量，其中m為圓形平板的質(zhì)量） 解：在r處的寬度為dr 的環(huán)帶面積上摩擦力矩為 3分 總摩擦力矩 1分 故平板角加速度 b =M /J 1分設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n，則轉(zhuǎn)角 q = 2pn 由 2分 可得 1分5如圖所示，轉(zhuǎn)輪A、B可分別獨(dú)立地繞光滑的固定軸O轉(zhuǎn)動，它們的質(zhì)量分別為mA10 kg和mB20 kg，半徑分別為rA和rB現(xiàn)用力fA和fB分別向下拉繞在輪上的細(xì)繩且使繩與輪之間無滑動為使A、B輪邊緣處的切向加速度相同，相應(yīng)的拉力fA、fB

10、之比應(yīng)為多少？(其中A、B輪繞O軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量分別為和) 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 fArA = JAbA 1分其中，且 fBrB = JBbB 1分其中要使A、B輪邊上的切向加速度相同，應(yīng)有 a = rAbA = rBbB 1分由、式，有 由式有 bA / bB = rB / rA 將上式代入式，得 fA / fB = mA / mB = 2分6一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在光滑的固定軸承之上當(dāng)物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了一段距離S試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量(用m、r、t和S表示) 解：設(shè)繩子對物體(或繩子對

11、輪軸)的拉力為T，則根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和轉(zhuǎn)動定律得： mg­Tma 2分 T rJb 2分由運(yùn)動學(xué)關(guān)系有： a = rb 2分由、式解得： Jm( ga) r2 / a 又根據(jù)已知條件 v00 S， a2S / t2 2分將式代入式得：Jmr2(1) 2分7一定滑輪半徑為0.1 m，相對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為1×10-3 kg·m2一變力F0.5t (SI)沿切線方向作用在滑輪的邊緣上，如果滑輪最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，忽略軸承的摩擦試求它在1 s末的角速度解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 MJdw / dt 1分即 dw(M / J) dt 1分其中 MFr， r0.1 m， F0.5 t，

12、J1×10-3 kg·m2, 分別代入上式，得 dw50t dt 1分則1 s末的角速度 w1dt25 rad / s 2分8一長為1 m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動抬起另一端使棒向上與水平面成60°，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放已知棒對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度求： (1) 放手時棒的角加速度； (2) 棒轉(zhuǎn)到水平位置時的角加速度 解：設(shè)棒的質(zhì)量為m，當(dāng)棒與水平面成60°角并開始下落時，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 M = Jb 1分其中 1分于是 1分當(dāng)棒轉(zhuǎn)動到水平位置時， M =mgl 1分那么 1分9長為L的梯子斜靠在光滑的

13、墻上高為h的地方，梯子和地面間的靜摩擦系數(shù)為m，若梯子的重量忽略，試問人爬到離地面多高的地方，梯子就會滑倒下來？ 解：當(dāng)人爬到離地面x高度處梯子剛要滑下，此時梯子與地面間為最大靜摩擦，仍處于平衡狀態(tài) (不穩(wěn)定的) 1分 N1f 0， N2P 0 1分 N1hPx·ctgq 0 1分 fmN2 1分解得 1分10有一半徑為R的均勻球體，繞通過其一直徑的光滑固定軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動周期為T0如它的半徑由R自動收縮為，求球體收縮后的轉(zhuǎn)動周期(球體對于通過直徑的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J2mR2 / 5，式中m和R分別為球體的質(zhì)量和半徑)解：球體的自動收縮可視為只由球的內(nèi)力所引起，因而在收縮前后球體的角動

14、量守恒 1分設(shè)J0和w 0、J和w分別為收縮前后球體的轉(zhuǎn)動慣量和角速度, 則有 J0w 0 = Jw 2分由已知條件知：J0 = 2mR2 / 5，J = 2m(R / 2)2 / 5代入式得 w = 4w 0 1分即收縮后球體轉(zhuǎn)快了，其周期 1分周期減小為原來的1 / 4 11一勻質(zhì)細(xì)棒長為2L，質(zhì)量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動時，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè)處，如圖所示求棒在碰撞后的瞬時繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度w(細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度) 解：碰撞前瞬時，桿對O點(diǎn)的角動量為 3

15、分式中r為桿的線密度碰撞后瞬時，桿對O點(diǎn)的角動量為 3分因碰撞前后角動量守恒，所以 3分 w = 6v0 / (7L) 1分2mmmOllll12如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l和 l輕桿原來靜止在豎直位置今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度解：將桿與兩小球視為一剛體，水平飛來小球與剛體視為一系統(tǒng)由角動量守恒得 1分 （逆時針為正向） 2分又 1分將代入得 1分13一半徑為25 cm的圓柱體，可繞與其中心軸線重合的光滑固定軸轉(zhuǎn)動圓柱體上繞上繩

16、子圓柱體初角速度為零，現(xiàn)拉繩的端點(diǎn)，使其以1 m/s2的加速度運(yùn)動繩與圓柱表面無相對滑動試計(jì)算在t = 5 s時 (1) 圓柱體的角加速度， (2) 圓柱體的角速度， (3) 如果圓柱體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為2 kg·m2，那么要保持上述角加速度不變,應(yīng)加的拉力為多少？解：(1) 圓柱體的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根據(jù)，此題中w 0 = 0 ，則有 wt = bt那么圓柱體的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 fr = Jb則 f = Jb / r = 32 N 2分14一臺擺鐘每天快1分27秒，其等效擺長l = 0.995 m， 擺

17、錘可上、下移動以調(diào)節(jié)其周期假如將此擺當(dāng)作質(zhì)量集中在擺錘中心的一個單擺來考慮，則應(yīng)將擺錘向下移動多少距離，才能使鐘走得準(zhǔn)確？ 解：鐘擺周期的相對誤差DT / T =鐘的相對誤差Dt / t 2分等效單擺的周期 ，設(shè)重力加速度g不變，則有 2分 2d T / T =d l / l 1分令DT = dT，Dl = dl，并考慮到DT / T = Dt / t，則擺錘向下移動的距離 Dl = 2l Dt / t = mm = 2.00 mm 即擺錘應(yīng)向下移2.00 mm，才能使鐘走得準(zhǔn)確 3分P124 第六章3一體積為V0，質(zhì)量為m0的立方體沿其一棱的方向相對于觀察者A以速度v運(yùn)動求：觀察者A測得其密

18、度是多少？ 解：設(shè)立方體的長、寬、高分別以x0，y0，z0表示，觀察者A測得立方體的長、寬、高分別為 ， 相應(yīng)體積為 3分觀察者測得立方體的質(zhì)量 故相應(yīng)密度為 2分4一艘宇宙飛船的船身固有長度為L0 =90 m，相對于地面以0.8 c (c為真空中光速)的勻速度在地面觀測站的上空飛過 (1) 觀測站測得飛船的船身通過觀測站的時間間隔是多少？ (2) 宇航員測得船身通過觀測站的時間間隔是多少？ 解：(1) 觀測站測得飛船船身的長度為 54 m 則 Dt1 = L/v =2.25×10-7 s 3分 (2) 宇航員測得飛船船身的長度為L0，則 Dt2 = L0/v =3.75×

19、10-7 s 2分5一電子以0.99c (c為真空中光速)的速率運(yùn)動試求： (1) 電子的總能量是多少？ (2) 電子的經(jīng)典力學(xué)的動能與相對論動能之比是多少？(電子靜止質(zhì)量me=9.11×10-31 kg)解：(1) =5.8×10-13 J 2分 (2) = 4.01×10-14 J = 4.99×10-13 J 8.04×10-2 3分P150 第七章3一物體在光滑水平面上作簡諧振動，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm處速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)當(dāng)速度是12 cm/s時的位移 解：設(shè)振動方程為，則 (1) 在x =

20、 6 cm，v = 24 cm/s狀態(tài)下有 解得 ， s 2分 (2) 設(shè)對應(yīng)于v =12 cm/s的時刻為t2，則由 得 ， 解上式得 相應(yīng)的位移為 cm 3分4一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，其振動方程為 (SI) (1) 當(dāng)x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？ (2) 質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少？ 解：(1) 勢能 總能量 由題意， m 2分 (2) 周期 T = 2p/w = 6 s 從平衡位置運(yùn)動到的最短時間 Dt 為 T/8 Dt = 0.75 s 3分5在一輕彈簧下端懸掛m0 = 100 g砝碼時，彈簧伸長8 cm現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m = 250 g的物體，構(gòu)成彈簧振

21、子將物體從平衡位置向下拉動4 cm，并給以向上的21 cm/s的初速度（令這時t = 0）選x軸向下, 求振動方程的數(shù)值式 解： k = m0g / Dl N/m 2分 cm 2分 ，f = 0.64 rad 3分 (SI) 1分6質(zhì)量m = 10 g的小球與輕彈簧組成的振動系統(tǒng)，按的規(guī)律作自由振動，式中t以秒作單位，x以厘米為單位，求 (1) 振動的角頻率、周期、振幅和初相； (2) 振動的速度、加速度的數(shù)值表達(dá)式； (3) 振動的能量E； (4) 平均動能和平均勢能 解：(1) A = 0.5 cm；w = 8p s-1；T = 2p/w = (1/4) s；f = p/3 2分 (2)

22、(SI) (SI) 2分 (3) =7.90×10-5 J 3分 (4) 平均動能 = 3.95×10-5 J = 同理 = 3.95×10-5 J 3分7在一豎直輕彈簧的下端懸掛一小球，彈簧被拉長l0 = 1.2 cm而平衡再經(jīng)拉動后，該小球在豎直方向作振幅為A = 2 cm的振動，試證此振動為簡諧振動；選小球在正最大位移處開始計(jì)時，寫出此振動的數(shù)值表達(dá)式 解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，則彈簧的勁度系數(shù) 選平衡位置為原點(diǎn)，向下為正方向小球在x處時，根據(jù)牛頓第二定律得 將 代入整理后得 此振動為簡諧振動，其角頻率為 3分 2分設(shè)振動表達(dá)式為 由題意： t = 0時，x0

23、= A=m，v0 = 0，解得 f = 0 1分 2分8在豎直懸掛的輕彈簧下端系一質(zhì)量為 100 g的物體，當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時，再對物體加一拉力使彈簧伸長，然后從靜止?fàn)顟B(tài)將物體釋放已知物體在32 s內(nèi)完成48次振動，振幅為5 cm (1) 上述的外加拉力是多大？ (2) 當(dāng)物體在平衡位置以下1 cm處時，此振動系統(tǒng)的動能和勢能各是多少？ 解一：(1) 取平衡位置為原點(diǎn)，向下為x正方向設(shè)物體在平衡位置時彈簧的伸長量為Dl，則有, 加拉力F后彈簧又伸長x0，則解得 F= kx0 2分由題意，t = 0時v 0 = 0；x = x0 則 2分又由題給物體振動周期 s, 可得角頻率 , N 1分 (

24、2) 平衡位置以下1 cm處： 2分 J 2分 = 4.44×10-4 J 1分解二：(1) 從靜止釋放，顯然拉長量等于振幅A（5 cm）， 2分 ，n = 1.5 Hz 2分 F = 0.444 N 1分 (2) 總能量 J 2分當(dāng)x = 1 cm時，x = A/5，Ep占總能量的1/25，EK占24/25 2分 J， J 1分9一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為 x1 =5×10-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =3×10-2sin(4t - p/6） (SI) 畫出兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動的振動方程 解： x2 =

25、3×10-2 sin(4t - p/6) = 3×10-2cos(4t - p/6- p/2) = 3×10-2cos(4t - 2p/3) 作兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示 圖2分由圖得：合振動的振幅和初相分別為 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振動方程為 x = 2×10-2cos(4t + p/3) (SI) 1分10一輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然 后由靜止釋放并開始計(jì)時求 (1) 物體的振動方程； (2) 物體在平衡位置上方5

26、cm時彈簧對物體的拉力； (3) 物體從第一次越過平衡位置時刻起到它運(yùn)動到上方5 cm處所需要的最短時間 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 選平衡位置為原點(diǎn)，x軸指向下方（如圖所示）， t = 0時， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振動方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物體在平衡位置上方5 cm時，彈簧對物體的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 設(shè)

27、t1時刻物體在平衡位置，此時x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此時物體向上運(yùn)動， v < 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再設(shè)t2時物體在平衡位置上方5 cm處，此時x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 v < 0， w t2 = 2p/3， t2=2 p/3w =0.296 s 2分 Dt = t1-t2 = (0.2960.222) s0.074 s 1分AB x11一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡諧振動，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過A點(diǎn)時作為計(jì)時起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 = 10 cm求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動方程； (2) 質(zhì)