1、2015年高考重慶理科數(shù)學(xué)試題及答案（word解析版）2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)(理科)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.(1)【2015年重慶，理1】已知集合A1,2,3,B2,3,貝U()(A)AB(B)ahb(C)AtB(D)BZA【答案】D【解析】A=1,2,2,B=2,3BAMBABA)故選D.(2)【2015年重慶，理2】在等差數(shù)列an中，若a24,a,2,則a6()(A)1(B)0(C)1 (D)6【答案】B【解析】利用a2+a62a4可求得a60,故選B.：(3)【2015年重慶，理3】

2、重慶市2013年各月的工；平均氣溫(C)數(shù)據(jù)的莖葉圖如右，則這組31；數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()(A)19(B)20(C)21.5(D)23【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32中位數(shù)是誓20,故選B.(4)【2015年重慶，理4】“x/是"%x2°”的()2(A)充要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件15【答案】B【解析】log1(x 2) 0 x 1 故選 B .2(5)【2015年重慶，理5】某幾何體的三視4m型圖如圖所示，則該幾何體的體積為(A) 33(B) 33)(C) 3 23(

3、D)I 23【答案】A【解析】該立體圖形是由一個三棱錐和一個半圓柱拼接川成的，其體積為兩部分體積之和：122111，故選A.(6)3223【2015年重慶，理6】若非零向量a,b滿足|a|警，且3a b(A)-43a 2b ,則a與b的夾角為( (B)2(C)34【答Q【解析】(D)A(a b)(3acosa,b2b)a*b|a|b|2(a b)(3a 2b) 0,U, a,b 0,結(jié)合|a| 呼|b|)可得 ab -|b| ? 33a,b 故選 A.4 )(7)【2015年重慶，理7】執(zhí)行如圖所示的程序框圖, 若輸入k的值為8,則判斷框圖可填入的條件是(A)(D)s -24)3 s -415

4、(BI(CTCaD口產(chǎn)J-EL【答案】C1+1+卓否.2 4 6 8)判斷框內(nèi)應(yīng)該填【解析】、,s0,k0是k2,s1是,2),c1111ck6,s+是k8，s11日k4,s+一是.24,s1+4+6=%故選C.(8)【2015年重慶，理8已知直線l：xay10aR是圓C：x2y24x2y10的對稱軸)過點A4,a作圓C的一條切線)切點為B,則|AB|()(A)2(B)4/(C)(D)2而【答案】C【解析】C:x-22y-124,其圓心坐標(biāo)為C(2,1),半徑r2.由題意可知直線"ay10(aR)是圓的直徑所在直線，它過圓心C(2,1),所以2a110a1A(4,1)AC2師,由幾何

5、圖(9)形可知)ab Jac2 r2兩4 6)故選【2015年重慶，理9若tan 2tan, ,5 7(A ) 1(C) 3【答案】C【解析】v tan如n- sin 53cos( ) cos(10(D) 42sin 一5coscos5)一 52sin( )sin cos5_5C.cos( -)則，二(sin(-)5(B )cos sin cos5sin()sin( ) sin(55將式帶入上式可得:)sin coscos sin cos5553、竺避3,故選C.sin( )(10)【2015年重慶，理10】設(shè)雙曲線g1a0,b0的右焦ab點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C

6、兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于aL,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()(A)1,0u0,1(B),iu1,(C)衣,0u0川1(D),2U2,【答案】A【解析】由題意可得：A(a,0),F(c,0),B(c,b-)AFca,BFb2.在RtABD中aa7一一，、，.*2()22一一由射影定理有：BF2AFDFDF%式(ca)Jca).即AFcaa點D到直線BC的距離為(Ca)22(Ca),由題意得：a2，”<a小丁ac0bl.而雙曲線的漸近線斜aa率kbk(i,0)u(0,i)故選A.a1二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，

7、共25分,把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.(11)【2015年重慶，理11】設(shè)復(fù)數(shù)abia,bR的模為布，則abiabi【答案】3【解析】復(fù)數(shù)abi(a,bR)的模為一212222也/abd3ab3.(abi)(abi)ab3.5、.(12)【2015年重慶，理12】x34的展開式中x8的系數(shù)是2.x(用數(shù)字作答).【答案】527r【斛析】F1c5r(x3)5r京)rC55x萬15£8r2.故(x3wx)5的展開式中x8的系數(shù)為嚷2.(13)【2015年重慶，理13】在ABC中，B12嘰ABPABC的角平分線AD曲）則AC【答案】I 解AD ABsin B sin ADB6析sin AD

8、B由正弦2 ADB 45 BAD 152C 30,再由正弦定理可得:定理可得BAC 30、）AC ABc AC V 6 .sin B sin C考生注意：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選 兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.（14）【2015年重慶，理14如圖，圓O的弦AB,CD相交于點E ,過點A作圓O的切線與于點 P）若 PA 6）AE 9）BEPC 3DC的延長線交CE : ED 2:1）貝（J【答案】2【解析】由切割線定理可得：PA2 由相*弦定理可得： AE BE CE DEPC PDBE 2PD 12 CD 9 CE 6,ED 3 ,再c的極坐標(biāo)方程為點的極坐

9、標(biāo)為【答案】2,【解析】直線l的直角坐標(biāo)方程為22,2.222y x 2 . cos2 4 （cos sin ） 4 x y4.出y x 2x 22222Vxy 2 .m yx y 4 y 0故直線1與曲線C的交點的極坐標(biāo)為44（2,）.（15）【2015年重慶，理15】已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線2cos24（0,3-則直線l與曲線c的交（16）【2015年重慶，理16若函數(shù)f（x）x i |x a的最小值為445,則實數(shù)a.【答案】4或-6【解析】分情況討論：(1)當(dāng)a1時，利用零點分段討論法分段討論并結(jié)合函數(shù)圖像可知：fx在a

10、處取得最小值5)所以|a115a6；(2)當(dāng)a1時)利用零點分段討論法分段討論并結(jié)合函數(shù)圖像可知：fx在a處取得最小值5,la115a4,綜上，可得實數(shù)a6或4.三、解答題：本大題共6題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.(17)【2015年重慶，理17(本小題滿分13分，(I)小問5分，(II)小問8分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個,肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.(I)求三種粽子各取到1個的概率；解:P A(I)令a表示事件“三種粽子各取到一個"，則(n)設(shè)x表示取到的豆沙粽個數(shù)，求x的分布列

11、與數(shù)學(xué)期望.c2c3c51C304(II)X所有可能取值為0,1,2，且PX0C3PX1警2C1015C1015c；c8C13015 .故分布列見表:X012771P151515且EX0二1123(個)1515155（18）【2015年重慶，理18（本小題滿分13分，（I）/問7分）（n）小問6分）設(shè)fxsin,xsinx73cos2x.(I)求（n）討論解：（I ）由題 的最小正周期的最小正周期和最大值;f x在港一上的單調(diào)性 6 3213 dcosxsinx 3 cos xsin 2x 1 cos2x22sin 2x 吏 故 f x32 ,T(n)由,最大值為H.）2r 知 0 2x 單調(diào)

12、遞增；3當(dāng)萬）從而當(dāng)0 2x-即2x 一 3減.因此，f 減.（19）【2015年重慶，理在352單調(diào)遞增，在6f5 212 , 3舁時，12 ,單調(diào)遞單調(diào)遞19】（本小題滿分13分，（I ） /問4分，（n）小問9分）如圖，三棱錐P PC平面ABC）PC 3, ACB 3）D,E分別為線段 的點，且 CD DE V2 , CE 2EB 2 .（I ）證明：DE平面PCD ；（n）求二面角A PD C的余弦值.解：（I ）因PC 平面 ABC ) DE 平面 ABC)故 PC DE .又 CD DE 正)CE 2）故 CDE為等腰直角三角形）且CD DE .因pcncD % PC平面PCD C

13、D 平面 PCD所以DE平面PCD .（n）如圖，取CE的中點F,連DF .由（I ）知CDE為等腰直角三角形）故DFCE）DF CF FE 1又 ACB 萬）故 DF /AC）因此案喘2,從問7分，（n）小問5分）設(shè)函數(shù)f2_3x axX a R . e圍.解：（I）由題a ,因f x在x 0處取得極值,故 f0 0)得 a0.因此 fx3x2ex)而AC2以c為原點，ca,cb,cp的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,貝UC0,0,0）A2,0,0）E0,2,0）D1,1,0）P0,0,3）故1DA-,1,0,2 Dp1,1,3,DE1,1,0.設(shè)nmw,乙為平面a

14、pd的法向量,則n1DA0n1DP0即X1x2y13z0，取y11得n'2,1,1.由（I）知DE平面PCD,故DE即為平面PCD的法向量.因coswDE）無，故所求二面角APDC的m|DE|6,余弦值為噂.6（20）【2015年重慶，理20（本小題滿分12分，（I）?。↖）若fx在X0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf2x26x a e 3x ax e 3x 6 af x 2-ee在點1,f1處的切線方程；（II）若fx在3,上為減函數(shù)，求a的取值范fx6x3x2ex,從而f1。f1。所以曲線yfx在e1e1點1,f1處的切線方程為y-x1即3xey0.ee（II）由題知fx0

15、對x3恒成立）故3x26axa0即a33xa3xx1調(diào)遞減,圍為2,1對x3恒成立.顯然ggmaxxg3,所以1在3,單9,即a的取值范（21）【2015年重慶，理21（本題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分）如圖，橢圓x2y21ab0的左右焦點分別為F1,F2）過F2的直線交橢圓ab于P,Q兩點）且PQPR.（I）若（口）若解：（I）由題|PFJ2巴年|2金）求橢圓的標(biāo)準方程;|PF1|PQ|）求橢圓的離心率e.2aIPF1IIPF2I4)故a2.又4c2匕|因此b2a2c21,從而橢圓方程為:(n)連FiQ)由題4a|EP|PQ|QE|2&|FiP|)從而|F2P|2a|FF|2721a5因止匕4c2|PF1|2所以e296右忑點2)得e娓器.|PF2|212)故c23)y21.故|FF|22&a)|PF212496&a2,（22）【2015年重慶，理22（本題滿分12分,(D小問4分，（n）小問an冏an1(I)若(n)若8分）在數(shù)列an中，a13,0nN