1、固體物理總復(fù)習(xí)題一、填空題1 .原胞是 的品格重復(fù)單元。對于布拉伐格子，原胞只包含一個原子。2 .在三維晶格中，對一定的波矢q,有 支聲學(xué)波，支光學(xué)波。3 .電子在三維周期性品格中波函數(shù)方程的解具有 形式，式 中 在晶格平移下保持不變。4 .如果一些能量區(qū)域中，波動方程不存在具有布洛赫函數(shù)形式的解，這些能 量區(qū)域稱為 ;能帶的表示有 、 三種圖式。5 .按結(jié)構(gòu)劃分，晶體可分為 大晶系，共 布喇菲格子。6 .由完全相同的一種原子構(gòu)成的格子，格子中只有一個原子，稱為 格子，由若干個布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。7 .電子占據(jù)了一個能帶中的所有的狀態(tài)，稱該能帶為 ;沒

2、有任何電 子占據(jù)的能帶，稱為 ;導(dǎo)帶以下的第一滿帶，或者最上面的一個滿 帶稱為 ;最下面的一個空帶稱為 ;兩個能帶之間，不允許存 在的能級寬度，稱為 。8 .基本對稱操作包括, , 三種操作。9 .包含一個n重轉(zhuǎn)軸和n個垂直的二重軸的點群叫 o10 .在晶體中，各原子都圍繞其平衡位置做簡諧振動，具有相同的位相和頻率， 是一種最簡單的振動稱為。11 .具有品格周期性勢場中的電子，具波動方程為 012 .在自由電子近似的模型中， 隨位置變化小，當(dāng)作 來處理。13 .晶體中的電子基本上圍繞原子核運動，主要受到該原子場的作用，其他原子場的作用可當(dāng)作 處理。這是晶體中描述電子狀態(tài)的模型。14 .固體可分

3、015 .典型的晶格結(jié)構(gòu)具有簡立方結(jié)構(gòu)，, , 四種結(jié)構(gòu)。16 .在自由電子模型中，由于周期勢場的微擾，能量函數(shù)將在K=處斷開，能量的突變?yōu)?。17 .在緊束縛近似中，由于微擾的作用，可以用原子軌道的線性組合來描述電 子共有化運動的軌道稱為,表達式為 018 .愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認為所有的格波都以相同的 振動,忽略了頻率間的差別，沒有考慮 的色散關(guān)系。19 .固體物理學(xué)原胞原子都在 ,而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點也可以在 艮P存在于 020 .晶體的五種典型的結(jié)合形式是 、21 .兩種不同金屬接觸后，費米能級高的帶 電，對導(dǎo)電有貢獻的是的電子。22 .固體能帶論的三個基本假設(shè)是： 、 02

4、3 .費米能量與 和 因素有關(guān)。二、名詞解釋1.聲子；2.;布拉伐格子；3.布里淵散射；4.能帶理論的基本假設(shè).5.費米能；6.晶體的晶面；7.喇曼散射；8.近自由電子近似。9.晶體；10.布里淵散射；11.晶格；12.喇曼散射；三、簡述題1 .試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價結(jié)合中，哪 一種或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。2 .什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？3 .什么是德拜溫度？它有什么物理意義？4 .試敘述原子能級與能帶之間的對應(yīng)關(guān)系。5 .簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。6 .試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特

5、點？7 .共價結(jié)合中為什么有“飽和性"和“方向性”？8 .什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結(jié)果。9 .什么是晶體振動光學(xué)支和聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別？10 .近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？11 .金屬晶體的結(jié)合力是什么？ 一般金屬晶體具有何種結(jié)構(gòu)，最大配位數(shù)為多少？12 .德拜模型在低溫下理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合相對較好但是仍存在偏差，其產(chǎn)生偏差的根源是什么？13 .原子間的排斥作用取決于什么原因？14 .在能帶頂，電子的有效質(zhì)量m*為什么為負值？試解釋其物理意義。15 .試述固體物理學(xué)原胞和結(jié)晶學(xué)原胞的相似點和區(qū)別 ？16 .根據(jù)結(jié)

6、合力的不同，晶體可分為幾種類型其各自的結(jié)合力分別是什么？17 .愛因斯坦模型在低溫下理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)存在偏差的根源是什么？18 .什么是“空穴”？簡述空穴的屬性。四、推導(dǎo)題1 .對一維簡單格子，按德拜模型，求出品格熱容，并討論高、低溫極限。2 .對二維簡單格子，按德拜模型，求出品格熱容，并討論高、低溫極限。3 .推導(dǎo)一維單原子鏈的色散關(guān)系4 .推導(dǎo)一維雙原子鏈的色散關(guān)系五、計算題1 .已知鋁為三價金屬，原子量為 27,密度為2.7g/cm3,金屬鋁在T= 0 K下的 費米波矢、費米能和費米速度。2 .已知電子在周期場中的勢能為1U (x) m b (x na)，當(dāng) na b x na b時2

7、U (x) 0,當(dāng)(n 1)a b x na b時其中：a 4b, 為常數(shù)。(1)畫出勢能曲線，并求出其平均值；(2)用近自由電子模型求出此晶體的第 1及第2個禁帶寬度。3 .用緊束縛模型，試求解(1)面心立方點陣s態(tài)電子的緊束縛能帶；(2)證明在k=0附近等能面刎為球形面，并計算有效質(zhì)量 m.eikRne中的E：Cs,J均為已知，且在k=0Rn11 c1 -(-kxa)22 2其中：Es(k)E；t Cs J一，1附近時，即ka<<1時，cos- kxa215N/m,計算:1)光學(xué)波頻率的最大值max和最小值min,聲學(xué)波頻率的最大值A(chǔ)ax；4 .在一維復(fù)式格子中，如果 m 5

8、1.67 10 27kg, M 4, m2)相應(yīng)聲子的能量Emax、Emin和EAax；3)如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā) ;x的聲子所用的電磁波波長在什么波段？5 .已知半導(dǎo)體GaAs具有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的最近距離d = 2.45X10-10m。試求：(1)品格常數(shù)；(2)固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(110)和(它1)晶面法向方向間的夾角。(20分)2 716 .已知一維晶格中電子的能市可與成E k2 - coska -cos2kama 88式中a是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求：(1)能帶寬度(E Emax Emin

9、)；(2)電子的平均速度。7 .利用緊束縛方法處理體心立方晶體中 S態(tài)電子的能帶，求出：(1) S態(tài)電子的能帶E k(2)求出能帶頂和能帶底處的電子的有效質(zhì)量。六、證明題1. 試證明倒格子原胞的體積為(2 )3/Vc,其中Vc為正格子原胞的體積。2. 證明：倒格子矢量G兒匕h2b2 h3b3垂直于密勒指數(shù)為(hhhs)的晶面 系。3. 試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。七、說明題1 .原子結(jié)合成晶體時，原子的價電子產(chǎn)生重新分布，從而產(chǎn)生不同的結(jié)合力， 試分析說明離子性、共價性、金屬性和范德瓦耳斯性結(jié)合力的特點。2 .布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改 進？

10、固體物理總復(fù)習(xí)題答案一、填空題1 .最??；1 2.3; 3n 3 3 . k(r) eikruk(r); uk(r)4.禁帶(帶隙)； 擴展能區(qū)圖式法；簡約布里淵區(qū)圖式法；周期性能區(qū)圖式法 5. 7; 14 6 .布 喇菲；復(fù)式；兩個 7 .滿帶；空帶；價帶；導(dǎo)帶；帶隙 8.平移；旋轉(zhuǎn)；反 演29 .雙面群 10.簡正振動 11. 2 V(r) (r) E (r) 12. 周期勢 2m場；微擾13.微擾；緊束縛14.晶體；非晶體；準晶體15.體心立方；面心立 方；六角密排 16. K= n ; 2Vn 17.原子軌道線性組合法；a(r)am i(r Rm) 18.頻率；格波m19.頂點；面心、

11、體心；20.離子結(jié)合；共價結(jié)合；金屬結(jié)合；范德瓦爾斯結(jié)合；氫鍵結(jié)合 21 .正；費米面附近22.絕熱近似；單電子近似；周期場近似23.電子密度；溫度二、名詞解釋1 .晶格振動中格波的能量量子。每個振動模式的能量均以為單位，能量遞增為整數(shù)倍一一聲子的能量，一個格波就是一個振動模式，對應(yīng)一種聲子。2 .由11al 12a2 13a3確定的空間格子。3 .當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動 很小，大約在107 3 1010 赫，稱為布里淵散射。4 . (1)絕熱近似：將固體分開為電子系統(tǒng)及離子實系統(tǒng)的一種近似方法；(2)單電子近似(自洽場近似)：利用哈特里 ?？朔椒▽⒍嚯娮訂栴}歸結(jié)為單電子問題；

12、(3)周期場近似：假定單電子勢場具有與品格同樣的平移對稱性。5 .電子按泡利不相容原理，能量從低至高填充，所達到的最高能級。6 .在布拉伐格子中作一族平行的平面，這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點包括無遺，這些相互平行的平面稱為晶體的晶面。7 .當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動大約在 3 1010 3 1013赫，稱為喇曼散 射。8 .假定周期場的起伏比較小，作為零級近似，可以用勢場的平均值V代替V(x), 把周期起伏V(x) V做為微擾來處理。9 .晶體是由完全相同的原子、分子或原子團在空間有規(guī)則地周期性排列構(gòu)成的固體材料。10 .當(dāng)光與聲學(xué)波相互作用，散射光的頻率移動 很小，大約在

13、107 3 1010赫，稱為布里淵散射。11 .晶體中的原子是規(guī)則排列的，用幾組平行直線連接晶體中原子形成的網(wǎng)絡(luò)，稱為品格。12 .當(dāng)光與光學(xué)波相互作用，頻率移動大約在 3 1010 3 1013赫，稱為喇曼散射。三、簡述題1 .試說明在范德瓦爾斯結(jié)合、金屬性結(jié)合、離子性結(jié)合和共價結(jié)合中，哪一種 或哪幾種結(jié)合最可能形成絕緣體、導(dǎo)體和半導(dǎo)體。答：離子晶體主要依靠正負離子之間的靜電庫侖力而結(jié)合，結(jié)合力較強，結(jié)構(gòu)甚為穩(wěn)定，結(jié)合能較大，因此，導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成半導(dǎo)體和絕緣 體。共價結(jié)合的晶體為原子晶體，是由兩原子之間一對自旋相反的共有化電 子形成的，具結(jié)合力較強，導(dǎo)電性能差，這種結(jié)合可能形成

14、半導(dǎo)體和絕緣體。 金屬性結(jié)合的晶體，原子失去價電子而成為離子實，價電子為全體離子實所 共有，金屬性結(jié)合就是價電子與離子實之間的相互作用而形成的，結(jié)合能較 小，易形成導(dǎo)體。范德瓦爾斯結(jié)合的晶體為分子晶體，這種結(jié)合是一種弱的 結(jié)合，電離能大，易形成絕緣體。2 .什么是聲子？聲子與光子有什么相似之處和不同之處？答：品格振動的能量是量子化的，把晶格振動能量的量子稱為聲子。聲子與光子相類似，凡是應(yīng)用到光子上的理論，幾乎都可以應(yīng)用到聲子上，相同 之處是它們都是波色子，碰撞過程中能夠被產(chǎn)生、或被消滅，能量的交換 是一份一份的，即能量是量子化的。不同之處是聲子只代表振動的機械狀 態(tài)，而不具有動量。光子可以在真

15、空中傳播，而聲子只能在介質(zhì)中傳播。3 .什么是德拜溫度？它有什么物理意義？答：德拜彈性波模型的截止頻率 m按 7 關(guān)系式換算得到的溫度 D稱為德 kB拜溫度。熱容量的特征完全由德拜溫度確定，它近似地代表經(jīng)典比熱理論 適用的高溫范圍同低溫適用的低溫范圍的分界溫度?？梢源致缘刂甘境銎?格振動頻率的數(shù)量級。4 .試敘述原子能級與能帶之間的對應(yīng)關(guān)系。答：原子能級與能帶之間存在著兩種對應(yīng)關(guān)系，一是簡單的 對應(yīng)，原子的 各不同能級在固體中將產(chǎn)生一系列相應(yīng)的能帶，低能級的能帶較窄，高能級的能帶較寬。二是在形成晶體的過程中，不同原子態(tài)之間有可能相互混和， 使對應(yīng)關(guān)系變的比較復(fù)雜，可認為主要是由幾個能級相近的原

16、子態(tài)相互結(jié)合 而形成能帶，能帶發(fā)生了明顯的重疊。5 .簡述Bloch定理，解釋簡約波矢k的物理意義，并闡述其取值原則。答：在晶體周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按品格周期調(diào)幅的平面波，即電子的波函數(shù)具有如下形式k(r) eikr k(r)ff*k(r) k(r Rn)其中k為電子的波矢，Rn為格矢，上述理論稱為布洛赫定理。平移算符和能量算符是對易算符，具有相同的本征態(tài)，為了使平移算符在 波矢k的某個范圍內(nèi)，一個本征值對應(yīng)于一個波函數(shù)，我們把波矢限制在k,-范圍內(nèi)，這一區(qū)域稱為簡約布里淵區(qū)。在此范圍內(nèi)的波矢，我們2 2稱為簡約波矢。6 .試說明晶體結(jié)合的基本類型及其特點？答：晶體中的原子之所以能

17、夠結(jié)合成具有一定幾何結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定晶體，是由于原子之間存在著結(jié)合力，而這種結(jié)合力與原子的結(jié)構(gòu)有關(guān)，不同類型的原子之間具有不同性質(zhì)的結(jié)合力，由于結(jié)合力的性質(zhì)不同，晶體會具有不同類型的結(jié)合。一般晶體的結(jié)合可以概括為離子性結(jié)合、共價結(jié)合、金屬性結(jié)合和范德瓦爾斯結(jié)合四種基本形式。離子晶體的典型晶格中，正、 負離子相間排列，作用力的總效果為庫侖引力，具有結(jié)構(gòu)很穩(wěn)定、導(dǎo)電性能差、熔點高、硬度高、膨脹系數(shù)小的特點；共價結(jié)合的晶體是一對近鄰原子相互靠近，波函數(shù)交疊，形成共價鍵，具有飽和性和方向性；金屬性結(jié)合是共有化的價電子與離子實之間的價鍵結(jié)合，結(jié)構(gòu)密排，具有熔點高、硬度高、導(dǎo)電、導(dǎo)熱性能好、無飽和性和方向性等特

18、點；范德瓦爾斯結(jié)合產(chǎn)生在原來穩(wěn)定電子結(jié)構(gòu)的原子或分子之間，結(jié)合后仍保持原來的電子結(jié)構(gòu)，具有結(jié)合力小、熔點很低、硬度很小的特點。7共價結(jié)合中為什么有”飽和性”和”方向性”?答:設(shè)N為一個原子的價電子數(shù)目，對于IV A, VA, VIA, VHA族元素，價電子 殼層一共有8個量子態(tài)，最多能接納（8-N）個電子，形成（8-N）個共價鍵。 這就是共價結(jié)合的“飽和性”。共價鍵的形成只能在特定的方向上，這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱軸方向，在這個方向上交迭的電子云密度最大。這就是共價結(jié)合的“方向性”。8什么是晶體熱容的愛因斯坦模型和德拜模型？比較其主要結(jié)果。答： 愛因斯坦模型是假設(shè)晶體中的所有原子都以相同

19、的頻率0 ，作相互獨立的振動。德拜模型是把晶體看作各向同性的連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波，色散關(guān)系為直線。愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別，假設(shè)過于簡單，理論值的關(guān)系與實驗值不符。德拜模型在低溫時，熱容決定于最低頻率的振動，理論值與實驗值相符。9什么是晶體振動光學(xué)支和聲學(xué)支格波？它們有什么本質(zhì)上的區(qū)別？答：在一維雙原子的簡單復(fù)式晶格中，求解原子的運動方程。對應(yīng)于每一個q 值，都有頻率和 的兩類振動，且，對應(yīng)于的格波稱為光學(xué)分支的格波。對應(yīng)于的格波稱為聲學(xué)分支的格波。對于光學(xué)分支的格波，相鄰兩不同原子的振動方向相反。而對于聲學(xué)分支的格波，相鄰兩原子的振動方向相一致，且在長波情況下，聲學(xué)分支的格波與

20、彈性波相一致。10近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)

21、構(gòu)。11 .答：金屬晶體的結(jié)合力為原子實與電子云之間的靜電庫侖力，具一般具有面心立方結(jié)構(gòu)及六角密積結(jié)構(gòu)，配位數(shù)為 12。12 .答：它忽略了晶體的各向異性；忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對熱容的貢獻， 光學(xué)波和高頻聲學(xué)波是色散波，它們的關(guān)系式比彈性波的要復(fù)雜的多。13 .答：兩部分原因：帶正電荷的原子核之間的庫侖排斥力；原子或正負離子的閉合電子殼層相互交疊時，由泡利不相容原理而產(chǎn)生的排斥力。14 .答：晶體中的電子除受外場力，還和品格相互作用，設(shè)外場力為 F,品格對電子的作用力為Fi ,電子的加速度a 1 F Fi , Fi的具體形式難以得知， m為了不顯含F(xiàn)i ,則只有a 2,品格作用越小，有效質(zhì)

22、量與真實質(zhì)量相差越小， m當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子散射 作用最強烈。使得加速度與外場力的方向相反，有效質(zhì)量為負。15 .答：固體物理學(xué)原胞是只考慮周期性的最小的重復(fù)單元，而晶胞是同時計及周期性與對稱性的盡可能小的重復(fù)單元。兩者都體現(xiàn)了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，但 是結(jié)晶學(xué)原胞還要考慮到對稱性，所以其體積往往是固體物理學(xué)原胞的幾倍。 固 體物理學(xué)原胞原子都在頂點，而結(jié)晶學(xué)原胞原子可以在頂點也可以在面心、 體心 即存在于原胞內(nèi)部。16 .答：晶體根據(jù)結(jié)合力不同分為五種晶體類型。離子晶體（正負離子間靜電庫侖力）分子晶體（范德瓦爾斯力）金屬晶體（電子云和原子實之間的靜

23、電庫侖力）共價晶體（共價鍵）氫鍵晶體（氫鍵作用）17 .答：愛因斯坦模型建立的基礎(chǔ)是認為所有的格波都以相同的頻率振動，忽略 了頻率間的差別，沒有考慮格波的色散關(guān)系。18 .答：空穴：空缺一個狀態(tài)的能帶的電流猶如由一個帶正電荷e,具有空缺態(tài)電子的速度的“粒子”對電流的貢獻。這一粒子稱為“空穴” 空穴的屬性：帶正電荷e速度為缺失狀態(tài)電子的速度，有效質(zhì)量為正，數(shù)值等于該電子有效質(zhì)量的絕對值。四、推導(dǎo)題1.解：德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為： cq,dq - dcd內(nèi)包含的振動模式數(shù)目為:dZ 2 dq d 2 c模式密度：g( ) dZ - d cN N是原子總數(shù)得m利用：g( )d0m/kpT晶

24、格熱容：Cv kB ()2e;TT2g( )d 0 KbT(e /kBT 1)2kB Lcm/ kBT()2eTTT2 d0 KbT (e /kBT 1)221 / 20DCvLkBTcD /T x 2e x0 (ex 1)2 dx其中mkB2.解：德拜模型格波為彈性波，色散關(guān)系為q ,在二維波矢空間內(nèi)，格波等頻線是一個個圓周，在q q dq區(qū)間內(nèi)波矢數(shù)為:SSdZ 2 2 qdq 2 d(2 )22 2模式密度：dg( ) S方d 2g(二維介質(zhì)由兩支格波，總模式密度:格波振動能：E0S2 ,/ kT(ed 1)品格熱容：CvSm/ kT2 eK( )2 / /kT 72 d0 KT (e

25、1)其中:mg(0)dm SJd2N0kT其中高溫極限:ex低溫極限:d/TSkat2k(kT)2x0 (e1)2dx與經(jīng)典理論一致。x 3e xx x 八20 (e 1)dx 6 (3)(常數(shù))在低溫下二維品格的熱容量與溫度的平方成正比。3.解：只考慮臨近原子相互作用，第n個原子所受的總作用力fn2Un第n個原子的運動方程d2 dFun2unun 1 un 1設(shè)解的形式為:unAeiqna運動方程Miqaeiqae22Mcos qa4sin M2 qa4.解：質(zhì)量為M的原子位于2n-1 , 2n+1 , 2n+3.qasin 一質(zhì)量為m的原子位于2n, 2n+2 , 2n+42n-3 2n-

26、l 2nH 2n+3運動方程為：M 2n 12 2n 1 2n 2 2n ；2n2n2n 1 2n 1設(shè)方程解的形式：2n Aei t 2naq和2niBei t 2n 1aq因為M m,復(fù)式格子中不同原子振動的振幅一般來說是不同的。將Aei t 2naq2n Ae1 t 2n 1aq2n 1 Be帶回到運動方程得到：m 2A(eiaq eiaq)B 2 A (2 m 2)A (2 cosaq)B 0M 2B(eiaq eiaq)A 2 B (2 cosaq)A (2 M 2)B 0若A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足:2 cosaq2 cosaq2 M (m1 1mM(m_J1 1 mM4mM

27、(m M )2 21/21sin aq 1/2, aq 4mM . 2 2 sin (m M )2(m_J1 1mM4mM(m M )2- 21/2,sin aq 五、計算題1解：由題設(shè)可得金屬鋁的電子濃度為：2.723233293n 3 ( 6.02 10 ) 1,8 10 (cm ) 1.8 10 (m )KF (3 2n)1/3(32 1.8 1029)1/3 1.75 1010(m 1)上(1,。546 10 34 4 1。10)21.87 10, n.7ev2m2 9.11 10VFKFm(1.0546 10 34 1.75 1010)319.11 10_62.03 10 m/s2

28、.解：(1)該周期場的勢能曲線如下所示:4U7b 5b3b b O b3b 5bx其勢能平均值為:U (x)dxU dxbU (x)dx3bbdx3b1222-m (b x )dxb24b12, 2-m b6(2)根據(jù)近自由電子模型,此晶體的第1及第2個禁帶寬度為E12U1U114bi2U2e3bi2)d14bb i2eb14b2(b2222、4 4m b)d3e4b 3b24b U()d14bi224b2(b22 22 m b)d . 22E225其中U1和U 2表示周期場U(x)的展開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為E12U13.解：(1)C 2

29、. 28m b3E22U22. 2m b2/1 、at利用緊束縛模型計算能帶 Es(k) EsCs近鄰i k Rn J e ，對Rn于面心立方點陣，S態(tài)電子波函數(shù)來說，交迭積分相等，原點的最近鄰位aaa八R 2( 1, 1,0),2( 1,0, 1)1(0, 1, 1) (3分)將最近鄰的12個格點的格矢代入公式：近鄰Es(k) E：t Cs J eikRn RnE；t Cs 4J(cos； kxacos1 kya1 ,1,1,1,、cos- kvacos- kza cos- kzacos- kxa)2 y2 z 2 z 2(2)在k<<1的極限下，將cos1 kxa等用泰勒級數(shù)展

30、開2cos1kxa21 12-，一 -(-kxa)2取一級近似，得2 2Es(k)ESatCS 12J Jk2a2顯然，Es(k)與k的方向無關(guān)，即等能面為球形。有效質(zhì)量m222E 2Ja2k24.解：1)聲學(xué)波的最大頻率:23 1014radsA2-Amax .maxM光學(xué)波的最大頻率:O maxO max光學(xué)波的最小頻率:O min25 , M24 0.2M m M6.7 1014rad s6 1014 rad s2)相應(yīng)聲子的能量A maxE AmaxA maxE Amax0.198eVO maxEOmaxO maxEOmax0.442eVO minEOminEOmin0.396eV3)

31、因為E°x0.442eV,對應(yīng)電磁波的波長為2.8 m要激發(fā)Oax的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段5. 一Ga原子口 一As原子解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心 立方品格，其原胞包含一個Ga原子和一個As原子, 其中Ga原子處于面心立方位置上，而 As原子則處 于立方單元體對角線上距離 Ga原子1/4體對角線 長的位置上，如左圖所示：-3由此可知：d a444一7d 2.45 1010m=5.59 1010m3.3(2)由于GaAs的空間點陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為:a1a2a3a2(ja,.2(ka,.2(ik)i)j)2.7952.7952.79

32、51010(j1010(k1010(ik)i)j)其倒格子基矢為:b2b3a(i a(i ak)k)k)_101.124 1010(101.124 10 10(i1.124 10 10 (ij k)k)k)(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為:H_2_d110K11021 b1 1b20 b32 27951010 m(4)根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢Km和K俏之間的夾角，設(shè)為 ，則有:K110 Km arccosK Iioiii(1 b1 1 b21 b11 b20 b3) (1 3b11 b21 b21 b3)b36.解（1）

33、dE kdk2 maa sin ka=arccos( 0.3015)2a sin 2ka107.55sinkasinkasinka能帶寬度:(2)ma7.解:(1)Es1.八sin 2ka41sinkacoska/a2 ma2 maEmin2 mamax2 maEmaxEm.dk一 1 一，sin ka sin 2ka4根據(jù)緊束縛模型,s A Js eikRnn對體心立方，最近鄰的原子有代入上式，有:Es k s A Js,kskyi a a22e2 ma2 a sin ka maS帶的能量:a .一 sin 2ka4Rn為最近鄰格點8個，即kzai -kxa2 +e 2a2,a2,&

34、 ga22kxa & 0a222+kla klakz _z_a2kxa2kykza z a22kxa2kyakz _2a2kxkykzi _a a z a222e2Js1 cos-2kxakyakza1 cos-2kxakvakzax y z1 cos2kxakyakza1 cos2kxakyakzakxa1 cos-2A ,1，A 2Js 2cos kya kza2 y1 ,1 ,2cos- kxa cos kya kza22 yA 8J S cos1,1,一kx a cos k 22ya1cos 一 2kza(2)根據(jù)Es k1 ,1 ,1 ,8JScoskxa cos kya c

35、os kza22 y 2在kxkykz 0 即0,0,0處，Es k 最小為能帶底 Emin s A 8JsEs最大42小在 H ,0,0 處, a為能帶頂maxEs8JSSE kkx4Jsasinkxacos 2kya cos2kza22E kk22Jsa2 coskxa2kya coscoskza22E kkx ky4Jsa2sinkxa2sinkya2kza cos 2在帶底0,0,0處,*mxx2E/ k22Jsa2*mxy2E/ kx kv x y*myy* mzz*mxx2Jsa2*myz mxz在帶頂H ,0,0a處，有*mxx2E/ k22Jsa2*mxy22E/ kx ky* myy*mzzmxx2Jsa2*myz* mxz六、證明題i.證明：倒格子基矢為:bi2a2 a3ai a2a3b2a3a