1、1第一章緒論1 1.1 .1 控制理論的發(fā)展歷史控制理論的發(fā)展歷史1.2 1.2 控制理論的性質(zhì)控制理論的性質(zhì)1.3 1.3 控制理論的應(yīng)用控制理論的應(yīng)用1.4 控制一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的幾個(gè)基本步驟31.1 控制理論的發(fā)展歷史控制理論的發(fā)展歷史v1945年年開始形成的開始形成的v1765年年俄國(guó)機(jī)械師波爾祖諾夫發(fā)明了蒸汽機(jī)鍋爐水位調(diào)節(jié)器俄國(guó)機(jī)械師波爾祖諾夫發(fā)明了蒸汽機(jī)鍋爐水位調(diào)節(jié)器 v1784年年英國(guó)人瓦特英國(guó)人瓦特(Watt)發(fā)明了蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器發(fā)明了蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器 v1877年年勞斯勞斯(Routh)和赫爾維茨和赫爾維茨(Hurwitz)提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)的代數(shù)判

2、據(jù) v19世紀(jì)前半葉，世紀(jì)前半葉，生產(chǎn)中開始使用發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī)生產(chǎn)中開始使用發(fā)電機(jī)和電動(dòng)機(jī) v19世紀(jì)末到世紀(jì)末到20世紀(jì)前半葉，世紀(jì)前半葉，內(nèi)燃機(jī)的使用內(nèi)燃機(jī)的使用v二次世界大戰(zhàn)中，二次世界大戰(zhàn)中，搭起了經(jīng)典控制理論的框架，戰(zhàn)后這些理搭起了經(jīng)典控制理論的框架，戰(zhàn)后這些理論被公開，并應(yīng)用于一般的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中論被公開，并應(yīng)用于一般的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中4經(jīng)典控制理論（經(jīng)典控制理論（20世紀(jì)世紀(jì)4060年代）年代） 1932年奈奎斯特年奈奎斯特(Nyquist)的的再生理論再生理論一文，開辟了頻域法的一文，開辟了頻域法的新途徑；新途徑；1945年伯德年伯德(Bode)的的網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)分

3、析和反饋放大器設(shè)計(jì)一文，奠定一文，奠定了經(jīng)典控制理論的理論基礎(chǔ)，在西方開始形成了自動(dòng)控制學(xué)科；了經(jīng)典控制理論的理論基礎(chǔ)，在西方開始形成了自動(dòng)控制學(xué)科；1947年美國(guó)出版了第一本自動(dòng)控制教材年美國(guó)出版了第一本自動(dòng)控制教材伺服機(jī)件原理伺服機(jī)件原理；1948年美國(guó)麻省理工學(xué)院出版了另一本年美國(guó)麻省理工學(xué)院出版了另一本伺服機(jī)件原理伺服機(jī)件原理教材，教材，建立了現(xiàn)在廣泛使用的頻域法；建立了現(xiàn)在廣泛使用的頻域法；1948年維納年維納(Wiener)在他的名著在他的名著 控制論：或關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器控制論：或關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制和通信的科學(xué)中控制和通信的科學(xué)中基于信息的觀點(diǎn)給控制論中基于信息的觀點(diǎn)給控制論(

4、Cybernetics)下下了一個(gè)廣義的定義。而在控制工程中又稱為控制理論了一個(gè)廣義的定義。而在控制工程中又稱為控制理論(Control Theory)。20世紀(jì)世紀(jì)50年代是經(jīng)典控制理論發(fā)展和成熟的時(shí)期。年代是經(jīng)典控制理論發(fā)展和成熟的時(shí)期。 經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：1 1）把系統(tǒng)當(dāng)作）把系統(tǒng)當(dāng)作 “ “黑箱黑箱”，不反映黑箱內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)，不反映黑箱內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量，即輸入輸出間的因果關(guān)系；部變量，只反映外部變量，即輸入輸出間的因果關(guān)系；2 2）傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)外部特性，屬于外部描述，）傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)外部特性，屬于外部描述，不完全

5、描述；不完全描述；3 3）主要采用頻域法，建立在根軌跡和奈奎斯特判據(jù)等基礎(chǔ)）主要采用頻域法，建立在根軌跡和奈奎斯特判據(jù)等基礎(chǔ)之上的；之上的；4 4）局限性：）局限性： 局限于線性定常系統(tǒng)，不適合非線性和時(shí)變系統(tǒng)局限于線性定常系統(tǒng)，不適合非線性和時(shí)變系統(tǒng) 是分析方法而不是最佳的綜合方法，以試湊法為主，滿足性能指是分析方法而不是最佳的綜合方法，以試湊法為主，滿足性能指標(biāo)為目的，無(wú)法設(shè)計(jì)出最優(yōu)的系統(tǒng)，僅針對(duì)某個(gè)性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)標(biāo)為目的，無(wú)法設(shè)計(jì)出最優(yōu)的系統(tǒng)，僅針對(duì)某個(gè)性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)方案多樣方案多樣 局限于單輸入單輸出系統(tǒng)（局限于單輸入單輸出系統(tǒng)（SISOSISO系統(tǒng)）系統(tǒng)） 無(wú)法考慮系統(tǒng)的初始條件（傳

6、遞函數(shù)的定義）無(wú)法考慮系統(tǒng)的初始條件（傳遞函數(shù)的定義） 只能研究確定性的系統(tǒng)，不適合隨機(jī)系統(tǒng)只能研究確定性的系統(tǒng)，不適合隨機(jī)系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生和發(fā)展現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生和發(fā)展 在二十世紀(jì)五十年代末開始，隨著計(jì)算機(jī)的飛速在二十世紀(jì)五十年代末開始，隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，推動(dòng)了核能技術(shù)、空間技術(shù)的發(fā)展，從而出發(fā)展，推動(dòng)了核能技術(shù)、空間技術(shù)的發(fā)展，從而出現(xiàn)了對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)現(xiàn)了對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)問(wèn)題的解決需求。的分析與設(shè)計(jì)問(wèn)題的解決需求。 越來(lái)越復(fù)雜的系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論已不能勝任，越來(lái)越復(fù)雜的系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論已不能勝任，于于50年代末年代

7、末60年代初出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，是建立年代初出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，是建立在古典控制理論基礎(chǔ)上的新一代的控制理論。在古典控制理論基礎(chǔ)上的新一代的控制理論。7現(xiàn)代控制理論（現(xiàn)代控制理論（20世紀(jì)世紀(jì)60年代中期成熟）年代中期成熟） 20世紀(jì)世紀(jì)50年代末年代末60年代初，空間技術(shù)開始發(fā)展，前蘇聯(lián)年代初，空間技術(shù)開始發(fā)展，前蘇聯(lián)和美國(guó)都競(jìng)相進(jìn)行了大量研究。和美國(guó)都競(jìng)相進(jìn)行了大量研究。1960年在美國(guó)自動(dòng)控制聯(lián)合會(huì)第一屆年會(huì)上首次提出年在美國(guó)自動(dòng)控制聯(lián)合會(huì)第一屆年會(huì)上首次提出“現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論”這個(gè)名詞。這個(gè)名詞。在狀態(tài)空間法發(fā)展初期，具有重要意義的是龐特里亞金在狀態(tài)空間法發(fā)展初期，具有重要意義

8、的是龐特里亞金（Pontryagin）的極大值原理。）的極大值原理。貝爾曼（貝爾曼（Bellman）的動(dòng)）的動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論和卡爾曼態(tài)規(guī)劃理論和卡爾曼（Kalman）的最佳濾波理論，）的最佳濾波理論，有人有人把它們作為現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)，把它們作為現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)，主要研究主要研究系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)、最、最優(yōu)控制、優(yōu)控制、最佳濾波最佳濾波及及自適應(yīng)控制自適應(yīng)控制等內(nèi)容。等內(nèi)容。820世紀(jì)世紀(jì)70年代后期，控制理論向廣度和深度發(fā)展的結(jié)果。年代后期，控制理論向廣度和深度發(fā)展的結(jié)果。大系統(tǒng)理論和智能控制理論大系統(tǒng)理論和智能控制理論 大系統(tǒng)大系統(tǒng)是指規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制是指規(guī)模龐大、結(jié)

9、構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制系統(tǒng)，它涉及生產(chǎn)過(guò)程、交通運(yùn)輸、計(jì)劃管理、環(huán)境保護(hù)、系統(tǒng)，它涉及生產(chǎn)過(guò)程、交通運(yùn)輸、計(jì)劃管理、環(huán)境保護(hù)、空間技術(shù)等多方面的控制和信息處理問(wèn)題?？臻g技術(shù)等多方面的控制和信息處理問(wèn)題。智能控制智能控制則研究模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等某些具則研究模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等某些具有仿生智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。有仿生智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。20世紀(jì)世紀(jì)80年代以后，又相繼提出了魯棒控制系統(tǒng)、容錯(cuò)年代以后，又相繼提出了魯棒控制系統(tǒng)、容錯(cuò)控制系統(tǒng)、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等一些概念?？刂葡到y(tǒng)、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等一些概念。 現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的差異現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制

10、理論的差異 經(jīng)典控制理論 現(xiàn)代控制理論 研究對(duì)象單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO):高階微分方程 多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO) :一階微分方程 研究方法傳遞函數(shù)法(外部描述) 狀態(tài)空間法(內(nèi)部描述) 研究工具拉普拉斯變換 線性代數(shù)，矩陣?yán)碚摲治龇椒l域(復(fù)域),頻率響應(yīng)和根軌跡法 復(fù)域、實(shí)域，可控和可觀測(cè) 設(shè)計(jì)方法PID控制和校正網(wǎng)絡(luò) 狀態(tài)反饋和輸出反饋 其他 頻率法的物理意義直觀、實(shí)用，難于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制 易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制和最優(yōu)控制 1.2 控制理論的性質(zhì) 控制理論有兩個(gè)目標(biāo)：了解基本控制原理；以數(shù)學(xué)表達(dá)它們，使它們最終能用以計(jì)算進(jìn)人系統(tǒng)的控制輸入，或用以設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)。自動(dòng)控制領(lǐng)域中有兩個(gè)不同的

11、但又相互聯(lián)系的主題。第一個(gè)主題是反饋的概念。第二個(gè)主題是最優(yōu)控制的概念。 反饋概括了很廣泛的概念，包括當(dāng)前系統(tǒng)中的多回路、非線性和自適直反饋，以及將來(lái)的智能反饋。1.3 控制理論的應(yīng)用 控制系統(tǒng)之所以能得到如此普遍的應(yīng)用，1、現(xiàn)代儀表化(完備的傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu))與便宜的電子硬件，2、控制理論有處理其模型和輸出信號(hào)所具有的不確定性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的能力。 在控制理論中已完善的各種方法愈來(lái)愈得到普遍應(yīng)用的同時(shí)，先進(jìn)的理論概念的應(yīng)用卻仍集中在像空間工程那樣的高技術(shù)方面。當(dāng)然，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和世界性的激烈的工業(yè)競(jìng)爭(zhēng)，這種情況將會(huì)改變。鋼鐵行業(yè)中熱軋廠是最早成功地采用計(jì)算機(jī)控制的工廠?？刂聘拍畹玫街饕?/p>

12、應(yīng)用的一個(gè)領(lǐng)域是石油化工生產(chǎn)過(guò)程。1.4 控制一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的幾個(gè)基本步驟簡(jiǎn)單地說(shuō)，控制一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有下列四個(gè)基本步驟：建模 基于物理規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)辨識(shí) 基于輸入輸出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型；信號(hào)處理 用濾波、預(yù)報(bào)、狀態(tài)估計(jì)等方法處理輸出；綜合控制輸入 用各種控制規(guī)律綜合輸入。1建模為一個(gè)系統(tǒng)選擇一個(gè)數(shù)學(xué)模型是控制工程中最重要的工作。2系統(tǒng)辨識(shí) 系統(tǒng)辨識(shí)可以定義為用在一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)上觀察到的輸入與輸出數(shù)據(jù)來(lái)確定它的模型的過(guò)程。 當(dāng)前系統(tǒng)辨識(shí)方面的研究集中在下列諸基本問(wèn)題上：辨識(shí)問(wèn)題的可解性和問(wèn)題提出的恰當(dāng)性、對(duì)各類模型的參數(shù)估計(jì)方法。 信號(hào)處理是控制理論外面的獨(dú)立的一門學(xué)科，但這兩學(xué)科之問(wèn)有許

13、多重疊之處，而控制界曾對(duì)信號(hào)處理作出了重要貢獻(xiàn)，特別是在濾波和平滑的領(lǐng)域。3信號(hào)處理4控制的綜合這些過(guò)程的復(fù)雜性導(dǎo)致了各種控制研究課題，主要有：魯棒控制理論適應(yīng)控制一多變量控制非線性控制理論分布參數(shù)控制其它控制14第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述15本章主要內(nèi)容v2.1 狀態(tài)空間分析法v2.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖v2.3 狀態(tài)空間描述的建立v2.4 化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式v2.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)v2.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述v2.7 狀態(tài)矢量的線性變換16系統(tǒng)描述中常用的基本概念v 系統(tǒng)的外部描述 傳遞函數(shù)v 系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述由外部描述 求其內(nèi)部描述 系統(tǒng)實(shí)

14、現(xiàn)17 1、外部描述、外部描述 經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時(shí)域經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時(shí)域內(nèi)描述，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困內(nèi)描述，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困難的。難的。 經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入-輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)SISO系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計(jì)布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解

15、分析設(shè)計(jì)法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。 但傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處但傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)變量；且忽略了初始條件。因此傳遞于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)變量；且忽略了初始條件。因此傳遞函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。 182、內(nèi)部描述、內(nèi)部描述 由于六十年代以來(lái)，控制工程向復(fù)雜化、高性能由于六十年代以來(lái)，控制工程向復(fù)雜化、高性能方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變

16、化規(guī)律，加之利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時(shí)控制，因而利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時(shí)控制，因而可能處理復(fù)雜的時(shí)變、非線性、可能處理復(fù)雜的時(shí)變、非線性、MIMO系統(tǒng)的問(wèn)題，系統(tǒng)的問(wèn)題，但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是需要用新的對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間需要用新的對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間分析法。分析法。19為什么采用狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）為什么采用狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）？v觀察觀察：在經(jīng)典控制理論中，對(duì)一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)在經(jīng)典控制理論中，對(duì)一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng) 11SSsHc 11SsHf（在S右半平面有一個(gè)極點(diǎn)

17、）為使系統(tǒng)穩(wěn)定，加一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，加一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)總傳遞函數(shù)為：總傳遞函數(shù)為： )1(1)1)(1(1)(SSSSsHsHcf結(jié)果穩(wěn)定嗎？結(jié)果穩(wěn)定嗎？201X1X2X2Xuy建立模擬計(jì)算機(jī)仿真圖建立模擬計(jì)算機(jī)仿真圖寫出狀態(tài)空間表達(dá)式寫出狀態(tài)空間表達(dá)式uxxxx1211012121Txxy2110201021)0()0(xxxx求解狀態(tài)方程：求解狀態(tài)方程：uexextt2101uexeexextttt10202)(2121從內(nèi)部看：由于包含了從內(nèi)部看：由于包含了 不穩(wěn)定不穩(wěn)定te11)(SsHuetxt)(2從外部看：總傳遞函數(shù)為：從外部看：總傳遞函數(shù)為： 穩(wěn)定穩(wěn)定 差異的原因？差異的原

18、因？若初始條件為零：若初始條件為零：02010 xx則：傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下在零初始條件下，輸出的拉氏變化，輸出的拉氏變化與輸入的拉氏變化之比與輸入的拉氏變化之比能否始終保持能否始終保持零零初始條件初始條件事實(shí)上：事實(shí)上：精確依賴零極點(diǎn)對(duì)消元件性能的差異初始條件不為零導(dǎo)致不穩(wěn)定導(dǎo)致不穩(wěn)定222.1 狀態(tài)空間分析法v狀態(tài)空間分析法例子狀態(tài)空間分析法例子v狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量v狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述23一、狀態(tài)空間分析法例子一、狀態(tài)空間分析法例子1、R-L-C電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 解：以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程 選)(ti

19、uidtidtdiLC1RRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸入輸出C1)(tuycidti1x2xidt24 為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣方程： 1x2xLRLC1101x2xL10)(tudtdiLR1xLC12x)( tuL11xy2x)(tuc1x2xC1y1x2xC1025一、狀態(tài)空間分析法例子一、狀態(tài)空間分析法例子2、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 外力 位移Ku(t)my(t)b)(tuymybky根據(jù)牛頓力學(xué)原理yx 1 yx2令-彈性系數(shù)阻尼系數(shù)2621xx )(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy 動(dòng)態(tài)方程如下動(dòng)

20、態(tài)方程如下27狀態(tài)空間描述為：狀態(tài)空間描述為： 21xxmbmk1021xxum102101xxy28二、狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量v狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時(shí)刻的初始狀態(tài)能記憶時(shí)刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在系統(tǒng)在 t=t0時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù)時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù) ，那么，系統(tǒng)在，那么，系統(tǒng)在t=t0的任何的任何瞬間的行為瞬間的行為 就完全確定了。就完全確定了。最小個(gè)數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個(gè)用最小個(gè)數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個(gè)用n階微分方階微分方程描述的含有程描述

21、的含有n個(gè)獨(dú)立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得個(gè)獨(dú)立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得n個(gè)獨(dú)立變量隨時(shí)個(gè)獨(dú)立變量隨時(shí)間變化的規(guī)律時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于間變化的規(guī)律時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于n，必有變量不獨(dú)立；若少于必有變量不獨(dú)立；若少于n，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。 100,nxtxt u t 1nx txt， ，29 狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，即可用某狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，即可用某一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可測(cè)量或可觀察的量，但在實(shí)用上

22、畢竟還是選擇測(cè)量或可觀察的量，但在實(shí)用上畢竟還是選擇容易測(cè)量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、容易測(cè)量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、改善系統(tǒng)性能的需要。改善系統(tǒng)性能的需要。30：把把 這幾個(gè)狀態(tài)變量看這幾個(gè)狀態(tài)變量看成是矢量成是矢量 的分量，則的分量，則 稱為狀態(tài)矢量。記作：稱為狀態(tài)矢量。記作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX X( (t t) )或：或：)().,(),()(21txtxtxtnTX X31：以狀態(tài)變量以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的軸所構(gòu)成的n維空間。維空間。q在某一特定時(shí)刻在某一特定時(shí)刻t ，狀態(tài)向量，狀態(tài)向量 是狀

23、態(tài)空間的是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)。)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X：以以 為起點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，為起點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移， 在狀態(tài)空間繪出在狀態(tài)空間繪出 的一條軌跡。的一條軌跡。)(tX X)()(0ttX XX X 三、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述32狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)之間的關(guān)系方程用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)之間的關(guān)系方程組即為組即為狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出方程的組合：方程的組合： （1）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)系的數(shù)學(xué)

24、表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。 （2）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。 由于由于n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是n個(gè)的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具個(gè)的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)

25、空間描述也具有非唯一性。不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也具有非唯一性。 33 在討論狀態(tài)方程時(shí)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量在討論狀態(tài)方程時(shí)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量為階躍函數(shù)，即為階躍函數(shù)，即u的導(dǎo)數(shù)為零。的導(dǎo)數(shù)為零。SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)空間描述寫，則一般形式的狀態(tài)空間描述寫作：作： (1-8) (1-9)式中常系數(shù)式中常系數(shù) ； 與系與系統(tǒng)特性有關(guān)。統(tǒng)特性有關(guān)。 111,nnnaabb， ，； ，1nccd， ， ；SISO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：nxxx21ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxa

26、xnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duxcxcxcynn221134方程（方程（1-8）、）、（1-9）可寫成矩陣形式：可寫成矩陣形式： 12nxxxx12nbbbb輸入矩陣，n1列矩陣。式中：式中： 12nxxxxn維狀態(tài)矢量111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA 系統(tǒng)矩陣，nn矩陣。 ：輸出矩陣，1n行矩陣），d為直接聯(lián)系輸入量、輸出量的前向傳遞（前饋）系數(shù)，又稱前饋系數(shù)。 12ncccc， ， ，uAxxbuxydc 35MIMO線性定常系統(tǒng)（r個(gè)輸入，m個(gè)輸出）的狀態(tài)空間描述rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxax

27、axubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 2211221122221212222121212121111212111136,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各狀態(tài)變量間的關(guān)系統(tǒng)矩陣維,nn,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征輸輸入入對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)變變量量的的輸輸入入矩矩陣陣維維,rn 狀態(tài)矢量維1,T21nnxxxx輸

28、入矢量維1,T21ruuuurBuAxxDuCxy37,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的關(guān)關(guān)系系表表征征輸輸出出和和每每個(gè)個(gè)狀狀態(tài)態(tài)變變輸輸出出矩矩陣陣維維nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0D,通常傳遞關(guān)系表征輸入對(duì)輸出的直接直接傳遞矩陣又稱為前饋矩陣維rm輸出矢量維1,T21mmyyyy38 系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖 ：B BC CA AD DU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 注注:負(fù)反饋時(shí)為負(fù)反饋時(shí)為注：有幾個(gè)狀態(tài)變量，就建幾個(gè)積分器注：有幾個(gè)狀態(tài)變量，就建幾個(gè)積分器積分器積分器比例器比

29、例器加法器加法器39,) t () t () t () t () t () t () t () t () t () t (212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各狀態(tài)變量間的關(guān)系統(tǒng)矩陣維,nn,) t () t () t () t () t () t () t () t () t () t (212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征輸輸入入對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)變變量量的的輸輸入入矩矩陣陣維維,rn 狀態(tài)矢量維1,T21nnxxxx輸入矢量維1,T21ruuuuruBxAx)t()t(uDxCy)t()t(40,) t () t () t () t

30、 () t () t () t () t () t () t (212222111211mnmmnncccccccccC量量的的關(guān)關(guān)系系表表征征輸輸出出和和每每個(gè)個(gè)狀狀態(tài)態(tài)變變輸輸出出矩矩陣陣維維nm ,) t () t () t () t () t () t () t () t () t () t (212222111211mrmmrrdddddddddD0D,通常傳遞關(guān)系表征輸入對(duì)輸出的直接直接傳遞矩陣又稱為前饋矩陣維rm輸出矢量維1,T21mmyyyy411.2 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖v狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖繪制步驟：畫出所有積分器；v積分器的個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個(gè)積分器的輸出表示相應(yīng)的某個(gè)狀態(tài)變量

31、。根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；用箭頭將這些元件連接起來(lái)。42例1-1 畫出一階微分方程的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖buaxx微分方程：微分方程：43系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)441.3 1.3 狀態(tài)空間描述的建立狀態(tài)空間描述的建立建立狀態(tài)空間描述的三個(gè)途徑：建立狀態(tài)空間描述的三個(gè)途徑：1、由系統(tǒng)框圖建立、由系統(tǒng)框圖建立2、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)3 、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得45一一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述uy4k111sTk122sTksTk33系統(tǒng)框圖如下：系統(tǒng)框圖如下：將

32、積分部分單獨(dú)表述出來(lái)，對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換將積分部分單獨(dú)表述出來(lái)，對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換等效變換如下：等效變換如下：46圖中有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個(gè)狀態(tài)變量如上圖（選圖中有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個(gè)狀態(tài)變量如上圖（選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：則有：則有：2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx11311114311xy 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：uTkxxxTTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y47系統(tǒng)系統(tǒng)48二、由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述v步驟：步驟：1)根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微

33、分方程或根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程；差分方程；2)選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量；選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量；3)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式。導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式。49系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）（對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）50電路如圖所示。建立該電路以電壓電路如圖所示。建立該電路以電壓u u1 1,u,u2 2為輸入量，為輸入量，u uA A為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖圖L L2 2u uA Au u1 1u u2

34、 2+ +_ _+ +_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 11) 1) 選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量 兩個(gè)儲(chǔ)能元件兩個(gè)儲(chǔ)能元件L L1 1和和L L2 2，可以選擇，可以選擇i i1 1和和i i2 2為狀態(tài)變量，為狀態(tài)變量，且兩者是獨(dú)立的。且兩者是獨(dú)立的。512 2）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2 2個(gè)回路的微分方程：個(gè)回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右右回回路路左左回回路路整理得：整理得：21211212121112122212121111111uRi

35、RiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi 523 3）狀態(tài)空間表達(dá)式為：）狀態(tài)空間表達(dá)式為：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR53試列出在外力試列出在外力f作作用下，以質(zhì)量用下，以質(zhì)量 的位移的位移 為輸出的為輸出的狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。21,MM21, yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf該系統(tǒng)有四個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件。取狀態(tài)變量如下：該系統(tǒng)有四個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件。取狀態(tài)變量如下：2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB )(122yyB 22yM )(

36、122yyk f1M2M質(zhì)量塊受力圖如下：質(zhì)量塊受力圖如下：54則有：則有：)()(122122111111yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()(12212222 將所選的狀態(tài)變量將所選的狀態(tài)變量2241132211,vyxvyxyxyx代入上式并整理出狀態(tài)方程得：代入上式并整理出狀態(tài)方程得： 2211xyxy輸出方程：輸出方程： fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：55寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX2222212121211

37、21211000010000100561.4 化輸入化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述輸出描述為狀態(tài)空間描述 及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式 對(duì)于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對(duì)應(yīng)的狀對(duì)于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空輸出特性，稱此狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不間描述是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不同，其狀態(tài)空間描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。同，其狀態(tài)空間描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。 為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特

38、性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極點(diǎn)對(duì)消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況，點(diǎn)對(duì)消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對(duì)消的情況，所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時(shí)所需的積分器個(gè)數(shù)最少，稱為維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時(shí)所需的積分器個(gè)數(shù)最少，稱為最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)。 本節(jié)先研究本節(jié)先研究SISO系統(tǒng)。系統(tǒng)。57線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為ububububyayayaymmmmnnn01) 1

39、(1)(01) 1(1)(n n階階SISOSISO控制系統(tǒng)的時(shí)域模型為：控制系統(tǒng)的時(shí)域模型為：可實(shí)現(xiàn)的條件：可實(shí)現(xiàn)的條件： mmnuxyuAxxdcb系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：0111n0111mm)(asasasbsbsbsbsWnnmm 58當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中m=n時(shí)，即應(yīng)用長(zhǎng)除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(59式中 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)， 是嚴(yán)格有理真分式，其系數(shù)用綜合除法得nb N sD s000111111nnnnnnba bba bbab其狀態(tài)空

40、間描述為其狀態(tài)空間描述為nuyb uxAxbcx，(1-44) (1-45) 式中A、b、c由實(shí)現(xiàn)方式確定，其形式不變，唯輸出方程中需增加一項(xiàng) nb u60微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）：微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）： ubyayayaynn001)1(1n)(系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：0111n0)(asasasbsWnn 61 若給定初始條件若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的輸輸入入及及 令令:uxaxaxaxx

41、xxxxxxnnnnn121101322101yb11、標(biāo)準(zhǔn)、標(biāo)準(zhǔn)I型型62 狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為: 輸出方程為輸出方程為:uxxxaaaxxxnnn100100102111021xy00b063 狀態(tài)變量是輸出狀態(tài)變量是輸出y及及y的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù) 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對(duì)角線上方的元素為特點(diǎn)：主對(duì)角線上方的元素為1，最后一行為微分，最后一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，稱為友矩陣或相伴矩陣。，稱為友矩陣或相伴矩陣。 0b0a 2xuy1xnxnx 1 nx1a 1 na2 na642、標(biāo)準(zhǔn)II型 若給定初始條件若給定初始條件 則系統(tǒng)行為被完全確定

42、，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的輸輸入入及及 令令: nii1i0n01xy1-n,1,iyaxxubxax65 狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為: 輸出方程為輸出方程為:uxxxxaaaaxxxxnnnnnn000b10000000001001211210121xy100066 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)I型的型的A、b陣和標(biāo)準(zhǔn)陣和標(biāo)準(zhǔn)II型的型的A、c陣互為轉(zhuǎn)置陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，即：的關(guān)系，即：TIIITIIIbc,AA67二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn)) 1 (ububububyayayay011)(n1n(n)n011)

43、(n1n(n)不失一般性，微分方程形式：不失一般性，微分方程形式：狀態(tài)變量選擇原則：狀態(tài)變量選擇原則： 使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。68設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用長(zhǎng)除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn 1、標(biāo)準(zhǔn)I型000111111nnnnnnba bba bbab其中：D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(69（1）能控）能控I型型引入中間變量z，以u(píng)作為輸入、z作為輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，即 11101110nnnnnzaza za zuyzzz(1-17)

44、701223101101121nnnnnxxxxxa za zazua xa xaxu 定義如下一組狀態(tài)變量1120nxz xzxz ， ，(1-18)可得狀態(tài)方程：71輸出方程為其向量-矩陣形式為式中0121010000100001naaaa A0001 b121nnxxxx x011nc0 11 21nnyxxxubnuyxAxbcx，ubn72)2(112n231n12n1uxxuxxuxxuyxnn（2）能觀測(cè)）能觀測(cè)I型型1.）選擇狀態(tài)變量）選擇狀態(tài)變量式中系數(shù)式中系數(shù) 是待定系數(shù)是待定系數(shù).n ,10)3(112n321n21uxxuxxuxxnn整理整理(2)式得式得:)4(n1

45、012110uxyuxaxaxaxnnn由結(jié)構(gòu)圖可以看出由結(jié)構(gòu)圖可以看出:73聯(lián)立聯(lián)立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：uxaaaxn01n1101000010uxyn001從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了的各階導(dǎo)數(shù)了2.）求）求n ,.,210思路思路:由式由式(2)可以看出，將可以看出，將y表示成表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和的各階導(dǎo)數(shù)和x的形的形式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根據(jù)，根據(jù)u及其各階及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：A仍然是友矩

46、陣仍然是友矩陣74)5(12)2(1n)1(n)1(n1n2n3n1n2n1n2n1n1uuuuxyuuuxuuxyuuxuxyuxynnnn 由式由式(2)可以得到下式可以得到下式：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個(gè)中間變量：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個(gè)中間變量：)6(01uxxnn1 nx令令由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnn012)1(1n)(n112)1(1n)(n)( (7)75將式將式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中中，根據(jù)左右等式中u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到： n

47、,10) 8 (0n01n1221100n21n122nn111nn102111aaaabaababbxaxaxaxnnnnnnnnnnn為便于記憶，為便于記憶，將上式寫成：將上式寫成：011nn762、標(biāo)準(zhǔn)II型v與標(biāo)準(zhǔn)I型相同，標(biāo)準(zhǔn)II型也分為能控II型和能觀II型。v能觀II型與能控I型互為對(duì)偶。v能控II型與能觀I型互為對(duì)偶。77nnnnkknnnnbscscscscscscssssbsbsbsbs2q2q1q1q1111q1)1q(1q1q121q10111)()()()()()()(W不失一般性，討論不失一般性，討論此系統(tǒng)：此系統(tǒng)：也有一個(gè)也有一個(gè)q重極點(diǎn)：重極點(diǎn)：n,2q1q1既

48、有互異極點(diǎn)：既有互異極點(diǎn)： 整理得整理得) 1 ()()()()()(1qq11q1)1q(1sUbsUscsUscsYnniiijjj78)2(), 2q, 1q()(1)(nisUssXii)3(), 2q, 1q(niuxxiii令令拉氏反變換可得：拉氏反變換可得：系數(shù)系數(shù) 為待定系數(shù)，其中為待定系數(shù)，其中 ，采用，采用計(jì)算：計(jì)算：icni,.2 , 1 q1111)1(q)()(W)!1(1q,.,2 , 11ssdsdjLimCjjjsj時(shí)，當(dāng))(lim,.,2q, 1qisissGcnii時(shí)，當(dāng)79令令)4()q,.,2 , 1()()(1)(1q1jsUssXjj) 1q,.,2

49、 , 1()()(1)(q11jsUssXjj則：則：)5()q()(1)() 1q,.,2 , 1(1)()(111jsUssXjssXsXjjj聯(lián)立上兩式得：聯(lián)立上兩式得：)6()q() 1q, 2 , 1(111juxxjxxxjjjjj拉氏反變換可得：拉氏反變換可得：)7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsYniii聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：可得：80ubxxxuxxxxxxxxxxxxnnnnnkkk 21n1q1112)1q(11q2q1qq212q1q1112121cccccc y11110000001001由由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：

50、可得狀態(tài)空間描述為：81xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1 1-q+1q+1-n n-1 1-1 1 c11 c12 c1qcq+1 cn11x 12x q1x 1qx nx 821.5 由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)1）SISO系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(s)描述，描述，W(s)是一是一個(gè)元素；個(gè)元素；2）MIMO系統(tǒng)，多個(gè)輸入對(duì)多個(gè)輸出，故引入系統(tǒng)，多個(gè)輸入對(duì)多個(gè)輸出，故引入傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣W(s) ，W(s)是一個(gè)矩陣，可以表是一個(gè)矩陣，可以表征多個(gè)輸入對(duì)系統(tǒng)輸出的影響；征多個(gè)輸入對(duì)系統(tǒng)輸出的影響；83狀態(tài)空間描述：狀態(tài)空間描述：DuCxyBuAxx 根據(jù)傳遞函數(shù)

51、定義，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，并令根據(jù)傳遞函數(shù)定義，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，并令 ，得式：，得式：0) 0(0 xx)()()()()()(sDUsCXsYsBUsAXssX整理上式得：整理上式得：)()()(1sUDBAsICsY84mrmmrrDBAsICsUsYsWWWWWWWWW)()()()(W2122221112111注意矩陣求逆注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)矩陣：定義傳遞函數(shù)矩陣：1）dim(W(s)=mr，其中，其中dim()表示表示的維數(shù)。的維數(shù)。m是輸出維數(shù)，是輸出維數(shù)，r是輸入維數(shù)。是輸入維數(shù)。)()()(WsUsYsjiij2）W(s)的每個(gè)元素的含義：的每個(gè)元素的含義：表示第表示第

52、i個(gè)輸出中，由第個(gè)輸出中，由第j個(gè)輸入變量所引起個(gè)輸入變量所引起的輸出和第的輸出和第j個(gè)輸入變量間的傳遞關(guān)系。個(gè)輸入變量間的傳遞關(guān)系。3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)應(yīng)的）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)應(yīng)的W(s)是相同的。是相同的。mrmmrrDBAsICsUsYsWWWWWWWWW)()()()(W2122221112111注意矩陣求逆注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)矩陣：定義傳遞函數(shù)矩陣：85求由求由 所表述系統(tǒng)的所表述系統(tǒng)的W(s) 1120112012016116100010CBA，)det()()(1AsIAsIadjAsI 根據(jù)矩陣求逆公式：根據(jù)矩陣求逆公式：由傳遞函數(shù)矩陣公式得：

53、由傳遞函數(shù)矩陣公式得：20120161161001112011)()(W11sssDBAsICs86 222316116)6(6161166116161161001sssssssssssssss求得：求得：求得傳遞函數(shù)陣為：求得傳遞函數(shù)陣為：14173525644329461161)(W222223ssssssssssss871.6 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號(hào)、輸完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號(hào)、輸出量等都是離散信息；出量等都是離散信息； 局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對(duì)象所傳送的信局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對(duì)象所

54、傳送的信號(hào)、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送號(hào)、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送處理離散信號(hào)，這時(shí)，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才是處理離散信號(hào)，這時(shí)，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才是有用信息，故需將連續(xù)部分離散化；有用信息，故需將連續(xù)部分離散化； 為研究方便，不論完全或局部的離散系統(tǒng)，均假定為研究方便，不論完全或局部的離散系統(tǒng)，均假定采樣是等間隔的；在采樣間隔內(nèi)，其變量均保持常值。采樣是等間隔的；在采樣間隔內(nèi)，其變量均保持常值。881、由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程、由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程線性離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是用標(biāo)量差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來(lái)描述的，這里

55、先從單輸入-單輸出系統(tǒng)入手研究。SISO線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為： 1101101111nnny knay kna y ka y kb u knbu knbu kb u k式中式中 表示表示 時(shí)刻，時(shí)刻， 為采樣周期；為采樣周期； 為為 時(shí)刻的輸出量，時(shí)刻的輸出量， 為時(shí)刻為時(shí)刻 的輸入量；的輸入量； 是與系統(tǒng)特性有關(guān)的常系數(shù)。是與系統(tǒng)特性有關(guān)的常系數(shù)。kkTT y k u k,iiabkTkT(1) 89對(duì)式(1)進(jìn)行 變換，整理為z 稱為脈沖傳遞函數(shù)。顯見(jiàn)式(2)與式(1-43)在形式上是相同的，故連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立方法，對(duì)離散系統(tǒng)是同樣適用的。例如，引入中間變量 ，則有

56、11101110nnnnnz Q zazQ za zQ za Q zu zy zzQ zzQ zQ z(2) (3) Q z初始條件為零時(shí)，離散函數(shù)的 變換關(guān)系為z ,iz y ky zz y kiz y z 1110111011101110nnnnnnnnnnnnnny zb zbzb zbG zu zzaza zaN zzzbbzaza zaD z) z (W) z (W90定義如下一組狀態(tài)變量： 12111nnnxzQ zxzzQ zzxzxzzQ zzxz于是 0 11 21nnnnz Q zzxza x za xzaxzu z 0 11 21nny zx zxzxz(4) (5) (

57、6) 91利用 反變換關(guān)系 11,1iiiiZx zx kZzx zx kz由式(4)式(6)可得動(dòng)態(tài)方程 122310 11 211111nnnnnx kx kx kx kxkxkxka x ka x kaxku k (8) (7) 0 11 21nny kx kxkxk92其矢量其矢量-矩陣形式為矩陣形式為 1122110121( )010010( )00101000011( )01( )1nnnnnx kx kx kxku kxkxkaaaaxkx k 011nny kx kb u k 93簡(jiǎn)記為 1kku kkkdu kxGxhycx 式中 為友矩陣， ， 是可控標(biāo)準(zhǔn)形。由式(1-43

58、)可見(jiàn)，離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了 時(shí)刻的狀態(tài)與 時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系；離散系統(tǒng)輸出方程描述了 時(shí)刻的輸出量與 時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系。Gh 1kTkTGkTkT(1-43) 94 1kkkkkkxGxHuyCxDu線性定常離散系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖如圖1-26所示，圖中T為單位延遲器，其輸入為 時(shí)刻的狀態(tài)，其輸出為延遲一個(gè)采樣周期的 時(shí)刻的狀態(tài)。1kTkT (9) 與連續(xù)系統(tǒng)的情況相類似，單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程的形式可推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)，有95例 1-10 離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出該離散系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述 。解解 由差分方程寫出相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù) ：)(13

59、) 1(11)2(3)3(2)(6) 1(5)2(2)3(kukukukukykykyky65212652131132)z(2322323zzzzzzzzzzzW于是直接寫出它的一個(gè)狀態(tài)空間描述（標(biāo)準(zhǔn)I型）為)()()(2)(111)()()()(100)(256100110)(kdukcxkukxkykhukGxkukxkx這里 ， ， 256100010G100h111c2d ， ， 96：如果如果P是一個(gè)非奇異陣，則將是一個(gè)非奇異陣，則將 變換稱為變換稱為線性非奇異變換。線性非奇異變換。xTx 1.7 狀態(tài)矢量的線性變換v線性非奇異變換：線性非奇異變換：212121xxxTxT)xxT(

60、kxxkT)xT(k疊加原理疊加原理齊次性條件齊次性條件通過(guò)線性非奇異變換，可以將狀態(tài)方程變成對(duì)角線通過(guò)線性非奇異變換，可以將狀態(tài)方程變成對(duì)角線或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型?；蚣s當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。97一、系統(tǒng)狀態(tài)方程的非唯一性一、系統(tǒng)狀態(tài)方程的非唯一性：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可以通過(guò)線性變換：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可以通過(guò)線性變換 互相得到。互相得到。xx1TxxT1TT兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：兩組狀態(tài)變量的關(guān)系： DuCxyBuAxx xxT uDxCyuBxAx其中：其中：DDCCBBAA,T,T,TT11P不同則得到不同的不同則得到不同的 。CBA,98例例1-12：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性：關(guān)于非奇異