1、 第二章基本初等函數(shù)知識點整理 2.1指數(shù)函數(shù) 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算 （1）根式的概念 如果,1nxaaRxRn?，且nN?，那么x叫做a的n次方根當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n 次方根用符號na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n 次方根用符號na表示，負(fù)的n 次方根用符號na?表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根 式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，0a? 根式的性質(zhì)：()nnaa?；當(dāng)n 為奇數(shù)時，nnaa?；當(dāng)n為偶數(shù)時， (0)| (0) nnaaaaaa? （2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：(0,mnmna

2、aamnN?且1)n?0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪的意義是： 11()()(0,mmmnnnaamnNaa?且1)n?0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù) （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (0,)rsrsaaaarsR? ()(0,)rsrsaaarsR? ()(0,0,)rrrabababrR? 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)(0xyaa?且1)a?叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 1a? 01a? yO1y?xay?O1y? xay?(0,1) y(0,1) xx定義域 R 值域 （0,+） 過定點 圖象過定點（0,1），即當(dāng)

3、x=0時，y=1 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0) y1(x0), y=1(x=0), 0y1(x0) a變化對 圖象的影 響 在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低，越靠近x軸 在第一象限內(nèi)，a越小圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內(nèi)，a越小圖象越低，越靠近x軸 2.2對數(shù)函數(shù) 【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算 （1）對數(shù)的定義 若(0,1)xaNaa?且，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaxN?，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù) 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：

4、log(0,1,0)xaxNaNaa N? （2）幾個重要的對數(shù)恒等式: log10a?，log1aa?，logbaab? （3）常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：lg N，即10logN；自然對數(shù)：lnN，即logeN（其中2.71828e?） （4）對數(shù)的運算性質(zhì) 如果0,1,0,0aaMN?，那么 加法：logloglog()aaaMNMN? 減法：logloglogaaaMMNN? 數(shù)乘：loglog()naanMMnR? logaNaN? loglog(0,)bnaanMMbnRb? 換底公式：loglog(0,1)logbabNNbba?且 【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （5）對數(shù)函

5、數(shù) 函數(shù)名稱 對數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)log(0ayxa?且1)a?叫做對數(shù)函數(shù) 圖象 1a? 01a? xyO(1,0)1x?logayx? xyO(1,0)1x?logayx?定義域 (0,)? 值域 R 過定點 圖象過定點(1,0)，即當(dāng)1x?時，0y? 奇偶性 非奇非偶 單調(diào)性 在(0,)?上是增函數(shù) 在(0,)?上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx? log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx? a變化對 圖象的影響 在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一

6、象限內(nèi)，a越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內(nèi)，a越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6)反函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)()yfx?的定義域為A，值域為C，從式子()yfx?中解出x，得式子()xy?如果對于y在C中的任何一個值，通過式子()xy?，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子()xy?表示x是y的函數(shù)，函數(shù)()xy?叫做函數(shù)()yfx?的反函數(shù)，記作1()xfy?，習(xí)慣上改寫成1()yfx? （7）反函數(shù)的求法 確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式()yfx?中反解出1()xfy?； 將1()xfy?改寫成1()yfx?，并注明反函數(shù)的定義域 （8）反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)()yfx

7、?與反函數(shù)1()yfx?的圖象關(guān)于直線yx?對稱 函數(shù)()yfx?的定義域、值域分別是其反函數(shù)1()yfx?的值域、定義域 若(,)Pab在原函數(shù)()yfx?的圖象上，則'(,)Pba在反函數(shù)1()yfx?的圖象上 一般地，函數(shù)()yfx?要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) 2.3冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)yx?叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，?是常數(shù) （2）冪函數(shù)的圖象 （3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時

8、，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)?都有定義，并且圖象都通過點(1,1) 單調(diào)性：如果0?，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在0,)?上為增函數(shù)如果0?，則冪函數(shù)的圖象在(0,)?上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸 奇偶性：當(dāng)?為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)?為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)qp? ?（其中,pq互質(zhì)，p和qZ?），若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則qpyx?是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則qpyx?是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則qpyx?是非奇非偶函數(shù) 圖象特征：冪函數(shù),(0,)yxx?，當(dāng)1?時，若01x?，其圖象在直線yx?下方，若1x?，其圖象 在直線y

9、x?上方，當(dāng)1?時，若01x?，其圖象在直線yx?上方，若1x?，其圖象在直線yx?下方 補充知識二次函數(shù) （1）二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：2()(0)fxaxbxca?頂點式：2()()(0)fxaxhka? 兩根式：12()()()(0)fxaxxxxa? （2）求二次函數(shù)解析式的方法 已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式 已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點式 若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求()fx更方便 （3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì) 二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca? 的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為,2bxa? 頂點坐標(biāo)是

10、24(,)24bacbaa? 當(dāng)0a? 時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,2ba? 上遞減，在,)2ba? 上遞增，當(dāng)2bxa? 時，2min4()4acbfxa?；當(dāng)0a? 時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,2ba? 上遞增，在,)2ba? 上遞減，當(dāng)2bxa? 時，2max4()4acbfxa? 二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca?當(dāng)240bac?時，圖象與x 軸有兩個交點11221212(,0),(,0),|MxMxMMxxa? （4）一元二次方程20(0)axbxca?根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重

11、于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 設(shè)一元二次方程20(0)axbxca?的兩實根為12,xx，且12xx?令2()fxaxbxc?，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a 對稱軸位置：2bxa? 判別式：? 端點函數(shù)值符號 （5）二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca?在閉區(qū)間,pq上的最值 設(shè)()fx在區(qū)間,pq上的最大值為M，最小值為m ，令01()2xpq? （）當(dāng)0a?時（開口向上） 若2bpa?，則()mfp? 若2bpqa? ，則()2bmfa? 若2bqa?，則()mfq? 若02bxa?，則()Mfq? 0 2bxa?，則()Mfp? ()當(dāng)0a?時(開口向下) 若2bpa?，則()Mfp? 若2bpqa?，則()2bMfa? 若2bqa?，則()Mfq? 若02bxa?，則()mfq? 02bxa?，則()mfp? x?O?f(p) f(q) ()2bfa?0xg?f(p) f(q) (