三角形的有關(guān)證明,復(fù)習(xí)課,在本章中你學(xué)到了什么？,角的平分線,通過(guò)探索,猜想,計(jì)算和證明得到定理,與等腰三角形,等邊三角形有關(guān)的結(jié)論,與直角三角形有關(guān)的結(jié)論,命題的逆命題及其真假,線段的垂直平分線,全等三角形,學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、會(huì)判定兩個(gè)三角形全等2、會(huì)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明。3、會(huì)用反證法證明命題的成立.4、會(huì)用線段垂直平分線、角平分線定理及其結(jié)論解決問(wèn)題。重點(diǎn)：探索證明的思路和方法；難點(diǎn)：準(zhǔn)確地表達(dá)推理證明過(guò)程。,怎么證明幾何命題？,證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語(yǔ)言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(可以由“因”導(dǎo)“果”綜合法或者由“果”逆推“因”分析法);(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫出證明過(guò)程;(6)檢查表達(dá)過(guò)程是否正確,完善.,知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形,一般三角形全等的條件：,1.定義（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形全等特有的條件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形狀的三角形,分析：本題利用邊角邊公理證明兩個(gè)三角形全等.由題目已知只要證明AFCE，AC,例1如圖2，AECF，ADBC，ADCB，求證：ADFCBE,說(shuō)明：本題的解題關(guān)鍵是證明AFCE，AC，易錯(cuò)點(diǎn)是將AE與CF直接作為對(duì)應(yīng)邊，而錯(cuò)誤地寫為：,又因?yàn)锳DBC，,（？）,（？）,例2已知：如圖3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分別是ABC和A1B1C1的高.求證：AD=A1D1,圖3,證明：ABCA1B1C1（已知）AB=A1B1，B=B1（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）AD、A1D1分別是ABC、A1B1C1的高（已知）ADB=A1D1B1=90.在ABC和A1B1C1中B=B1（已證）ADB=A1D1B1（已證）AB=A1B（已證）ABCA1B1C（AAS）AD=A1D1（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線角平分線呢？,練一練,1,2、如圖6，已知：A90，AB=BD，EDBC于D.求證：AEED,提示：找兩個(gè)全等三角形，需連結(jié)BE.,圖6,知識(shí)點(diǎn)二：等腰三角形的性質(zhì)定理,性質(zhì)：1、等腰三角形的相等，即等邊對(duì)2、等腰三角形的、互相重合；即“三線合一”3、等腰三角形兩底角的平分線，兩腰上的中線,兩腰上的高；判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。即等角對(duì)。,兩個(gè)底角,等角,頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高,等邊,相等,相等,相等,已知:如圖,點(diǎn)D,E在ABC的邊BC上，AD=AE,AB=AC.求證:BD=CE.,F,練一練,知識(shí)點(diǎn)二、等邊三角形性質(zhì)和判定定理,性質(zhì)定理：等邊三角形的都相等，都相等，并且每個(gè)角都等于；判定定理：一個(gè)角等于的為等邊三角形。三個(gè)內(nèi)角都為的三角形是等邊三角形。,三條邊,三個(gè)角,60,等腰三角形,60,60,已知：如圖，在等邊三角形ABC的三邊上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得AD=BF=CE.求證：DEF是等邊三角形。,練一練,知識(shí)點(diǎn)三、與直角三角形有關(guān)的定理,1、直角三角形的互余。2、有兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形。3、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于的；4、勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方。5、和對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。()6、勾股定理的逆定理：,兩銳角,互余,斜邊,一半,斜邊,一直角邊,HL,兩條直角邊,斜邊,如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。,1、如下圖,在ABC中，ACB=900，A=300，CDAB于點(diǎn)D,試著推導(dǎo)出BD與AD的數(shù)量關(guān)系。,動(dòng)腦筋，能力提升,2、如圖，已知ACB=BDA=900,要使ACBBDA，還需要添加什么條件？請(qǐng)你選擇其中的一個(gè)加以證明。,開(kāi)放探究題,知識(shí)點(diǎn)四、反證法,反證法的步驟是什么？,第一步是假設(shè)命題結(jié)論不成立；第二步是推導(dǎo)，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出與定義、基本事實(shí)、已有的定理或者已知條件相矛盾的結(jié)果。第三步是下結(jié)論，得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證命題成立。,求證：等腰三角形的底角必為銳角。,定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).,逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,如上圖,PA=PB(已知),點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).,知識(shí)點(diǎn)五：線段垂直平分線,定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,如圖,在ABC中,c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線,c,a,b相交于一點(diǎn)P,且PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).,2.如圖,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,BCE的周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).,練一練,3.如圖所示，在ABC中，B22.5,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，DFAC于點(diǎn)F,并與BC邊上的高AE交于G.求證：EGEC.,1如圖S11，在ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A30，ACB80，則BCE_.,50,知識(shí)點(diǎn)六：角平分線,定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E.PD=PE.,逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,如圖,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點(diǎn)P在AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。,如圖,AN,CM,BO分別是ABC的角平分線PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM交于P點(diǎn),PD=PE=PF.,1、如圖S18，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADECDE，DCEECB.求證：CDADBC.,圖S18,練一練,解析結(jié)論是CDADBC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CFCB，只要再證DFDA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的,圖S19,證明：在CD上截取CFBC，如圖S19，在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE(SAS)，21.ADBC，ADC+BCD180.又ADECDE，,DCECDE90，2390，1490，34.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE(ASA)，DFDA.CDDF+CF，CDAD+BC.,2、如圖，在ABC中，AC=BC，C=900，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為E。（1）已知CD=4cm，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：AB=AC+CD。,3、如圖所示，ABCD，B=90，E是BC的中點(diǎn)