專題2圖形變式與拓展常考類型分析專題類型突破類型1 關(guān)于三角形的變式拓展問題【例1】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，1245.(1)如圖1，若AOOB，請寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖1中的MN繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AOOB.求證：ACBD，AC BD；(3)將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求【思路分析】通過觀察可以猜想AO與BD 相等且互相垂直；在后面的問題中，通過添加BD的垂線，使問題轉(zhuǎn)化為全等三角形和相似三角形問題加以解決【解】(1)AOBD，AOBD.(2)證明：如圖1，過點(diǎn)B作BECA交DO于點(diǎn)E，延長AC交DB的延長線于點(diǎn)F.ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOC BOE. ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45.245，BEBD，EBD90.ACBD.BEAC，AFD90.ACBD.(3)如圖2，過點(diǎn)B作BECA交DO于點(diǎn)E，BEOACO.又BOEAOC，BOE AOC.又OBkAO，由(2)的方法易得 BEBD.滿分技法圖形拓展類問題的解答往往需要借助幾何直觀、轉(zhuǎn)化、類比的思想方法在原圖形中具備的位置和數(shù)量關(guān)系，在圖形變化后這種關(guān)系是否存在或又存在著怎樣的新的關(guān)系，可通過類比進(jìn)行推理、驗(yàn)證，所用方法和第(1)問所用方法相似，可借鑒原結(jié)論方法，并進(jìn)行拓展，只要沿著這樣的思路進(jìn)行即可解決滿分變式必練1.已知ABC中，ABAC，BC6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點(diǎn)P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如圖1，過點(diǎn)P作PFAQ交BC于點(diǎn)F，求證：PDFQDC；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時，求CD的長；(3)如圖3，過點(diǎn)P作PEBC于點(diǎn)E，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A移動的過程中，線段DE的長度是否保持不變？若保持不變，請求出DE的長度，若改變，請說明理由解：(1)ABAC，BACB.PFAC，PFBACB. BPFB.BPFP.由題意，得BPCQ，F(xiàn)PCQ.PFAC，DPFDQC.又PDFQDC，PDFQDC.(2)如圖，過點(diǎn)P作PFAC交BC于點(diǎn)F.點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，(3)線段DE的長度保持不變?nèi)鐖D，過點(diǎn)P作PFAC交BC于點(diǎn)F.由(1)知，PBPF.PEBC，BEEF.由(1)知，PDFQDC，CDDF.2.如圖1，ABC中，ABC45，AHBC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DHCH，連接BD.(1)求證：BDAC；(2)將BHD繞點(diǎn)H順時針旋轉(zhuǎn)，得到EHF(點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對應(yīng))，連接AE.如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(F不與C重合)，若BC4，tanC3，求AE的長；如圖3，當(dāng)EHF是由BHD繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)30得到時，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由解：(1)在RtAHB中，ABC45，AHBH.在BHD和AHC中， BHDAHC(SAS)BDAC.(2)在RtAHC中，tanC3，設(shè)CHx，則BHAH3x.BC4，3xx4.x1.AH3，CH1.由旋轉(zhuǎn)，知EHFBHDAHC90，EHAH3，F(xiàn)HDHCH1，EHAFHC.EAHC.tanEAHtanC3.如圖，過點(diǎn)H作HPAE于點(diǎn)P，HP3AP，AE2AP.在RtAHP中，AP2HP2AH2，AP2(3AP)29. EF2GH.理由如下：設(shè)AH與CG交于點(diǎn)Q，由知，AEH和FHC都為等腰三角形又旋轉(zhuǎn)角為30，F(xiàn)HDBHE30.EHAFHC120.HCGGAH30.AGQCHQ.AGQCHQ90.又GQHAQC，GQHAQC. 3.教材改編題(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE，則AEB的度數(shù)為_，線段AD，BE之間的關(guān)系為_；(2)拓展探究：如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷AEB的度數(shù)，并說明理由；當(dāng)CM5時，AC比BE的長度多6時，求AE的長解：(1)60相等(2)AEB90.理由如下：ACB和DCE均為等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE為等腰直角三角形，CDECED45.點(diǎn)A，D，E在同一直線上，ADC135，BEC135.AEBBECCED90.在等腰RtDCE中，DCE90，CMDE，則有DMCMME5.在RtACM中，AM2CM2AC2.設(shè)BEADx，則AC6x.(x5)252(x6)2，解得x7.AEADDMME17.類型2 關(guān)于四邊形的變式拓展問題【例2】如圖1，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DEBC，且DE (不需要證明)【探究】如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：.(只添加一個條件)(2)如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AOOC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為.【思路分析】【探究】利用三角形的中位線定理可得出EFHG，EFGH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀【應(yīng)用】(1)同【探究】的方法判斷出 即可判斷出EFFG，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，進(jìn)而得出 再判斷出OMON，進(jìn)而得出解：【探究】四邊形EFGH是平行四邊形證明：如圖1，連接AC.E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，EFAC，綜上，EFHG，EFHG.故四邊形EFGH是平行四邊形【應(yīng)用】(1)添加ACBD.理由：連接AC，BD，ACBD，EFFG.又四邊形EFGH是平行四邊形，EFGH是菱形故答案為：ACBD.(2)如圖2，由【探究】，得四邊形EFGH是平行四邊形F，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，SBCD4SCFG.同理，SABD4SAEH.四邊形ABCD面積為5，設(shè)AC與FG，EH相交于點(diǎn)M，N，EF與BD相交于點(diǎn)P.OAOC，OMON.易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是面積相等的平行四邊形滿分技法此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解【探究】的關(guān)鍵是判斷出 解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是判斷出 是一道基礎(chǔ)題目滿分變式必練1.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.結(jié)合小敏的思路作答：(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題；(2)如圖2，在(1)的條件下，若連接AC，BD.當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結(jié)論并證明；當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：如圖，連接AC，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，EFHG，EFHG.故四邊形EFGH是平行四邊形(2)當(dāng)ACBD時，四邊形EFGH為菱形理由如下：由(1)知，四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)ACBD時，F(xiàn)GHG.EFGH是菱形當(dāng)ACBD時，四邊形EFGH為矩形2.如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F.(1)求證：BDF是等腰三角形；(2)如圖2，過點(diǎn)D作DGBE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O.判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；若AB6，AD8，求FG的長解：(1)證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得DBCDBE.又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)四邊形ABCD是矩形，ADBC.FDBG.又DGBE，即DGBF，四邊形BFDG是平行四邊形DFBF，四邊形BFDG是菱形AB6，AD8，假設(shè)DFBFx，AFADDF8x.在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2.3.如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CEBF.連接DE，過點(diǎn)E作EGDE，使EGDE，連接FG，F(xiàn)C.(1)請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是 ；(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷解：(1)FGCEFGCE(2)成立證明：如圖，過點(diǎn)G作GHCB的延長線于點(diǎn)H，EGDE，GEHDEC90.GEHHGE90，DECHGE.在HGE與CED中，HGECED(AAS)GHCE，HECD.CEBF，GHBF.GHBF，四邊形GHBF是平行四邊形FGBH，F(xiàn)GCH.FGCE.四邊形ABCD是正方形，CDBC.HEBC.HEEBBCEB.BHEC.FGEC.(3)仍然成立類型3 關(guān)于圓的變式拓展問題【例3】如圖1至圖4中，兩平行線AB，CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)思考如圖1，圓心為O的半圓形紙片在AB，CD之間(包括AB，CD)，其直徑MN在AB上，MN8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)MOP.當(dāng) 度時，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為.探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO 度，此時點(diǎn)N到CD的距離是.探究二將圖1中的扇形紙片NOP按下面對的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)(1)如圖3，當(dāng)60時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角BMO的最大值；(2)如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請確定的取值范圍【思路分析】在“思考”的圖1中，當(dāng)OPCD時，點(diǎn)P到CD的距離最?。辉凇疤骄恳弧钡膱D2中，半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動時，O與CD相切于點(diǎn)Y；在“探究二”的圖3中，當(dāng)PMAB時，點(diǎn)P到CD的距離最??；當(dāng) 與AB相切時，旋轉(zhuǎn)角BMO的度數(shù)最大圖4中，當(dāng)弦MP6時，取最小值；當(dāng) 與CD相切于點(diǎn)P時，即半徑OPCD于點(diǎn)P時，取最大值解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)90度時，點(diǎn)P到CD的距離最小MN8，OP4.點(diǎn)P到CD的距離最小值為642.故答案為：90,2.探究一：以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖1，MN8，MO4，OY4.UO2.得到最大旋轉(zhuǎn)角BMO30度，此時點(diǎn)N到CD的距離是2.圖1故答案為：30,2.探究二：(1)由已知得M與P的距離為4，當(dāng)MPAB時，點(diǎn)P到AB的最大距離為4，從而點(diǎn)P到CD的最小距離為642.當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時， 與AB相切，此時旋轉(zhuǎn)角最大，BMO的最大值為90.(2)如圖2，由探究一可知，點(diǎn)P是 與CD的切點(diǎn)時，達(dá)到最大，即OPCD.此時延長PO交AB于點(diǎn)H，圖2最大值為OMHOHM3090120.如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD上且與AB距離最小時，MPCD，達(dá)到最小，連接MP，作OHMP于點(diǎn)H，由垂徑定理，得MH3，在RtMOH中，MO4，圖3MOH49. 2MOH98，最小為98.的取值范圍是98120.滿分技法在拓展變化的圖形中求最值(比如最大(小)距離，角的最大(小)度數(shù)，線段的最大(小)長度等)，關(guān)鍵是確定相關(guān)圖形的特殊位置；確定幾何圖形中角度的取值范圍，要考查它的最大角度和最小角度兩種極端情況另外，幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn)的積累與訓(xùn)練也是不容忽視的，本題中很多結(jié)論如果用純粹的數(shù)學(xué)原理嚴(yán)格論證起來，是很困難的，比如“思考”中，為什么OPAB時點(diǎn)P到CD的距離最??？“探究一”中，怎樣說明半圓形紙片不能再轉(zhuǎn)動時，O與CD相切于點(diǎn)P？“探究二”(1)中，為什么MPAB時點(diǎn)P到CD的距離最?。繛槭裁串?dāng) 與CD相切于點(diǎn)P時，旋轉(zhuǎn)角BMO的度數(shù)最大？(2)中，為什么當(dāng)弦MP6時，取最小值；為什么當(dāng)半徑OPCD于點(diǎn)P時，取最大值？對于這些問題，在考場上是沒有時間、也沒有必要深究的，其結(jié)論的得出主要依靠幾何直觀與生活經(jīng)驗(yàn) 滿分變式必練1.如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，ACB90，BAC30，OD3cm，開始的時候BD1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，求三角板運(yùn)動的時間；(2)三角板繼續(xù)向右運(yùn)動，當(dāng)B點(diǎn)和E點(diǎn)重合時，AC與半圓相切于點(diǎn)F，連接EF，如圖2所示求證：EF平分AEC；求EF的長解：(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，BOODBD4(cm)，三角板運(yùn)動的時間為2s.(2)證明：如圖，連接點(diǎn)O與切點(diǎn)F，則OFAC.ACE90，ECAC.OFCE.OFECEF.OFOE，OFEOEF.OEFCEF，即EF平分AEC.由知，OFAC.AFO是直角三角形BAC30，OFOD3cm， 2.如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過的角度記作；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長度為m，回答下列問題：探究：(1)若R2，m1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30時，圓心O到射線AB的距離是 .如圖2，當(dāng)時，半圓O與射線AB相切；(2)如圖3，在(1)的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動30即能與射線AB相切，在保持線段AM長度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請你求出滿足要求的R，并說明理由；發(fā)現(xiàn)：(3)如圖4，在090時，為了對任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cos 與R，m兩個量的關(guān)系，請你幫助他直接寫出這個關(guān)系；cos ；(用含有R，m的代數(shù)式表示)拓展：(4)如圖5，若Rm，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個交點(diǎn)時，的取值范圍是，并求出在這個變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示)解：(1)如圖1，作OEAB于點(diǎn)E，MFOE于點(diǎn)F，則四邊形AMFE是矩形，EFAM1.在RtMFO中，MOF30，MO2，如圖2，設(shè)切點(diǎn)為F，連接OF，作OEOA于點(diǎn)E，則四邊形OEAF是矩形AEOF2.AM1，EM1.(2)如圖3，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，作MQOP，則四邊形APQM是矩形在RtOMQ中，OMR，MOQ30，(3)如圖4，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，作MQOP，則四邊形APQM是矩形在RtOQM中，OQRcos，QPm.OPR，RcosmR. (4)如圖5，當(dāng)半圓與射線AB相切時，此時90，之后開始出現(xiàn)兩個交點(diǎn)；當(dāng)N落在AB上時，為半圓與AB有兩個交點(diǎn)的最后時刻，此時，MN2AM，AMN60.120.當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個交點(diǎn)時，的取值范圍是90120.故答案為：90120.當(dāng)N落在AB上時，陰影部分面積最大，3.如圖1至圖5，O均作無滑動滾動，O1、O 2、O3、O4均表示O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時刻的位置，O的周長為C.閱讀理解：(1)如圖1，O從O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到O2的位置，當(dāng)ABc時，O恰好自轉(zhuǎn)1周；(2)如圖2，ABC相鄰的補(bǔ)角是n，O在ABC外部沿ABC滾動，在點(diǎn)B處，必須由O1的位置旋轉(zhuǎn)到O2的位置，O繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的角O1BO2n，O在點(diǎn)B處自實(shí)踐應(yīng)用：(1)在閱讀理解的(1)中，若AB2c，則O自轉(zhuǎn)周；若ABl，則O自轉(zhuǎn)周在閱讀理解的(2)中，若ABC120，則O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周；若ABC60，則O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)周；(2)如圖3，ABC90， O從O1的位置出發(fā)，在ABC外部沿ABC滾動到O4的位置，O自轉(zhuǎn)周拓展聯(lián)想：(1)如圖4，ABC的周長為l，O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切