1 1 7柱 錐 臺和球的體積 1 了解柱 錐 臺和球的體積計算公式 不要求記憶公式 2 理解柱 錐和臺的體積公式的推導(dǎo) 并知道 祖暅原理 在解決體積問題中的重要作用 3 會求幾何體的體積 1 2 3 1 祖暅原理及應(yīng)用 1 祖暅原理 冪勢既同 則積不容異 這就是說 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體 被平行于這兩個平面的任意平面所截 如果截得的兩個截面的面積總相等 那么這兩個幾何體的體積相等 2 祖暅原理的應(yīng)用 等底面積 等高的兩個柱體或錐體的體積相等 名師點撥 祖暅原理 充分體現(xiàn)了空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化的思想方法 這一原理是推導(dǎo)柱 錐 臺和球的體積公式的基礎(chǔ)和紐帶 1 2 3 做一做1 已知一斜棱柱的底面積為s 上 下兩底面間的距離為h 則利用祖暅原理可知此斜棱柱的體積為 答案 sh 1 2 3 2 柱 錐 臺的體積柱體 錐體 臺體的體積公式如下表 其中s s分別表示上 下底面的面積 h表示高 r 和r分別表示上 下底面圓的半徑 1 2 3 名師點撥柱體 錐體 臺體的體積有如下關(guān)系 1 2 3 做一做2 1 在棱長為1的正方體上 分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體 則截去8個三棱錐后 剩下的幾何體的體積是 答案 d 1 2 3 做一做2 2 用半徑為r的半圓卷成一個圓錐 這個圓錐的體積是 答案 a 1 2 3 做一做2 3 有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示 則該幾何體的體積為 解析 由三視圖知這是一個圓柱 其底面半徑是3 母線長為6 因此體積v 32 6 54 答案 54 1 2 3 3 球的體積 做一做3 充滿氫氣的氣球飛艇可以供游客旅行 現(xiàn)有一個飛艇 若它的半徑擴(kuò)大為原來的4倍 那么它的體積增大到原來的 a 4倍b 8倍c 64倍d 16倍 答案 c 1 2 1 割補(bǔ)法在空間幾何中的應(yīng)用剖析 試用割補(bǔ)法探究以下問題 1 用割補(bǔ)的方法說明斜三棱柱的體積等于與它等底等高的三棱錐體積的三倍 2 在斜棱柱中 我們把與側(cè)棱垂直的截面稱作斜棱柱的直截面 試說明斜棱柱的側(cè)面積等于直截面的周長與側(cè)棱長的乘積 斜棱柱的體積等于直截面的面積與側(cè)棱長的乘積 在 1 中 關(guān)鍵在于要說明如何去找截面 為什么如圖 所示的幾何體被截得的三個三棱錐的體積是相等的 這里用了這樣一個結(jié)論 若一條線段與平面相交且交點是線段的中點 則這條線段的兩個端點到這個平面的距離相等 如圖 所示的點a1與點c到截面abc1的距離相等 1 2 在 2 中 如圖 從割補(bǔ)的過程中 我們不難發(fā)現(xiàn)在割補(bǔ)前后斜棱柱的每個側(cè)面上相當(dāng)于將一個平行四邊形割補(bǔ)成一個矩形 因而側(cè)面積沒有變化 體積也沒有發(fā)生變化 1 2 名師點撥在解題中使用體積公式時一定要注意棱錐和棱臺的體積據(jù)條件適當(dāng)轉(zhuǎn)換頂點以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 根據(jù)這一思想還可以求一些簡單的距離問題 1 2 2 由錐體的體積可得到臺體的體積 剖析 利用錐體和臺體的聯(lián)系 用平行于底面的平面截錐體 截面和底面之間的部分是臺體 結(jié)合錐體的體積公式即得臺體的體積公式 如圖所示 設(shè)臺體 棱臺或圓臺 上 下底面面積分別是s s 高是h 設(shè)截得臺體時去掉的錐體的高是x 則截得這個臺體的錐體的高是 1 2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例1 已知一個圓柱去掉兩個底面 沿任一條母線割開 然后放在平面上展開后得到的平面圖形 我們叫圓柱的側(cè)面展開圖 是一個矩形 它的對角線長為m 對角線與底邊成 角 0 90 求圓柱的體積 分析 1 圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形 2 已知矩形的對角線長為m 對角線與底邊成 角 解答本題可先明確展開前圖形與展開后圖形中量與量之間的關(guān)系 再畫圖求解 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 設(shè)圓柱的底面半徑為r 高為h 如圖 反思對于幾何體的側(cè)面展開圖問題 要注意展開前后的 變 與 不變 對此題而言 為了求體積要抓住關(guān)鍵元素 即圓柱的底面半徑 高 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練1 如圖 是一個水平放置的正三棱柱abc a1b1c1 d是棱bc的中點 正三棱柱的主視圖如圖 則該正三棱柱abc a1b1c1的體積為 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例2 1 若圓錐的軸截面是面積為9的等腰直角三角形 則其體積等于 2 若正方體abcd a1b1c1d1的棱長為6cm 在棱ab ad aa1上分別取點p q r 使得ap 2cm aq 3cm ar 4cm 則三棱錐a pqr的體積為 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 答案 1 9 2 4cm3 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思三棱錐的體積求解具有靈活性 因為三棱錐的任何一個面都可以作為底面 所以常常需要根據(jù)題目條件對其頂點和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換 使得轉(zhuǎn)換后 該三棱錐的底面的面積易求 可求 高易求 可求 這一方法叫作等積法 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 如圖 在正三棱錐s abc中 設(shè)h為 abc的中心 連接sh 則sh的長即為該正三棱錐的高 連接ah 延長后交bc于點e 則e為bc的中點 且ah bc 因為 abc是邊長為6的正三角形 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例3 圓臺上底的面積為16 cm2 下底半徑為6cm 母線長為10cm 那么 圓臺的側(cè)面積和體積各是多少 分析 在本題中要求圓臺的體積必須先求出圓臺的高 通過作軸截面可以得到等腰梯形 進(jìn)一步可以得到矩形和直角三角形 利用它們可以方便地解決本問題 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思在多面體和旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化到平面圖形 三角形或特殊的四邊形 中來計算 對于棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形 即棱錐的高 斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形 或者由棱錐的高 側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形 對于棱臺往往要構(gòu)造直角梯形和直角三角形 在旋轉(zhuǎn)體中通常要過旋轉(zhuǎn)軸作截面得到直角三角形 矩形或等腰梯形 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練3 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖 則此幾何體的體積是 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 答案 144cm3 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例4 設(shè)a b c d是球面上的四個點 且在同一平面內(nèi) ab bc cd da 3 球心到該平面的距離為球半徑的一半 則球的體積為 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 答案 a 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思計算球的體積 關(guān)鍵是求出球的半徑 另外 球的體積公式具有 雙向 作用 如果已知球的體積 則可求得球的半徑的值 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 易錯點 體積公式使用不當(dāng)而致錯 例5 如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 若e f分別為ab ac的中點 平面eb1c1f將三棱柱分成了幾何體aef a1b1c1和c1b1 efcb兩部分 幾何體aef a1b1c1的體積為v1 幾何體c1b1 efcb的體積為v2 則v1 v2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 錯解 由已知可知幾何體aef a1b1c1是三棱臺 幾何體c1b1 efcb是四棱錐 設(shè)三棱柱底面積為s 高為h 則由錐 臺的體積公式可得錯因分析 幾何體c1b1 efcb不是一個規(guī)則的幾何體 而錯解中將其看成錐體了 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 錯因分析 幾何體c1b1 efcb不是一個規(guī)則的幾何體 而錯解中將其看成錐體了 正解 設(shè)三棱柱的高為h 底面的面積為s 體積為v 則v v1 v2 sh 答案 7 5 1 2 3 4 5 1 若一個球的表面積為4 則這個球的體積是 答案 b 1 2 3 4 5 2 將兩個棱長為10cm的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為5cm的正四棱柱 則該四棱柱的高為 解析 設(shè)正四棱柱的高為hcm 依題意得5 5 h 2 103 解得h 80 cm 答案 b 1 2 3 4 5 3 已知某個幾何體的三視圖如圖 主視圖的弧線是半圓 根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù) 則這個幾何體的體積是 a 288 36 b 60 c 288 72 d 288 18 解析 由題意可知 該幾何體是一組合體 其上面部分是半徑為3 高為8的半圓柱