一 廣義振動 振動 波動 橫跨物理學所有領(lǐng)域 物理量在中心值附近作周期性變化 1 機械振動 位置或位移 2 非機械振動 電磁振蕩 交流電 以上具有相似物理規(guī)律和研究方法 概述 第九章振動 1 二 最基本的振動 簡諧運動 2 9 1簡諧運動振幅周期與頻率相位 一 簡諧運動 以平衡位置為原點 建立圖示坐標系 偏離x k 勁度系數(shù) 一般為振動常數(shù) A 積分常數(shù) 初始條件 動力學方程 運動微分方程 運動方程 3 a x 平衡位置量度 b k 固有性質(zhì)與初始條件無關(guān) A 初始條件與固有性質(zhì)無關(guān) 4 討論 動力學分析 判斷振動性質(zhì) 求固有量 動和靜 平衡位置 偏離量x 力 矩 分析 5 1 振幅A 最大位移表征能量 二 簡諧運動的運動學描述 2 周期與頻率 比較 即 彈簧振子固有周期 單位時間 全振動次數(shù)的2 倍 T 固有量 取決振動系統(tǒng)動力學特征 6 3 相位 k 0 1 2 x A v 0 x 0 v 0 x A v 0 x 0 v 0 或 如t 0則 初始狀態(tài) 7 任意角 4個象限 8 9 2旋轉(zhuǎn)矢量 一 簡諧運動與勻速圓周運動 如圖所示 旋轉(zhuǎn)矢量 9 10 二 旋轉(zhuǎn)矢量法 1 表示諧振動 三要素 3 確定初相位 或相位 幾何法 11 由圖知 相位差 初相差 對 a 圖x2超前x1 2 1 b 圖x1超前x2 2或x2滯后x1 2 12 5 t或 由旋矢圖知 由此 與 t可互求 6 諧振動合成 9 5 13 三 諧振動的運動學分析 1 已知運動方程 一系列物理量 2 由已知條件 運動方程 確定三要素 其它物理量 14 分析 求 1 a 先求運動方程 三要素 其中 為關(guān)鍵 如 解析法 判斷 旋矢法 由旋矢圖 知 2 x 0 04m到 0 04m最短時間 15 由圖知 例2 一簡諧運動的x t曲線 如圖所示 求 1 初相 2 求運動方程 并用旋矢表示之 3 第一次到達處的速度和加速度 分析 a 簡便路徑 用旋矢法求 和 并結(jié)合相位法求第三問 b 旋矢圖 第一次到達次處相位 比較 解析法 旋矢法 相位法 討論 1 16 如 物理擺 一維角諧振動模型 9 3單擺和復擺 一 復擺 如圖偏離平衡位置 l 質(zhì)心c至轉(zhuǎn)軸o距離 二 單擺 數(shù)學擺 復擺一個特例 有 17 O R r 例1 一半徑為r的均質(zhì)球 可沿半徑為R的固定大球殼的內(nèi)表面作純滾動 如圖 試求圓球繞平衡位置作微小運動的動力學方程及其周期 分析 偏離 力 矩 分析 18 c 例2 細桿 m l 豎直時 水平輕質(zhì)彈簧 k 處于自然狀態(tài) 求細桿作小幅擺動時的周期T 分析 偏離 對o 很小時 有 19 t 系統(tǒng)能量 以彈簧振子為例 9 4簡諧運動的能量 守恒 20 簡諧運動 能量特征 能量守恒 討論 能量法 判斷廣義簡諧運動 振子偏離平衡位置x時 以彈簧振子為例 兩邊對t求導 21 例 求圖示系統(tǒng)的振動頻率 設(shè)輕繩與定滑輪間無相對滑動 分析 a 尋找平衡位置 建立圖示坐標系 b 法動力學法 偏離x平動與轉(zhuǎn)動隔離 對m 對J m與J 系統(tǒng)固有性質(zhì) 22 偏離x系統(tǒng) m k J 地球 c 法能量法 兩邊對t求導 可得同樣結(jié)果 23 9 5簡諧運動的合成 一 兩個同方向同頻率簡諧運動的合成 與相位差 有關(guān) 仍為諧振動 不變 24 a 如 討論 b 如 或 如 靜止 a 以上為兩相干波干涉的基礎(chǔ) b 建議 對下列特殊情況可直接用旋矢法求解 25 比較 旋矢法與解析法 討論 26 合振動軌跡方程 消去t 橢圓方程 二 兩個相互垂直同頻率簡諧運動的合成 27 討論 a 所含各種情況 0 直線 諧振動 2 3 2正橢圓 如A1 A2圓 其他情況斜橢圓 b 右旋與左旋 如 2 1 0 如 2 1 0 x超前y逆時針旋轉(zhuǎn) 左旋 y超前x順時針旋轉(zhuǎn) 右旋 28 三 多個同方向同頻率簡諧運動的合成 合運動仍為簡諧運動 如 則 29 討論 a 若 b 若 N個矢量構(gòu)成一閉合圖形 30 c 次級大 四 兩個同方向不同頻率簡諧運動合成 拍 一般 合運動 不是諧振動 討論 的情況 31 合運動 如 隨t變化的振幅 振動因子 32 比較 證明 1 解析法 證明 2 旋矢法 從兩振動同相 再次同相 由相對運動 拍現(xiàn)象應(yīng)用領(lǐng)域 聲學 無線電技術(shù) 速度測量 33 一 阻尼振動 簡諧運動 理想等幅守恒 9 6阻尼振動受迫振動共振 實際阻尼 如 2 02其解為 式中A 初始條件 34 討論 臨界阻尼 工程中有很多應(yīng)用 c 臨界阻尼 b 過阻尼 a 欠阻尼 35 二 受迫振動 周期性簡諧外力 則 其解 暫態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 多種因素有關(guān) 如 0 P 振動頻率 驅(qū)動外力 P 機械能守恒 36 三 位移 共振 共振頻率 另速度共振 電流諧振 選頻 令 速度最大 令 共振 有弊也有利 37 一 振蕩電路無阻尼自由電磁振蕩 9 7電磁振蕩 LC電路 無阻尼情況 38 二 無阻尼電磁振蕩的振蕩方程 LC電路 t 有 振動周期 39 三 無阻尼電磁振蕩的能量 t 電容器 電感線圈 總能量 守恒 40 9 8簡述非線性系統(tǒng) 一 線性系統(tǒng) 理想或近似 特征 1 動力學行為 滿足 一組 線性微分方程 2 其解 滿足線性疊加原理 二 非線性系統(tǒng) 實際 普遍 特征 1 疊加原理不成立 2 初始條件不同 會導致很不相同運動形式 3 可能出現(xiàn)完全隨機混沌行為 41 討論 小角度 線性系統(tǒng) 和大角度 非線性系統(tǒng) 物理行為 線性微分方程 其解 精確描述狀態(tài) 確定性 兩同頻率諧振動合成 滿足線性疊加原理 滿足 其解 42 非線性微分方程 如取前兩項 一次迭代近似解 不滿足線性疊加原理 近似