第1頁：封面標(biāo)題：26.2.3求二次函數(shù)的表達(dá)式副標(biāo)題：基于三種形式的全場景求解方法落款：初中數(shù)學(xué)教研組第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)與知識回顧一、學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握根據(jù)不同已知條件（如三點坐標(biāo)、頂點與一點、與x軸交點與一點）求二次函數(shù)表達(dá)式的方法理解二次函數(shù)三種形式（一般式、頂點式、交點式）的適用場景，能靈活選擇形式求解提升利用待定系數(shù)法解決函數(shù)表達(dá)式問題的能力，深化方程思想二、知識回顧（二次函數(shù)的三種形式）函數(shù)形式解析式關(guān)鍵特征適用場景一般式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）含三個待定系數(shù)\(a,b,c\)已知函數(shù)圖象上任意三點坐標(biāo)頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）含三個待定系數(shù)\(a,h,k\)，\((h,k)\)為頂點已知函數(shù)頂點坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸、最值）及另一點坐標(biāo)交點式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）含三個待定系數(shù)\(a,x_1,x_2\)，\(x_1,x_2\)為與x軸交點橫坐標(biāo)已知函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)及另一點坐標(biāo)第3頁：方法一：已知三點坐標(biāo)，用一般式求解（待定系數(shù)法）一、核心原理一般式\(y=ax^2+bx+c\)含三個待定系數(shù)\(a,b,c\)，需三個獨立條件（三點坐標(biāo)）列三元一次方程組，求解得到系數(shù)后確定表達(dá)式。二、求解步驟設(shè)表達(dá)式：設(shè)二次函數(shù)的一般式為\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）；列方程組：將三點\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)、\((x_3,y_3)\)分別代入一般式，得到關(guān)于\(a,b,c\)的三元一次方程組：\(\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1\\ax_2^2+bx_2+c=y_2\\ax_3^2+bx_3+c=y_3\end{cases}\)解方程組：通過消元法（代入消元、加減消元）求解方程組，得到\(a,b,c\)的值；寫表達(dá)式：將\(a,b,c\)的值代入一般式，得到二次函數(shù)的表達(dá)式。三、實例解析例：已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過\((0,1)\)、\((1,3)\)、\((-1,1)\)三點，求其表達(dá)式。設(shè)表達(dá)式：\(y=ax^2+bx+c\)；列方程組：代入\((0,1)\)：\(a\times0^2+b\times0+c=1\)→\(c=1\)；代入\((1,3)\)：\(a\times1^2+b\times1+c=3\)→\(a+b+1=3\)（即\(a+b=2\)）；代入\((-1,1)\)：\(a\times(-1)^2+b\times(-1)+c=1\)→\(a-b+1=1\)（即\(a-b=0\)）；解方程組：聯(lián)立\(\begin{cases}a+b=2\\a-b=0\end{cases}\)，解得\(a=1\)，\(b=1\)；寫表達(dá)式：\(y=x^2+x+1\)。第4頁：方法二：已知頂點（或?qū)ΨQ軸、最值）與一點，用頂點式求解一、核心原理頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)中，\((h,k)\)是頂點坐標(biāo)（已知頂點則\(h,k\)確定），僅需一個待定系數(shù)\(a\)，代入另一點坐標(biāo)即可求解。二、求解步驟設(shè)表達(dá)式：設(shè)二次函數(shù)的頂點式為\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)((h,k)\)為已知頂點坐標(biāo)；（若已知對稱軸\(x=m\)，則\(h=m\)；若已知最值為\(n\)，則\(k=n\)，需結(jié)合開口方向確定\((h,k)\)）求系數(shù)\(a\)：將已知的另一點\((x_0,y_0)\)代入頂點式，得到關(guān)于\(a\)的一元一次方程：\(y_0=a(x_0-h)^2+k\)，解出\(a\)的值；寫表達(dá)式：將\(a,h,k\)的值代入頂點式，可根據(jù)需求化為一般式。三、實例解析例1：已知二次函數(shù)的頂點為\((2,5)\)，且經(jīng)過點\((3,7)\)，求其表達(dá)式。設(shè)表達(dá)式：頂點\((2,5)\)，故設(shè)\(y=a(x-2)^2+5\)；求\(a\)：代入\((3,7)\)，得\(7=a(3-2)^2+5\)→\(7=a+5\)→\(a=2\)；寫表達(dá)式：\(y=2(x-2)^2+5\)（或化為一般式\(y=2x^2-8x+13\)）。例2：已知二次函數(shù)的對稱軸為\(x=-1\)，最大值為\(4\)，且經(jīng)過點\((0,3)\)，求其表達(dá)式。設(shè)表達(dá)式：對稱軸\(x=-1\)則\(h=-1\)，最大值\(4\)則\(k=4\)（開口向下，\(a<0\)），設(shè)\(y=a(x+1)^2+4\)；求\(a\)：代入\((0,3)\)，得\(3=a(0+1)^2+4\)→\(a=-1\)；寫表達(dá)式：\(y=-(x+1)^2+4\)（或化為一般式\(y=-x^2-2x+3\)）。第5頁：方法三：已知與x軸交點及另一點，用交點式求解一、核心原理交點式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)中，\(x_1,x_2\)是函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)（已知交點則\(x_1,x_2\)確定），僅需一個待定系數(shù)\(a\)，代入另一點坐標(biāo)即可求解。二、求解步驟設(shè)表達(dá)式：設(shè)二次函數(shù)的交點式為\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)為已知的與x軸交點；求系數(shù)\(a\)：將已知的另一點\((x_0,y_0)\)代入交點式，得到關(guān)于\(a\)的一元一次方程：\(y_0=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)\)，解出\(a\)的值；寫表達(dá)式：將\(a,x_1,x_2\)的值代入交點式，可根據(jù)需求化為一般式或頂點式。三、實例解析例：已知二次函數(shù)圖象與x軸交于\((1,0)\)和\((3,0)\)兩點，且經(jīng)過點\((2,-1)\)，求其表達(dá)式。設(shè)表達(dá)式：交點橫坐標(biāo)\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，故設(shè)\(y=a(x-1)(x-3)\)；求\(a\)：代入\((2,-1)\)，得\(-1=a(2-1)(2-3)\)→\(-1=a\times1\times(-1)\)→\(a=1\)；寫表達(dá)式：\(y=(x-1)(x-3)\)（或化為一般式\(y=x^2-4x+3\)，頂點式\(y=(x-2)^2-1\)）。第6頁：方法選擇與綜合應(yīng)用（如何選最優(yōu)形式）一、方法選擇技巧已知條件優(yōu)先選擇的函數(shù)形式理由任意三點坐標(biāo)一般式三點可列三元方程組，直接求解\(a,b,c\)頂點（或?qū)ΨQ軸、最值）+另一點頂點式僅需求一個系數(shù)\(a\)，計算量小與x軸兩交點+另一點交點式僅需求一個系數(shù)\(a\)，無需解多元方程組條件不明確（如已知兩點+對稱軸）結(jié)合頂點式分析兩點+對稱軸可確定頂點，再用頂點式求解二、綜合應(yīng)用實例例：已知二次函數(shù)經(jīng)過\((2,0)\)、\((0,-6)\)兩點，且對稱軸為\(x=1\)，求其表達(dá)式。分析：已知兩點+對稱軸，優(yōu)先用頂點式（對稱軸\(x=1\)即\(h=1\)）。設(shè)表達(dá)式：\(y=a(x-1)^2+k\)；列方程：代入\((2,0)\)：\(0=a(2-1)^2+k\)→\(a+k=0\)；代入\((0,-6)\)：\(-6=a(0-1)^2+k\)→\(a+k=-6\)；聯(lián)立解得\(a=2\)，\(k=-2\)；寫表達(dá)式：\(y=2(x-1)^2-2\)（或化為一般式\(y=2x^2-4x\)）。第7頁：常見錯誤與避坑技巧一、常見錯誤形式選擇不當(dāng)：如已知頂點卻用一般式，增加計算量（需解三元方程組）；交點式符號錯誤：誤將交點式寫成\(y=a(x+x_1)(x+x_2)\)，忽略“\(x-x_1\)”中的減號（如交點\((-2,0)\)應(yīng)寫為\((x+2)\)，即\(x-(-2)\)）；遺漏\(a\neq0\)：求解后未驗證\(a\)是否為0（若\(a=0\)，則為一次函數(shù)，不符合二次函數(shù)定義）；計算錯誤：解三元一次方程組時，消元步驟出錯；代入點坐標(biāo)時，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)代入錯誤。二、避坑技巧“先定形式，再求系數(shù)”：拿到題目先分析已知條件，根據(jù)條件確定最優(yōu)函數(shù)形式，再動手計算；交點式“符號驗證”：代入交點坐標(biāo)驗證，如交點\((x_1,0)\)代入交點式，需滿足\(y=0\)；結(jié)果“回代驗證”：求出表達(dá)式后，將已知點坐標(biāo)代入驗證，確保所有點都滿足表達(dá)式；復(fù)雜計算“分步來”：解方程組時，先消去易消的未知數(shù)（如一般式中若有一點是\((0,c)\)，可先求出\(c\)），減少計算步驟。第8頁：課堂練習(xí)與作業(yè)布置一、課堂練習(xí)基礎(chǔ)題（一般式）：已知二次函數(shù)過\((1,2)\)、\((2,5)\)、\((-1,0)\)，求表達(dá)式（答案：\(y=x^2+2x-3\)）；基礎(chǔ)題（頂點式）：已知二次函數(shù)頂點\((-3,4)\)，過\((-2,6)\)，求表達(dá)式（答案：\(y=2(x+3)^2+4\)）；基礎(chǔ)題（交點式）：已知二次函數(shù)與x軸交于\((-1,0)\)、\((4,0)\)，過\((0,-8)\)，求表達(dá)式（答案：\(y=2(x+1)(x-4)\)）；提升題（綜合）：已知二次函數(shù)過\((1,3)\)、\((3,3)\)兩點，且最大值為5，求表達(dá)式（答案：\(y=-0.5(x-2)^2+5\)或\(y=-0.5x^2+2x+3.5\)）。二、作業(yè)布置必做：教材中求二次函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)習(xí)題，完成3道不同形式的題目（一般式、頂點式、交點式各1道）；選做：已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過\((2,-1)\)，且與x軸的兩個交點距離為4，對稱軸為\(x=1\)，求其表達(dá)式（提示：先確定與x軸交點坐標(biāo)）。第9頁：課堂小結(jié)三種核心方法：一般式：三點定系數(shù)，列三元方程組求解；頂點式：頂點+一點，求一個系數(shù)\(a\)；交點式：兩交點+一點，求一個系數(shù)\(a\)。關(guān)鍵思想：待定系數(shù)法（根據(jù)未知數(shù)個數(shù)找對應(yīng)條件，列方程/方程組求解）；核心技巧：“看條件選形式”，優(yōu)先選擇計算量小的形式，結(jié)果需回代驗證。2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級下冊【示范課精品課件】授課教師：

.班級：

.

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.

26.2.3求二次函數(shù)的表達(dá)式第26章二次函數(shù)aiTujmiaNg復(fù)習(xí)引入1.

一次函數(shù)

y

=

kx

+

b

(k

≠

0)

有幾個待定系數(shù)？通常需要已知幾個點的坐標(biāo)求出它的表達(dá)式？2.

求一次函數(shù)表達(dá)式的方法是什么？一般步驟有哪些？2

個2

個待定系數(shù)法(1)設(shè)：表達(dá)式(2)代：坐標(biāo)代入(3)解：方程（組）(4)還原：寫表達(dá)式{∴典例精析

例1

已知二次函數(shù)

y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(2，3)和(－1，－3)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

解：∵該圖象經(jīng)過點

(2，3)和(－1，－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達(dá)式為

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得關(guān)于

y

軸對稱{特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式1.已知二次函數(shù)

y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(－2，8)

和(－1，5)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

解：∵該圖象經(jīng)過點

(-2，8)和

(-1，5)，針對訓(xùn)練圖象經(jīng)過原點∴

8=4a-

2b，5=a-

b，解得∴

y=-x2-

6x.{{a=-1，b=-6.

選取頂點（-2，1）和點（1，-8），試求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式是

y

=

a(x

-

h)2

+

k，把頂點

(-2，1)代入

y

=

a(x

-

h)2

+

k

得

y

=

a(x

+

2)2

+

1，再把點

(1，-8)代入上式得a(1

+

2)2

+

1

=

-8，解得a

=

-1.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=

-(x+2)2+1或y=

-x2-4x-3.頂點法求二次函數(shù)的表達(dá)式歸納總結(jié)頂點法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點法.其步驟是：①

設(shè)函數(shù)表達(dá)式是

y

=

a(x

+

h)2

+

k；②

先代入頂點坐標(biāo)，得到關(guān)于

a

的一元一次方程；③

將另一點的坐標(biāo)代入原方程求出

a

的值；④

將

a

用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式，然后化為一

般式.例2

一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)點

(0，1)，它的頂點坐標(biāo)為(8，9)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.解：因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為

(8，9)，所以可設(shè)其表達(dá)式為

y

=

a(x

-

8)2

+

9.又因為它的圖象經(jīng)過點(0，1)，所以1

=

a(0

-

8)2

+

9，解得故所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是

y

=

(x

-

8)2

+

9，即

y

=

x2

+

2x

+

1.解：∵

(-3，0)，(-1，0)是拋物線與

x

軸的交點，∴可設(shè)其表達(dá)式為

y

=

a(x

+

3)(x

+

1).代入點

(0，-3)，得a(0

+

3)(0

+

1)

=

-3，解得

a

=

-1.∴

所求表達(dá)式為

y

=

-(x

+

3)(x

+

1)，即

y

=

-x2

-

4x

-

3.

選取二次函數(shù)圖象上的三點

(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

xyO12-1-2-3-4-2-4-31交點法求二次函數(shù)的表達(dá)式歸納總結(jié)交點法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法

這種已知拋物線與

x

軸的交點坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做交點法.其一般步驟是：①

設(shè)其表達(dá)式是

y

=

a(x

-

x1)(x

-

x2)(其中

x1，x2

分別是兩交點的橫坐標(biāo))；②

將拋物線經(jīng)過的第三點的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得到關(guān)于

a

的一元一次方程；③

解方程得出

a

值；④

寫出表達(dá)式，并化為一般式.想一想確定二次函數(shù)的這三點應(yīng)滿足什么條件？

這三點不能在同一條直線上（其中兩點的連線可垂直于

y

軸，但不可以垂直于

x

軸）.合作探究一般式法二次函數(shù)的表達(dá)式問題1

（1）二次函數(shù)

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a

≠

0)

中有幾個待定系數(shù)？需要拋物線上的幾個點的坐標(biāo)才能求出系數(shù)？3個3個（2）下面是我們用描點法畫二次函數(shù)的圖象時所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15①

選取圖象經(jīng)過的三點(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為

y

=

ax2

+

bx

+

c，把

(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)

代入表達(dá)式，得9a

-

3b

+

c

=

0，a

-

b

+

c

=

0，c

=

-3，解得a

=

-1，b

=

-4，c

=

-3.∴

所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為

y

=

-x2

-

4x

-

3.待定系數(shù)法步驟:1.設(shè)：表達(dá)式2.代：坐標(biāo)代入3.解：方程(組)4.還原：寫解析式這種已知三點求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其一般步驟是：①

設(shè)函數(shù)表達(dá)式為

y

=

ax2

+

bx

+

c；②

代入三點的坐標(biāo)后得到一個三元一次方程組；③

解方程組得到

a，b，c

的值；④

把待定系數(shù)用求得的值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.歸納總結(jié)一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法1.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，該拋物線的表達(dá)式應(yīng)是

.

注

y

=

ax2

與

y

=

ax2

+

k，y

=

a(x

+

h)2，y

=

a(x

+

h)2

+

k

一樣都是頂點式，只不過前三者是頂點式的特殊形式.注意xyO2-2-42-242.

過點

(2，4)，且當(dāng)

x

=

1

時，y

有最值為

6，則其表達(dá)式是

.y

=

-2x2+

4x

+4頂點坐標(biāo)是

(1，6)3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為

y＝ax2＋bx＋c.依題意得∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為

y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a－b＋c＝－5，解得b＝3，c＝－4.a＝2，4.已知拋物線與

x軸相交于點

A(－1，0)，B(1，0)，且過點

M(0，1)，求此拋物線的表達(dá)式．解：由于點

A(－1，0)，B(1，0)是拋物線與

x軸的交點，故可設(shè)該拋物線的表達(dá)式為

y＝a(x＋1)(x－1).又因為拋物線過點

M(0，1)，∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得

a＝－1.∴所求拋物線的表達(dá)式為

y＝－(x＋1)(x－1)，即

y＝－x2＋1.5.如圖，拋物線

y＝x2＋bx＋c過點

A(－4，－3)，與

y軸交于點

B，對稱軸是

x＝－3，請解答下列問題：(1)求拋物線的表達(dá)式；解：把點

A(－4，－3)代入

y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，即

c＝4b－19.∵對稱軸是

x＝－3，∴

＝－3.∴b＝6.∴c＝4b－19＝5.∴該拋物線的表達(dá)式為

y＝x2＋6x＋5.(2)若與

x軸平行的直線和拋物線交于

C，D兩點，點

C在對稱軸左側(cè)，且

CD＝8，求△BCD的面積．解：∵CD∥x軸，∴點

C與點

D關(guān)于

x＝－3對稱.∵點

C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點

C的橫坐標(biāo)為－7.∴點

C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.易得點

B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中

CD邊上的高為12－5＝7.∴△BCD的面積為×8×7＝28.返回CA返回返回B3．[2024寧波月考]有一個二次函數(shù)，已知其圖象過(2，0)，(5，0)兩點，且與y＝2x2的形狀一致，那么該二次函數(shù)的表達(dá)式為(

)A．y＝