專(zhuān)題05相似三角形的應(yīng)用重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（12大題型+15道拓展培優(yōu)）題型一相似三角形的應(yīng)用之測(cè)高問(wèn)題題型二相似三角形的應(yīng)用之影長(zhǎng)問(wèn)題題型三相似三角形的應(yīng)用之河寬問(wèn)題題型四相似三角形的應(yīng)用之樹(shù)高問(wèn)題題型五相似三角形的應(yīng)用之物理問(wèn)題題型六相似三角形的應(yīng)用之表格問(wèn)題題型七相似三角形的應(yīng)用之三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題題型八相似三角形的應(yīng)用之杠桿問(wèn)題題型九相似三角形的應(yīng)用之生活實(shí)際問(wèn)題題型十相似三角形的應(yīng)用之古代問(wèn)題題型十一相似三角形的應(yīng)用之最值問(wèn)題題型十二相似三角形的應(yīng)用綜合【經(jīng)典例題一相似三角形的應(yīng)用之測(cè)高問(wèn)題】1．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）西安環(huán)城公園是一處融合了明代城墻韻味與現(xiàn)代綠化風(fēng)貌的公益性公園．它不僅是自然的饋贈(zèng)，更是歷史的見(jiàn)證．小華和小剛打算測(cè)量環(huán)城公園安定門(mén)段的牌坊的高度．如圖，小華站在點(diǎn)D處，位于點(diǎn)D正前方3米的點(diǎn)C處有一平面鏡，通過(guò)平面鏡小華剛好可以看到牌坊頂端A的像，此時(shí)測(cè)得小華眼睛到地面的距離ED為1.5米；小剛在G處豎了一根高為2米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H，標(biāo)桿的頂端F和牌坊的頂端A在一條直線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得米，米，已知，于G，于D，于B，點(diǎn)B，C，D，G，H在一條直線(xiàn)上，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算牌坊的高度．2．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）在學(xué)完利用相似三角形測(cè)高后，我校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備去測(cè)量大雁塔的高度．測(cè)量方案如下：如圖，首先，小輝站在處，位于點(diǎn)正前方3米點(diǎn)處有一平面鏡，通過(guò)平面鏡小輝剛好看到大雁塔的頂端的像，此時(shí)測(cè)得小輝的眼睛到地面的距離為1.6米；然后，小剛在處豎立了一根高2.4米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和塔頂在一條直線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得為6米，為28米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線(xiàn)上，請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度．（平面鏡大小厚度忽略不計(jì)）3．（23-24九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式在杭州奧體中心主體育場(chǎng)舉行，奧運(yùn)會(huì)游泳冠軍汪順和代表火炬線(xiàn)上傳遞參與者的“虛擬數(shù)字火炬手”一同點(diǎn)燃了杭州亞運(yùn)會(huì)的主火炬臺(tái)．某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量這座主火炬臺(tái)頂端距離地面的高度，如圖，小明先在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標(biāo)桿，這時(shí)地面上的點(diǎn)，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)，火炬臺(tái)的頂端正好在同一直線(xiàn)上，測(cè)得米；小明再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)沿著方向前進(jìn)米，到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處放置一平面鏡，小剛站在處時(shí)，恰好在平面鏡中看到火炬頂端的像，此時(shí)測(cè)得小剛的眼睛到地面的距離為米，米．已知點(diǎn)與火炬臺(tái)的底端在同一直線(xiàn)上，，，．（平面鏡大小忽略不計(jì)）(1)求與的等量關(guān)系；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算該火炬臺(tái)的高度．4．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）大雁塔是西安市的標(biāo)志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．我校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度，他們?cè)诘孛嫔狭⒘藘筛呔鶠?米的標(biāo)桿和，兩桿之間的距離米，點(diǎn)G、C、B三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．小明從C處退行4米到點(diǎn)E處，他的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上；他再?gòu)腉處退行6米到點(diǎn)F處，從F觀察A點(diǎn)，A、F、H三點(diǎn)也在同一直線(xiàn)上．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度．【經(jīng)典例題二相似三角形的應(yīng)用之影長(zhǎng)問(wèn)題】5．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·開(kāi)學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿，在燈光下，小麗從燈桿的底部處沿直線(xiàn)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，在處測(cè)得自己的影長(zhǎng)．小麗身高．(1)求燈桿的長(zhǎng)；(2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線(xiàn)前進(jìn)到達(dá)G處（如圖2），求此時(shí)小麗的影長(zhǎng)的長(zhǎng)．6．（22-23九年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·期末）在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的三棵樹(shù)的高度．在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，他們分別做了以下工作：小芳：測(cè)得一根長(zhǎng)為米的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為米，甲樹(shù)的影長(zhǎng)為米（如圖1）．小華：發(fā)現(xiàn)乙樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖2），墻壁上的影長(zhǎng)為米，落在地面上的影長(zhǎng)為米．小麗：測(cè)量的丙樹(shù)的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上（如圖3），測(cè)得臺(tái)階上的影子長(zhǎng)為0.1米，一級(jí)臺(tái)階的高為米，落在地面上的影長(zhǎng)為米．根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，解答以下問(wèn)題：(1)甲樹(shù)的高度為_(kāi)______米；(2)求乙樹(shù)的高度；(3)求丙樹(shù)的高度．7．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖，九年級(jí)(1)班的小明與小艷兩位同學(xué)去操場(chǎng)測(cè)量旗桿的高度，已知直立在地面上的竹竿的長(zhǎng)為．某一時(shí)刻，測(cè)得竹竿在陽(yáng)光下的投影的長(zhǎng)為(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)旗桿在陽(yáng)光下的投影，并寫(xiě)出畫(huà)圖步驟；(2)在測(cè)量竹竿的影長(zhǎng)時(shí)，同時(shí)測(cè)得旗桿DE在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為，請(qǐng)你計(jì)算旗桿的高度．8．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在某學(xué)校的明德樓和啟智樓之間有一條文化長(zhǎng)廊，文化長(zhǎng)廊上佇立著三座名人塑像，，，點(diǎn)A，D，F(xiàn)，H，B在同一直線(xiàn)上，且．在明德樓的樓頂有一照明燈P，塑像的影子為，塑像的影子為．該?！疤綌?shù)學(xué)”興趣小組的同學(xué)測(cè)得文化長(zhǎng)廊米，塑像高米，塑像的影長(zhǎng)米．(1)求明德樓的高；(2)求塑像的影長(zhǎng)．【經(jīng)典例題三相似三角形的應(yīng)用之河寬問(wèn)題】9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，決定在該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的一條河上修建一座步行觀光橋，因此要先測(cè)量河寬．如圖，該河道兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)C和點(diǎn)D，分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)E、F，使得，經(jīng)測(cè)量，米，米，且點(diǎn)F到河岸的距離為90米．已知于點(diǎn)B，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算河寬．

10．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河面的寬度，即的長(zhǎng)，在離河岸點(diǎn)2米遠(yuǎn)的點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為1米的標(biāo)桿，在河對(duì)岸的岸邊有一塊高為米的安全警示牌，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即，兩岸均高出水平面米，即米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線(xiàn)，若均垂直于河面，求河寬是多少米？11．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，為了測(cè)量某河段的寬度，某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B和C，使點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)且直線(xiàn)AB與河岸b垂直，接著在過(guò)點(diǎn)C且與AB垂直的直線(xiàn)a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，點(diǎn)A、D與河岸b上的點(diǎn)E在一條直線(xiàn)上．測(cè)得，，，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬AB．12．（2024·浙江金華·二模）某河流的一段如圖1所示，現(xiàn)要估算河的寬度（即河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B間的距離），可以按如下步驟操作：①先在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A；②再在河的這一邊選定點(diǎn)B和點(diǎn)C，使；③再選定點(diǎn)E，使，然后用視線(xiàn)確定和的交點(diǎn)D．(1)用皮尺測(cè)得，，，求河寬．(2)請(qǐng)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)設(shè)計(jì)一種測(cè)量旗桿高度的方案．要求：①畫(huà)出示意圖，所測(cè)長(zhǎng)度用a，b，c等表示，直接標(biāo)注在圖2中的線(xiàn)段上；②不要求寫(xiě)操作步驟；③結(jié)合所測(cè)數(shù)據(jù)直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗桿高度．【經(jīng)典例題四相似三角形的應(yīng)用之樹(shù)高問(wèn)題】13．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，直立在B處的標(biāo)桿，直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹(shù)頂C在同一條直線(xiàn)上（點(diǎn)F，B，D也在同一條直線(xiàn)上）．已知，．人高，求樹(shù)高．14．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，小斌想用學(xué)過(guò)的知識(shí)測(cè)算河的寬度，在河對(duì)岸有一棵高4.8米的樹(shù)，樹(shù)在河里的倒影為，，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點(diǎn)處時(shí)看到岸邊點(diǎn)和倒影頂點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)到水面的距離米，米，米，，，，，，視線(xiàn)與水面的交點(diǎn)為，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度．15．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）某學(xué)校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度．采用的方法如下：如圖，首先把支架放在離樹(shù)適當(dāng)距離的水平地面上點(diǎn)處，再把鏡子水平放置在支架上點(diǎn)處，然后觀測(cè)者沿著直線(xiàn)后退至點(diǎn)處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)的頂端．用皮尺分別測(cè)得，．若觀測(cè)者目高為，支架的高為，求這棵樹(shù)的高度．16．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）西安世博園是一個(gè)融合了古今中外園林藝術(shù)的美麗地方，讓人流連忘返，它占地面積很大，擁有眾多主題園區(qū)，每個(gè)園區(qū)都有獨(dú)特的景觀和特色．在陽(yáng)光明媚的一天，小濱和小美去世園會(huì)游玩，想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棵銀杏樹(shù)的高度(銀杏樹(shù)四周被圍起來(lái)了，底部不易到達(dá))、小濱提議用平面鏡和陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量銀杏樹(shù)的高，方法如下：首先，小濱在某一時(shí)刻測(cè)得站立在E處的小美的影長(zhǎng)，在同一時(shí)刻測(cè)量銀杏樹(shù)的影長(zhǎng)時(shí)，因樹(shù)靠近墻面，影子有一部分落在墻上，他測(cè)得落在墻上的影長(zhǎng)；然后，小濱在小美和墻面之間的直線(xiàn)上平放一平面鏡，這個(gè)平面鏡在直線(xiàn)上的點(diǎn)M處，鏡子不動(dòng)，小濱來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)N時(shí)，恰好在鏡面中看到銀杏樹(shù)頂端A的像，這時(shí)測(cè)得小濱的眼睛距地面的距離，，，如圖，已知點(diǎn)G、B、N均在直線(xiàn)上，，，，，小美的身高，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出銀杏樹(shù)的高．

【經(jīng)典例題五相似三角形的應(yīng)用之物理問(wèn)題】17．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在學(xué)了相似三角形后，他回顧了八年級(jí)物理課中學(xué)過(guò)的凸透鏡成像規(guī)律，想弄明白其中原理，如；物距、像距和焦距之間是否存在一定的聯(lián)系?為什么所成的像有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)放大或縮小、正立或倒立、實(shí)像或虛像?能不能求出具體放大（或縮?。┝藥妆?……于是乎他作了多次研究推理．(1)小明先取物距，然后畫(huà)出光路圖（如圖1），其中為物體，O為凸透鏡的光心，入射光線(xiàn)光軸，折射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，為所成的像．請(qǐng)根據(jù)光路圖1，解答下列問(wèn)題：①當(dāng)時(shí)，物體經(jīng)凸透鏡折射后成__________（填“倒立”或“正立”），__________（填“放大”或“縮小”）的____________（填“實(shí)像”或“虛像”）．②利用相似的知識(shí)，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)物體成像時(shí)放大了__________倍；(2)小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了物距、像距和焦距之間在成實(shí)像時(shí)存在著關(guān)系：，請(qǐng)以物距時(shí)為例，請(qǐng)仿照（1）②的方法，在圖2中畫(huà)光路圖證明這個(gè)關(guān)系式．18．（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期中）閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)：測(cè)量樹(shù)的高度．在物理學(xué)中我們學(xué)過(guò)光的反射定律，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律測(cè)量池塘對(duì)岸一棵樹(shù)的高度AB，測(cè)量和計(jì)算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)處放置了一塊平面鏡，小華站在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹(shù)的頂點(diǎn)時(shí)，測(cè)得小華到平面鏡的距離，小華的眼睛到地面的距離；②將平面鏡從點(diǎn)沿的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng)到點(diǎn)處，小華向后移動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，小華的眼睛又剛好在平面鏡中看到樹(shù)的頂點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小華到平面鏡的距離；③計(jì)算樹(shù)的高度AB：設(shè)，．，，．任務(wù)：請(qǐng)你根據(jù)材料中得到的測(cè)量數(shù)據(jù)和計(jì)算步驟，將剩余的計(jì)算部分補(bǔ)充完整．19．（2024·江蘇蘇州·二模）【數(shù)學(xué)眼光】星港學(xué)校比鄰園區(qū)海關(guān)大樓，星港學(xué)校九年級(jí)學(xué)生小星在學(xué)習(xí)過(guò)“相似”的內(nèi)容后，也想要利用相似的知識(shí)得海關(guān)大樓的高度，如圖1所示．小星選擇把數(shù)學(xué)和物理知識(shí)相結(jié)合利用平面鏡的鏡面反射特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造相似，如圖2所示．【問(wèn)題提出】問(wèn)題一：現(xiàn)測(cè)量得到，，．問(wèn)：海關(guān)大樓高高為多少？（用，，表示）【數(shù)學(xué)思維】但在進(jìn)一步觀察海關(guān)大樓周?chē)沫h(huán)境之后，小星發(fā)現(xiàn)由于條件限制，海關(guān)大樓的底部不可到達(dá)，所以無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量海關(guān)大樓底部到平面鏡的距離，如圖3所示，在老師幫助下小星進(jìn)一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然無(wú)法測(cè)量平面鏡到海關(guān)大樓底部的距離，那就將這部分用其他長(zhǎng)度來(lái)表示，即構(gòu)造二次相似，將測(cè)量距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如圖4所示．問(wèn)題二：小星測(cè)量得到，，，，請(qǐng)你求出海關(guān)大樓的高度．【數(shù)學(xué)語(yǔ)言】問(wèn)題三：小星在求出來(lái)數(shù)據(jù)之后，上網(wǎng)查閱了資料發(fā)現(xiàn)海關(guān)大樓高度為，請(qǐng)你嘗試著分析出現(xiàn)這樣誤差的原因是什么？20．（22-23九年級(jí)上·上海崇明·期中）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度，做了如下的探索：他們根據(jù)物理中“光的反射定理”，利用一面鏡子和一把皮尺，設(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子放在距離旗桿底部（B）米的點(diǎn)E處，然后沿著直線(xiàn)后退到點(diǎn)D處，此時(shí)恰好在鏡子里看到旗桿頂部A，即．再用皮尺測(cè)得為米，觀察者目高為米．根據(jù)上述測(cè)量方案及數(shù)據(jù)，求旗桿的高度．【經(jīng)典例題六相似三角形的應(yīng)用之表格問(wèn)題】21．（23-24九年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期中）某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開(kāi)展項(xiàng)目活動(dòng)，過(guò)程如下：項(xiàng)目主題：測(cè)量學(xué)校旗桿高度問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些科學(xué)原理來(lái)測(cè)量旗桿的高度？組內(nèi)探究：由于旗桿較高，需要借助一些工具來(lái)測(cè)量，例如自制直角三角形硬紙板，標(biāo)桿，平面鏡，甚至還可以利用無(wú)人機(jī)……確定方法后，先畫(huà)出測(cè)量示意圖，然后實(shí)地進(jìn)行測(cè)量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算旗桿的高度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的部分測(cè)量方案：方案一方案二…測(cè)量工具自制直角三角形硬紙板，皮尺標(biāo)桿，皮尺…測(cè)量示意圖及說(shuō)明說(shuō)明：線(xiàn)段表示學(xué)校旗桿，小明的眼睛到地面的距離，點(diǎn)D與點(diǎn)B在同一水平直線(xiàn)上，D，B之間的距離可以直接測(cè)得，且A，B，C，D，E，F(xiàn)，G都在同一豎直平面內(nèi)，A，C，E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．說(shuō)明：線(xiàn)段表示學(xué)校旗桿，小亮的眼睛到地面的距離，標(biāo)桿豎立位置點(diǎn)F與點(diǎn)B，D在同一水平直線(xiàn)上，D，F(xiàn)，B之間的距離都可以直接測(cè)得，且A，B，C，D，E，F(xiàn)都在同一豎直平面內(nèi)，A，C，E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．測(cè)量數(shù)據(jù)D，B之間的距離16.8mD，B之間的距離16.8m…的長(zhǎng)度0.50mD，F(xiàn)之間的距離1.35m的長(zhǎng)度0.75m標(biāo)桿的長(zhǎng)度2.60m……根據(jù)上述材料，請(qǐng)你選擇一個(gè)方案，求出學(xué)校旗桿的高度．22．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）8月20日，《黑神話(huà)：悟空》正式在全球上線(xiàn)，不僅迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫(huà)等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話(huà)：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)，某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，測(cè)量過(guò)程見(jiàn)下表．主題跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度測(cè)量方案及示意圖測(cè)量步驟步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)D處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端C確定的直線(xiàn)交水平于點(diǎn)Q，測(cè)得米；步驟2：將標(biāo)桿沿著的方向平移到點(diǎn)F處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端E確定的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)P，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）(1)嘉嘉發(fā)現(xiàn)當(dāng)米時(shí)，輕松的就算出飛虹塔的高度，請(qǐng)你按嘉嘉的發(fā)現(xiàn)條件，計(jì)算飛虹塔的高度．(2)依據(jù)嘉嘉方法的啟發(fā)，請(qǐng)你根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度．23．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）近期《黑神話(huà)：悟空》正式在全球上線(xiàn)，迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，《黑神話(huà)：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)．某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，過(guò)程見(jiàn)下表．根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度AB．主題跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度測(cè)量方案及示意圖測(cè)量步驟步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)D處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端C確定的直線(xiàn)交水平BD于點(diǎn)Q，測(cè)得米；步驟2：將標(biāo)桿沿著B(niǎo)D的方向平移到點(diǎn)F處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端E確定的直線(xiàn)交直線(xiàn)BD于點(diǎn)P，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）24．（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．實(shí)踐報(bào)告如下：實(shí)踐報(bào)告活動(dòng)課題測(cè)量學(xué)校旗桿的高度活動(dòng)工具標(biāo)桿、卷尺測(cè)量過(guò)程【步驟一】測(cè)量標(biāo)桿的長(zhǎng)度；測(cè)量興趣小組成員小明的身高（地面到眼睛的高度）；【步驟二】將標(biāo)桿豎立在小明同學(xué)和旗桿之間，小明適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置，使自己、標(biāo)桿、旗桿在同一條水平直線(xiàn)上，且旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與眼睛在同一條直線(xiàn)上【步驟三】其他同學(xué)用卷尺測(cè)出小明到標(biāo)桿的距離，旗桿到標(biāo)桿的距離，并分別記錄；【步驟四】記錄數(shù)據(jù)（單位：）小明身高（地面到眼睛）180標(biāo)桿高度400小明到標(biāo)桿距離400旗桿到標(biāo)桿距離1200解決問(wèn)題根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算旗桿的高度．請(qǐng)你幫助興趣小組解決以上問(wèn)題．【經(jīng)典例題七相似三角形的應(yīng)用之三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】25．（23-24九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，把它加工成矩形零件如圖，使矩形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上．(1)若E、F是中點(diǎn)求四邊形的面積；(2)如果把它加工成矩形零件，且，求該矩形面積．26．（24-25九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）張師傅有一塊如的銳角三角形木料，其中高張帥傅想把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊、上，與交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P恰好為中點(diǎn)時(shí)，___________(2)當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求出這個(gè)零件的邊長(zhǎng)；(3)圖2，如果把這塊材料形狀改為的斜板，已知，，，要把它加工成一個(gè)形狀為平行四邊形的工件，使在上，P、N兩點(diǎn)分別在，上，且，求出平行四邊形的面積．27．（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、上，交AD于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn)時(shí)，______．(2)若矩形的周長(zhǎng)為，求出的長(zhǎng)度．28．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期中）汽車(chē)盲區(qū)是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(shí)(如圖1)，其視線(xiàn)被車(chē)體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域．預(yù)防進(jìn)入汽車(chē)盲區(qū)，能有效預(yù)防交通事故發(fā)生，提高學(xué)生避險(xiǎn)能力．小明在學(xué)習(xí)了交通安全知識(shí)后，對(duì)汽車(chē)盲區(qū)產(chǎn)生了興趣．如圖，是他研究的一個(gè)汽車(chē)盲區(qū)的示意圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)處與地面的距離為，車(chē)寬，車(chē)頭近似看成一個(gè)矩形，且滿(mǎn)足，求汽車(chē)盲區(qū)的長(zhǎng)度．【經(jīng)典例題八相似三角形的應(yīng)用之杠桿問(wèn)題】29．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目．蹺蹺板支柱的高度為米．(1)若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板的中點(diǎn)，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？(2)若吊環(huán)高度為米，在不改變其他條件的前提下移動(dòng)支柱，當(dāng)______時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上．30．（23-24九年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖①是公園蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，點(diǎn)C為橫板AB的中點(diǎn)．小明和小聰去玩蹺蹺板，小明最高能將小聰翹到1米高（如圖②）．(1)求立柱OC的高度；(2)小明想要把小聰最高翹到1.25米高，請(qǐng)你幫他找出一種方法，并解答．31．（17-18九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目（如圖），蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米．（1）若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板PQ的中點(diǎn)，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？（2）若吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動(dòng)支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移到蹺蹺板PQ的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？32．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·期中）鐵路道口的欄桿如圖，其A，B兩端到旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)C的距離分別為AC＝1.2m，BC＝15m．欄桿在水平狀態(tài)下到地面的距離CD為1.3m，欄桿繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A端下降至離地距離AE為0.9m時(shí)，求此時(shí)B端到地面的距離（BF）為多少米？【經(jīng)典例題九相似三角形的應(yīng)用之生活實(shí)際問(wèn)題】33．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書(shū)房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過(guò)小，如何放置視力表問(wèn)題”的方案，其中甲同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)方案．甲同學(xué)的設(shè)計(jì)方案圖例方案使用平面鏡成像的原理來(lái)解決房間小的問(wèn)題．如圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表（）與平面鏡（），由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過(guò)調(diào)整人的位置，使得視力表的上、下邊沿A，B發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)平面鏡的上下邊沿反射后射入人眼C處，通過(guò)測(cè)量視力表的全長(zhǎng)（）就可以計(jì)算出所需鏡長(zhǎng)．已知視力表的全長(zhǎng)，要使墻面上的鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，求鏡面長(zhǎng)至少為多少米？34．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）圭表是中國(guó)古代根據(jù)日影長(zhǎng)度變化測(cè)定季節(jié)、劃分四季和推算歷法的工具．圖1為圭表示意圖．某同學(xué)受到啟發(fā)，利用一根標(biāo)桿和一個(gè)卷尺輕松測(cè)量出學(xué)校旗桿的高度．如圖2，旗桿的影長(zhǎng)在水平地面上，將標(biāo)桿（長(zhǎng)度1米）豎直放置在影長(zhǎng)的最遠(yuǎn)端點(diǎn)A處，此時(shí)標(biāo)桿的影長(zhǎng)為．經(jīng)測(cè)量，米，米．(1)根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）(2)若該同學(xué)在操作過(guò)程中，測(cè)量完的長(zhǎng)度后，準(zhǔn)備測(cè)量的長(zhǎng)度時(shí)，發(fā)現(xiàn)卷尺不夠長(zhǎng)，又去尋找更長(zhǎng)一點(diǎn)的卷尺，半小時(shí)后回來(lái)測(cè)量的長(zhǎng)度，請(qǐng)問(wèn)這樣可以準(zhǔn)確得到旗桿的高度嗎？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．35．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】制作“”形視力表，【課題實(shí)施】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表（測(cè)試距離為米），以小組合作方式，制作變更測(cè)試距離的視力表．【課題結(jié)論】（1）如圖1，利用“”的高度與它到眼睛的水平距離之比（即）來(lái)刻畫(huà)視力．（2）大小不同的“”，只要它們這一比值（即）相同，那么用他們測(cè)得的視力就相同．【課題應(yīng)用】問(wèn)題1：根據(jù)圖2所示，水平桌面上依次放著①號(hào)和②號(hào)大小不一樣的兩個(gè)“”字，將②號(hào)“”沿水平桌面向右移動(dòng)，直至從觀測(cè)點(diǎn)看去，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上為止，其中AB是①號(hào)“”字的高度，CD是②號(hào)“”字的高度，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)證明：此時(shí)①號(hào)字“”與②號(hào)“”字測(cè)試的視力相同．問(wèn)題2：小明想制作一張測(cè)試距離為3米的“”形視力表．以圖2所示，①號(hào)“”是標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中視力為的“”字，其高度AB為，求小明在制作視力為的②號(hào)“”字時(shí)，②號(hào)“”的高度CD應(yīng)為多少?（、、在一條直線(xiàn)上，、、在一條直線(xiàn)上）36．（22-23九年級(jí)上·上海寶山·期中）學(xué)習(xí)了相似三角形知識(shí)后，小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自制的直角三角形紙板測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹(shù)的高度．已知三角形紙板的斜邊長(zhǎng)為0.5米，較短的直角邊長(zhǎng)為0.3米．

(1)小麗先調(diào)整自己的位置至點(diǎn)P，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)位置記為A、B、C（如圖①），斜邊平行于地面（點(diǎn)M、P、E、N在一直線(xiàn)上），且點(diǎn)D在邊（較長(zhǎng)直角邊）的延長(zhǎng)線(xiàn)上，此時(shí)測(cè)得邊距離地面的高度為1.5米，小麗與古樹(shù)的距離為16米，求古樹(shù)的高度；(2)為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動(dòng)自己的位置至點(diǎn)Q，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)的新位置記為（如圖②），使直角邊（較短直角邊）平行于地面（點(diǎn)M、Q、E、N在一直線(xiàn)上），點(diǎn)D在斜邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且測(cè)得此時(shí)邊距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動(dòng)了多少米？【經(jīng)典例題十相似三角形的應(yīng)用之古代問(wèn)題】37．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．小南利用“矩”可測(cè)量大樹(shù)的高度．如圖，通過(guò)不斷調(diào)整自己的姿勢(shì)和“矩”的擺放位置，使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線(xiàn)上，已知“矩”的兩邊長(zhǎng)分別為，，小南的眼睛到地面的距離為，測(cè)得，求樹(shù)高．38．（2024·陜西榆林·一模）龍是中國(guó)等東亞區(qū)域古代神話(huà)傳說(shuō)中的神異動(dòng)物，是中華民族最具代表性的傳統(tǒng)文化之一．恰逢龍年，政府部門(mén)在某廣場(chǎng)上做了一個(gè)龍形雕像．某數(shù)學(xué)興趣小組想要利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量該雕像的高度．如圖雕像的高度為，在地面上取兩點(diǎn)，分別豎立兩根高均為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且雕像，標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，在一直線(xiàn)上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，三點(diǎn)也在一條直線(xiàn)上．已知在同一直線(xiàn)上，，，，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出該龍形雕像的高度．39．（23-24九年級(jí)上·甘肅天水·階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且東塔、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，在一直線(xiàn)上；從標(biāo)桿后退到處（即），從處觀察點(diǎn)，三點(diǎn)也在一直線(xiàn)上，且在同一直線(xiàn)上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．40．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）大雁塔位于陜西省西安市城南大慈恩寺內(nèi)，是全國(guó)著名的古代建筑，被視為古都西安的象征，小明和小華決定帶著皮尺用自己學(xué)到的知識(shí)測(cè)量大雁塔的高度．恰逢雨后天晴，兩人用如下方法測(cè)量：如圖，小明半蹲在地上，小華站在小明和大雁塔之間，兩人適當(dāng)調(diào)整位置，當(dāng)小明的眼睛A、小華的頭頂C、塔頂E剛好在同一條直線(xiàn)上時(shí)，兩人分別標(biāo)注自己的位置B，D，用皮尺測(cè)出，且小華剛好在距離自己的一小灘水（記為M）中看到了塔頂E（點(diǎn)B，D，M，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上）．小華身高，小明蹲地觀測(cè)時(shí)眼睛與地面之間的距離．請(qǐng)根據(jù)提供的相關(guān)信息，求大雁塔的高（結(jié)果精確到）．

【經(jīng)典例題十一相似三角形的應(yīng)用之最值問(wèn)題】41．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，在地面．上形成的影子為（不計(jì)折射），．

(1)在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說(shuō)明CD的長(zhǎng)度不變．(2)桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且，，，桌面的高度為．在點(diǎn)O與所確定的平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得的長(zhǎng)度最大．①畫(huà)出此時(shí)所在位置的示意圖；②求的長(zhǎng)度的最大值．42．（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）泰勒斯是古希臘時(shí)期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明．泰勒斯曾通過(guò)測(cè)量同一時(shí)刻標(biāo)桿的影長(zhǎng)，標(biāo)桿的高度，金字塔的影長(zhǎng)，推算出金字塔的高度．(1)這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的________

(2)應(yīng)用：如圖，是公園的一圓形桌面的主視圖，表示該桌面在路燈下的影子；則表示一個(gè)圓形的凳子．①請(qǐng)你在圖中標(biāo)出路燈O的位置，并畫(huà)出的影子（要求保留畫(huà)圖痕跡，光線(xiàn)用虛線(xiàn)表示）；②若桌面直徑和桌面與地面的距離均為，測(cè)得影子的最大跨度為，求路燈O與地面的距離．

43．（22-23九年級(jí)上·四川巴中·階段練習(xí)）有一塊直角三角形木板如圖所示，兩直角邊長(zhǎng)為：

．根據(jù)需要，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形木板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，應(yīng)怎樣裁剪才能使正方形的面積最大？44．（23-24八年級(jí)下·浙江·期末）如圖1，是一張等腰直角三角形