2024屆山東省名?？荚嚶?lián)盟高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

I.已知全集^=k61\1卜一3區(qū)3},集合4={2,4},則()

A.{2.4}B.{1,3,5,6}

C.{0,123,5.6}D.{0,1,3,5,6}

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式確定集合U,然后由補(bǔ)集定義可得.

【詳解】由卜-3區(qū)3得一34x—3<3,即0?x<6,

所以U={0.123,4,5,6},

所以。4={0,1,3,5,6}.

故選：D.

2.復(fù)數(shù)手絲在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

3-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)曾=皿，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義從血求解.

Il+IOi=（U+10i）（3+2i）=]"

【詳解】因?yàn)?/p>

3-2i（3-2i）（3+2i）

所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(L4),位于第一象限.故A項(xiàng)正確.

故選:A.

2

3.已知函數(shù)"x)=x+-,“：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,s),q：函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,xo),則()

A.〃是9的充分不必要條件B.〃是9的必要不充分條件

c.〃是q的充要條件D.〃既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可結(jié)合充分不必要條件的定義判斷.

【詳解】函數(shù)=在/)，("+8)單調(diào)遞增，在卜技0),(。，夜)單調(diào)遞減，

若函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?,3），則函數(shù)/（X）的值域?yàn)椋?,”）,

反之不成立，例如若函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?1）1［2,”），函數(shù)〃力的值域也為［3,芹）,

故選:A.

7C=與,貝hos（2a+與）的值為（）

4.已知sin—+a

（6

B-11

AC.D.一

-i33

【答案】B

【分析】利用倍角公式和誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】c兀

cosf2a+^7r=cos2a+—+TI2a+-

33J

=2s斗+升15

9

故選：B.

5.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且生,生成等差數(shù)列，若q=1,則&=（）

?；??；蛞?/p>

A.15B.5C.15D*

OO.8

【答案】C

【分析】首先由等差數(shù)列的性質(zhì)求得夕=2,再利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求答案.

【詳解】由題意可得又｛q｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列.設(shè)公比為9,

3

2

-a｝q=-ay+a^,即2/—31一2二0,所以（2q+l）（q_2）=0

11_o4

解得9=一彳（舍），夕=2,所以'=二=15?

21—2

故選：C.

6.已知函數(shù)=為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則。的取值范圍是()

a\x>]

A.(3)B.牌C.TD.以

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及一次函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

4^-1>0

I3

【詳解】?,函數(shù)/(x)為R上的增函數(shù)，...0<4<1,解得工<。工彳，

故選:D.

7.在.八5。中48=24。,/847的平分線4。交邊8。于點(diǎn)0,記AC=a,A。=〃，則A3=()

A.3a-2bB.-2a+3bC.3a+2bD.2a+3b

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題干條件，結(jié)合三角形的面積公式可得"=2AC,再結(jié)合向量的線性運(yùn)算求答案.

【詳解】在.ABC中A8=2AC,ABAC的平分線交邊AB于點(diǎn)D,

所以4人8?人。sin芻絲=2x14C?人Osin幺蛆，所以AB=2AC,

2222

2221

AD=AB+BD=AB+-BC=Al^-(AC-AIi)=-AC+-AB,

即AB=-2AC+3AD=-2a+勸，

故選：B.

8.定義在(0,+”)上的可導(dǎo)函數(shù)/(力，滿足/+也”=空，且/⑻一,若

xx'2e

〃=/已),〃=/'警,c=/(ln>/2),則。也c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得/（X）在（0，*）上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷的大

小關(guān)系.

【詳解】由已知可得：//。）+2加工）=加，令g（x）=V/（x）,

則g'(x)=?7'(x)+2M'(x)=l虱，且

?。?等尸（3xg'(x)-2g(x)_%lnx-2g(%)

人

再令人(x)=xlnx-2g(x),則*(x)=l+lnx-2g[x)=l-Inx,

.?.當(dāng)xe(0,e)時(shí),//(x)>0,/?(力為增函數(shù);

當(dāng)x?e,+<x>)時(shí),"(力<0,人(力為減函數(shù);

/./?(.r)</?(e)=e-2,g(e)=e-2c2/(c)=0,

.?./（入戶0在（0,十8），恒成立；\/（x）在（0,十a(chǎn)）_L為減函數(shù);

T-,1Inee>/21n2ln&,n-ln2

又因?yàn)橐欢籎——=^^,in>/2=-

ee4V22

故令。("=蛆,d(x)=1尸,當(dāng)xe(0,e)時(shí)，d(x)>0,q(x)為增函數(shù):

XX

1.rzV21n2.,

—>In\/2>-----；?a<c<b

e4

故選：C

二、多選題

/\

9.己知函數(shù)/（.r）=Asin（ox+。）A＞（）⑷＞0,則＜^的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

乙）

B.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線1=-三對(duì)稱

6

C.函數(shù)/（x）在e，,上單調(diào)遞減D.將函數(shù)/（二）圖象向左平移看個(gè)單位所得圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱

【答案】AC

【分析】根據(jù)題中給定圖象可得函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

判斷即可.

【詳解】由圖可知人=2?=?一二=；,所以丁=蕓=兀，又。>0,所以刃=2,

43124\co\

則/（工）=2sin（2x+°）,

將點(diǎn)值,21代入得：2sin?+*]=2,所以m+Q=3+2E,Z€Z,

k12）Vo）62

又|夕|<5，所以e=S，所以f（x）=2sin（2x+g,

對(duì)于A,因?yàn)?（0）=2sin]=Vi,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?Jl）=2siM-g+g1=0,取不到最值，所以不是對(duì)稱軸，故B不正確；

、6）\33/

,.一.一、，71571-712兀77tr兀3兀，

對(duì)于C,因1為xwWTT，所以2工+三￡-?—<=[—?-]>

_612J3L36」22

所以函數(shù)?。┰?苗上單調(diào)遞減，故C正確：

對(duì)于D,將函數(shù)/（力圖象向左平移J個(gè)單位，

0

可得函數(shù)y=2sin12（x+E）+；=2sin（2x+與）

當(dāng)x=0時(shí)，2sin（2x0+g）=sin與，

取不到最值，故不關(guān)于V軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.已知數(shù)列｛q｝是公比為4的等比數(shù)列，前，，項(xiàng)和為S”.數(shù)列也J是公差為"的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)

和為7；,（〃eN）下列說法錯(cuò)誤的有（）

A.7；一定是關(guān)于〃的二次函數(shù).

B.若“m，則〃2+〃=p+夕.

C.4>0,“>1是也｝為單調(diào)遞增數(shù)列的充分不必要條件.

D.數(shù)歹U｛q+q出｝一定是等比數(shù)歹U.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的概念及性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)d=。時(shí)，，是關(guān)于〃的一次函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：當(dāng)"=0,5為定值，所以+〃,=%+%不能確定〃?+〃=〃+4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：當(dāng)％>0,夕力則｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列時(shí)也可能4v0,

C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：當(dāng)"=-1時(shí)，q+q川=0,數(shù)列｛/+a,山｝不是等比數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：ABD.

11.若實(shí)數(shù)滿足d+從一皿協(xié)=9,meR,則()

A.當(dāng)，〃=1時(shí)，/+尸有最大值B.當(dāng)〃?=3時(shí)，他有最大值

C.當(dāng)〃?=1時(shí)，有最小值D.當(dāng)〃?=3時(shí)，/+從有最小值

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基本不等式求最值后判斷.

【詳解】當(dāng)〃?=1時(shí)，/-血=9,/+〃=9+〃/2K9+"",/+//￡18,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)

2

成立，/+尸有最大值，最大值為18,選項(xiàng)A正確；

當(dāng)初=3時(shí)，/+從_3彷=9，設(shè)而=%(&>()),則"十層一3〃〃=9化為

/+彳-32=9,1—(9+3&)/+二=o,因?yàn)锳=(9+3k)J軟2=81+5必+55>0,kwR.所以方

程”-(9+3k)/+&2=o有兩不等實(shí)根乙+q=9+3氏，〃2=公，只要9+3左>0,則。>0心>。，即方

程一一(9+3攵)/+公=。有兩個(gè)不等正根，相應(yīng)的關(guān)于。的方程"一(9+34)/+&2=0都有實(shí)數(shù)解，所

以大取任意大的正實(shí)數(shù)，都存在公力使之成立，從而A即他沒有最大值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)，〃=1時(shí)，a2+b2-ab=9,(a+b)~=9+9+—(?+/?)',(?+/?)'<36,-6<a+b<6,

當(dāng)且僅當(dāng)。=人=3時(shí)。+/?=6,〃=/?=-3時(shí)。+〃=-6,。+8有最小值，最小值為一6,選項(xiàng)C正確；

當(dāng)m=3時(shí)，a2+b2-3ab=9,a2+b2=9+3ab>9+3+/2葭，

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)〃=-/?時(shí)等號(hào)成立，/+/有最小值，最小值為彳，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=a+i)e\g(x)="L,則下列結(jié)論正確的是()

e

4'

A.函數(shù)g(x)的值域是oq

B.F(x)=f(x)-xex-hvc-2,貝

C.若G("二?:;;,則方程e2(G⑼2-伊+律3|+1=()共有5個(gè)實(shí)根

D.不等式g(x)-ar+〃vO在(-8,1)上有且只有3個(gè)整數(shù)解，則〃的取值范圍是[Ye',-%)

【答案】BD

【分析】A選擇利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可確定值域，需要注意當(dāng)x-y時(shí)，g*)T。且

g(x)>0；B選項(xiàng)需要設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可確定答

案；C選項(xiàng)，方程e2.[G(x)T—(e2+l)|G⑸+l=[e21G("卜|]口6㈤-1]=0,所以兩根為G(x)|=l

或|G(x)|=l，再利用導(dǎo)數(shù)研究|G(x)|的圖象，結(jié)合圖象可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)：D選項(xiàng)，將原不等式化為

e

二-。>0,令M"二三1-4,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定

ee

力")>0在(-8,1)上的3個(gè)整數(shù)解為-2,一1。再構(gòu)造不等式組求答案即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)小)=(1)1/3=￡+413=_"1)0=3),

7eA'ereT

當(dāng)X€(YO,1)和(3,+<?)時(shí),g'㈤<Qg(x)為減函數(shù)；

當(dāng)X?L3)時(shí),g'(x)>o,g(x)為增函數(shù)：

當(dāng)XT+0O時(shí)，g*)-0且g*)>(),而g(D=O,

如下圖所示：

所以以幻值域?yàn)閇。，+8],選項(xiàng)A錯(cuò)；

對(duì)于B,由已知得產(chǎn)(x)=e'—lru-2,r(x)=er--,

X

顯然F(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，Jir(l)=e-l>0,92<0,

所以訓(xùn)咆,)使/⑷=e"-；=0,

當(dāng)x?O,x°)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)不?%,+00)時(shí),F(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增；F(x)>F(x0)=^-lar0-2=—+^-2,

xo

結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，,+%-2>。，選項(xiàng)B正確；

%

對(duì)于C,方程02.[6“)了_付+1)|6(力|+1=卜22(力卜1][|63卜|]=0,所以兩根為網(wǎng)工)=1或

|G(刈=5,

因?yàn)?(x)=(R+l)e",所以r(x)=(x+2)e”,

明顯/'(x)=(x+2)e，為增函數(shù)，且/'(-2)=0,

所以/(工)=(1+1戶在(-?),-2)單調(diào)遞減，在(-2,位)單調(diào)遞增，

所以“x%n=-4,且丫一Y時(shí)，且/(X)VO，

e

41414

而，(-1)=0,^(3)=-r=-rx->—,^3)=F<1,^(0)=/(0)=l,

ee-ee'e

所以函數(shù)|G(x)|的圖象如下:

所以|G（x）|=l有1個(gè)根，|G（X）|=4■有5個(gè)根，

所以方程e2.[G（x）T-（e2+l）|G（x）|+l=[e2|G（x）[-l][|G（x）|-f|=0有6個(gè)根，選項(xiàng)C項(xiàng)錯(cuò)誤:

對(duì)于D,不等式g（x）-or+〃=（"J）--￡7（x-l）＜0?

e

當(dāng)x＜l時(shí)，不等式可化為二-。＞0,

e

令〃（力=2^■—a,則=

ee

當(dāng)x＜l時(shí),/f（x）＞0,力㈤在（Y0,l）上為增函數(shù),

則〃。）＞0在（-8,1）上的3個(gè)整數(shù)解為-2,—1,0,

>o

,1^（-2）＞04e-

解得-4e；＜〃＜_?，，故詵項(xiàng)D正確.

O

3）與0,4e--<

故選：BD.

【點(diǎn)瞄】關(guān)鍵點(diǎn)睛：注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增減區(qū)間，進(jìn)而可確定函數(shù)

的大致圖象，再結(jié)合圖象分析即可.

三、填空題

13.已知函數(shù)/（"=、2+2/（；1+山，則/（x）在點(diǎn)（1J⑴）處切線方程為.

【答案】3x+y+2=0

【分析】對(duì)/（工）求導(dǎo)可得/'（6計(jì)算出/'（；）得/（力，再根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】對(duì)?。┣髮?dǎo)可得?。?2%+2《￡|+3則喂卜+2《￡|+2,

（1、

解得尸-=-3?

/./(JI)=X2-6x+lnx,/./(l)=-5,

r(6=2x-6+Lr⑴=-3,

.X

???切線方程為y+5=-3(x-l),整理得3x+.y+2=0.

故答案為：3x+y+2=0.

14.函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，且/(x+1)為偶函數(shù)，〃x+2)是奇函數(shù)，當(dāng)」則］時(shí),

/W=3'-l,則“2023)=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)題意，得到/(1)以x=l為對(duì)稱軸，以(2,0)為對(duì)稱中心，進(jìn)而推得根(x)=f(x+4),

得到了(“是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合題意和/(2023)="3)=-〃1),即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x+1)是偶函數(shù)，且/(x+2)是奇函數(shù)，

可得函數(shù)/以x=1為對(duì)稱軸，以(2,0)為對(duì)稱中心，

即“X)=/(2r)且f(x)=-f(4-x),所以"2-X)=-/(4T),

即“x—2)=—/(x—4),可得/(x)=—/(x+2),所以/(x)=/(x+4),

所以函數(shù)“力是以4為周期的周期函數(shù)，

又因?yàn)楫?dāng)工?0』時(shí)，/(x)=3x-l,可得f(2023)=〃3)=寸⑴=-<3—)7.

故答案為：-2.

15.在145C中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為己知cos2C-cos*+sin2A=siMsin4=g,_0.1ABC

的面積為G，則邊。的值為.

【答案】限

【分析】根據(jù)正余弦定理和三角形面積公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閏os?C-cos'8+sin2A=sinAsinB，

所以1-sin2C-(l-sin2fi)+sin2A=sia4sinfi,

即sin2B+sin2A-sin2C=sirL4sinB,

由正弦定理角化邊得加+/—02=",

所以csC="+"-(=-=—,C<=(0.7i)=>C=—,

lablab2v73

b

由正弦定理而=荷=菽'

ab_c2q

所以即了=一方，化簡得。2=：時(shí),

sinXsinBsin2Csin-2

23

又J^C的面積為SABC=~absinC=6n=4工2=6

解得c=卡.

故答案為：y/6.

在一中，邊上的兩條中線分別為

16.ABCcosN84C=J,8C,ACAM,BN,若AM_L8N,則

6

AC

益二-----*

【答案】|3

b

【分析】根據(jù)向量的中線公式及向量垂直化簡，可得關(guān)于一的方程,即可得解.

a

【詳解】如圖，

B

設(shè)AB=a,AC=b>

則AM=為+班8N=%〃，

AMA.BN,..AMBNuO,

???；（"叭1。）=。，

化簡得2了=0,即/一刖,一2同=0,

力\b\3b4

--2=0,解得片=/或京=_§（舍）,

AC_3

~A13~2,

a

故答案為：-

四、解答題

17.在丁記。中，角A8,。所對(duì)的邊分別為aec,已知上空+駕=1,且。=2&,c>?>〃.

bca

⑴求稅的值；

（2）若八8C的面枳S=",求〃,仁的值.

【答案】（1）反=8

⑵力=2,c=4

【分析】（1）結(jié)合余弦定理，化簡整理得到從的值.

（2）先利用三角形面積公式得sin八的值，再結(jié)合題意利用余弦定理得。+c=6,進(jìn)而列方程組得到

的值.

聒*、如?a1+C1-b1廠a2+b2-C2"、cosBcosC1

【詳解】（1）由題意，將cosB=--------------,cosC=--------------代入一■—+-----=一,

lac2abbca

a2+c2-b2b2+a2-c21.2a21匚匚”、ir^\2?

---------+----------=-,即Hr-----二一，所以力c=a-=2。2=8t.

2abe2abca2abca''

故be=8.

（2）由于S4叱=；心in人=4sin人=不,：,sin人=日,

3

又<,c>a>a.?.A為銳角,即cosA=—.

4

?cosAj一3反=（"4-24=3,

2hc2bc164

be=8\b=2

所以結(jié)合解得c=4

b+c=6

故8=2,0=4.

18.數(shù)列｛4｝中,q=lq“=2（：+l）%.

（I）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

⑵求｛《,｝前〃項(xiàng)和S..

【答案】（1）4=〃2〃

⑵S'=（〃—1）2+1

【分析I(1)根據(jù)累乘法或者利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比通項(xiàng)的求解即可.

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法即可結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】(1)方法1：?.-4包=亞由

an〃

.?.當(dāng)2,%=22=2"T2X3XX—=/r2n-1,:=〃.2n

a}qa2an_x\2〃-1

又〃=I也適合上式，，4=，?2""IwN)

方法2：=今=2.??[%】為公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

〃+1nn

...%=2"T,...a“=〃2"T

n

(2)由(1)知,5.=1?2°+2々+3?22+?,+〃?2”T①

,23

25/I=1-2+2-2+3-2+十〃?2”②

1一2”

①一②，-S”=l+2i+22++2"—?2"=--------n?2"=2"-1-〃2.?.S”=(〃—1>2"+1

1-2

19.已知函數(shù)/(x)=x3+2r2_ar+2(aeR).

(1)若函數(shù)y=/(9在上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵若函數(shù))，=/(X)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【答案】(1)(-8,7]

【分析】(1)根據(jù)題意可得r(x"O在x?l,+e)恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值求解即可；

(2)題意等價(jià)于V+2.d一如+2=〃(1—“)只有一個(gè)根，即f+2x%2=.只有一個(gè)根，令

〃(同=丁+2?+2,所以〃(力的圖像與y=。的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出〃(刈的單調(diào)性和

極值，可得解.

【詳解】(1)由〃力=丁+2?—奴+2,則/'(x)=3f+4x—a,

因?yàn)楹瘮?shù)＞=/(X)在上單調(diào)遞增，

所以/'(x)=3d+4x—a20在xe[1,轉(zhuǎn))恒成立，

即aS(3x2+

mm

而），=3/+4工在工?1,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，（3/+對(duì)哂=7,

所以〃的取值范圍（田,7].

（2）/（力=丁+2?一奴+2與y=a（l-x）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即f+2?一以+2=。（1一k）只有一個(gè)根，x3+2k+2=a只有一個(gè)根,

令人（力=爐+2/+2,所以〃（力的圖像與丁=〃的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，

//（X）=3X2+4X,令"（X）>0：解得或X>0,

/、4

令"（x）vO,解得

所以力（力在（-8，-撲。，+8）上單調(diào)遞增，（?。ǎ┥蠁握{(diào)遞減，

所以M”）械大值=《一撲景〃（x）極小位=M°）=2,

又因?yàn)間）的圖像與…的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以〃€（-8,2）I償，+8）.

20.在4BC中，角A,及。所對(duì)的邊分別為a〃，c,〃?=（反a）,〃=cos^￡cos（冷+A，，且.

（1）若c=4,b=幣a,求.工AC的周長；

（2）若8M=2M41CM卜卡，求a+c的取值范圍.

【答案】（1）6+2將

（2）（76,714]

【分析】（1）根據(jù)題意由向量平行并利用正弦定理可得B=亍，由余弦定理可解得。=2,可得周長

為6+2行；

（2）利用正弦定理以及邊的比例關(guān)系可得c=3&sina.a=-Visina+瘋osa,再由輔助角公式以及

先的范圍即可求得4+c的取值范圍為（疝丁用.

【詳解】(1)因?yàn)椋?//；[,故比os]+A)=KOS與￡

A+C

由正弦定理得sinBsin4=siii4cDS-----

2

V,.,八11,1'r?A+C冗-B.B

乂sinA工0,則sinB=cos-----=cos-----=sin—,

222

….BB.B

即2sin—cos—=sin—,

222

又8?0,兀)，而sin^HO,

故COS'=5，所以可■得3=—；

由余弦定理得,b2+c2—laccosB，

即7/=/+]6_2ax4x(—整理得獷―2a—8=0,

解得。=2或(舍去)，b=2近,

故以6C的周氏為6+2X/7.

(2)如下圖所示:

設(shè)NBCM=ae0,-,NBMcJ-a

(3J3

由正弦定理得"=.笑=考

sinasinNBMCsinB

可得。=30sina,a=—Vasina+V^cosa,

所以a+c=2>/2sintz+抵cosa=V^sin(a+°),

甘小.夜T2>/7G(兀吟

其中sin0=---,cos0=----,tan^=——,(pe.一,一,

772\64J

一,八兀兀

y,0<a<—,:.(p<a+(p<—+(p,

又?口w+，則當(dāng)。十。一9時(shí)，。十。取得最大值日"，

64322

▽.（兀1.n.兀&I12夕35

乂sin（p+—=sin0cos—+cos0sin—=---x—+----x——=----,

V3J33727214

斤N.（冗）3向.x/2?

所以sin（〈+§J=]4>sin°=-y,

可得〃+c的取值范圍為（血。困

21.已知數(shù)列｛4｝,｛"｝,滿足4=2且點(diǎn)&,3）（〃￡^）在函數(shù)"力=乂％+￡|的圖像上，且

b“=W

⑴證明：｛1里.在｝是等比數(shù)列.并求

3

（2）令％=4“-1,設(shè)｛%｝的前〃項(xiàng)和S“，證明S”<Q.

【答案】（1）證明見解析，2=3戶

（2）證明見解析

【分析】（1）先求出，從而求得〃向=J，即必，從而求解.

21%）（可力

（2）由（1）得。“二一一，求出S”，從而求解.

3--1

【詳解】（1）因?yàn)椋ǚ?%）在函數(shù)f（x）=；1+J上，

所以：%=小1，，+工1，…,ka+\

即：%=",

且九=^|=3>0,可知仇,0,

4一1

兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，log?也+I=2唾3%

又么=3,log3^=1,

所以：｛log3“｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

所以：陛3包=2"\

2

所以：hn=3.

又因?yàn)椋骸?1,

S"=q+C?+…+%vq+；q+(§q++(；,q

=駕斗叩<"

1-12[⑴[2

3

即證：s“q3.

22.已知函數(shù)/(x)=，or2+(l+2a)x+21nxMwR.

(1)討論/(另的單調(diào)性；

(2)若方程〃x)=e3+gad有兩個(gè)不相等的實(shí)根外，々，證明：2xI-A2<e(x1+A2)

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，分情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而討論原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)由已知可將方程/(x)=e加+g加轉(zhuǎn)化為網(wǎng)+2hvc=e"+2(—詞,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'+lx,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可得a=Lln,，所以毛，居是方程。=Lln>!■的兩個(gè)實(shí)根，即,，,是方

XX'XX占S

程。=『山的兩個(gè)實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)M"=x-lnx,判斷單調(diào)性，令〃?=’,〃=■!■,不妨設(shè)〃Y〃，

X\X2

i2