2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽生態(tài)意識(shí)試卷一、選擇題（共6題，每題8分，共48分）1.碳排放核算模型某工廠采用新能源轉(zhuǎn)型方案，每月碳排放量$C(t)$（單位：噸）與轉(zhuǎn)型時(shí)間$t$（單位：月）的關(guān)系滿足$C(t)=1000\cdote^{-0.2t}+200$。若要使月排放量降至轉(zhuǎn)型前的30%，則至少需要轉(zhuǎn)型的時(shí)間（精確到整數(shù)月）為（）（參考數(shù)據(jù)：$\ln\frac{10}{3}\approx1.204$）A.6個(gè)月B.7個(gè)月C.8個(gè)月D.9個(gè)月2.生態(tài)保護(hù)區(qū)規(guī)劃某自然保護(hù)區(qū)為矩形區(qū)域，長(zhǎng)$10$公里，寬$6$公里，現(xiàn)需在內(nèi)部劃分一個(gè)圓形核心區(qū)與環(huán)形緩沖區(qū)。若核心區(qū)面積與緩沖區(qū)面積之比為$1:2$，則核心區(qū)半徑為（）A.$\sqrt{\frac{20}{\pi}}$公里B.$\sqrt{\frac{30}{\pi}}$公里C.$\sqrt{\frac{40}{\pi}}$公里D.$\sqrt{\frac{50}{\pi}}$公里3.生物種群動(dòng)態(tài)某瀕危鳥(niǎo)類種群數(shù)量$N(t)$（單位：只）滿足Logistic增長(zhǎng)模型：$\frac{dN}{dt}=0.05N(1-\frac{N}{K})$，其中環(huán)境容納量$K=1000$。若$t=0$時(shí)種群數(shù)量為$200$，則$t=20$時(shí)種群數(shù)量最接近（）A.500B.632C.762D.8904.可再生能源優(yōu)化某社區(qū)同時(shí)使用太陽(yáng)能與風(fēng)能供電，太陽(yáng)能板日均發(fā)電量$S$（單位：kWh）服從正態(tài)分布$N(20,4^2)$，風(fēng)力發(fā)電機(jī)日均發(fā)電量$W$服從$N(15,3^2)$，且$S$與$W$相互獨(dú)立。若社區(qū)日均耗電量為$30$kWh，則供電量不足的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6827$）A.0.0228B.0.0668C.0.1587D.0.31745.垃圾分類效率某小區(qū)推行“四分類”垃圾桶，投放正確概率如下表：垃圾類型可回收物廚余垃圾有害垃圾其他垃圾正確概率0.80.70.90.6若隨機(jī)投放一袋廚余垃圾和一袋有害垃圾，至少有一袋投放正確的概率為（）A.0.97B.0.93C.0.87D.0.836.森林碳匯能力一片森林中樹(shù)木胸徑$D$（單位：cm）與碳儲(chǔ)量$M$（單位：kg）的關(guān)系為$M=0.05D^2+0.1D$。若樹(shù)木年均生長(zhǎng)使胸徑增加$2$cm/年，則胸徑為$20$cm時(shí)碳儲(chǔ)量的年增長(zhǎng)率為（）A.10%B.15%C.20%D.25%二、填空題（共6題，每題8分，共48分）7.濕地水位調(diào)控某濕地水位$h$（單位：m）隨季節(jié)變化，滿足$h(t)=2+\sin(\frac{\pi}{6}t)$，其中$t$為月份（$t=1$對(duì)應(yīng)1月）。則一年中水位高于$2.5$m的月份數(shù)為_(kāi)_______。8.新能源汽車?yán)m(xù)航某電動(dòng)汽車電池容量$60$kWh，續(xù)航里程$L$（單位：km）與平均速度$v$（單位：km/h）的關(guān)系為$L(v)=\frac{60v}{0.01v^2+0.5v+20}$。則最大續(xù)航里程為_(kāi)_______km。9.瀕危物種保護(hù)某物種棲息地被劃分為$5$個(gè)區(qū)域，若每個(gè)區(qū)域的生存概率為$0.6$，且區(qū)域間相互獨(dú)立，則至少有$3$個(gè)區(qū)域能維持生存的概率為_(kāi)_______（用分?jǐn)?shù)表示）。10.生態(tài)農(nóng)業(yè)循環(huán)某農(nóng)場(chǎng)采用“稻-魚(yú)-鴨”共生系統(tǒng)，水稻產(chǎn)量$R$（單位：kg/畝）與魚(yú)投放量$x$（單位：尾/畝）的關(guān)系為$R(x)=500-0.1x^2+10x$，則使水稻產(chǎn)量最大的魚(yú)投放量為_(kāi)_______尾/畝。11.碳足跡計(jì)算某人每日碳足跡由交通、飲食、住宿三部分構(gòu)成，權(quán)重分別為$0.4$、$0.3$、$0.3$。若交通碳足跡$X\simU(2,8)$（均勻分布），飲食$Y\simN(3,1)$，住宿$Z=2$（常量），則日均碳足跡的期望為_(kāi)_______。12.植樹(shù)造林規(guī)劃在直角坐標(biāo)系中，某林場(chǎng)區(qū)域由$y=x^2$、$y=0$、$x=3$圍成，現(xiàn)在此區(qū)域內(nèi)植樹(shù)，每棵樹(shù)占地$1$m2，則最多可植樹(shù)________棵（精確到整數(shù)）。三、解答題（共3題，共74分）13.生態(tài)保護(hù)區(qū)網(wǎng)絡(luò)（24分）某自然保護(hù)區(qū)劃分為$n$個(gè)片區(qū)，各片區(qū)通過(guò)生態(tài)廊道連接，形成無(wú)向圖$G$。已知：（1）任意兩個(gè)片區(qū)之間最多有一條廊道；（2）刪除任意一條廊道后，$G$仍連通；（3）廊道總數(shù)為$n+2$。（Ⅰ）證明$G$中存在至少$4$個(gè)片區(qū)的度數(shù)為$3$；（Ⅱ）若$n=6$，求$G$的非同構(gòu)連通分支數(shù)。14.污染物擴(kuò)散模型（25分）某河流中污染物濃度$C(x,t)$（單位：mg/L）滿足擴(kuò)散方程：$$\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}-v\frac{\partialC}{\partialx}$$其中$D=0.5$m2/s為擴(kuò)散系數(shù)，$v=1$m/s為水流速度。初始時(shí)刻$t=0$時(shí)，原點(diǎn)$x=0$處有$Q=1000$mg污染物瞬時(shí)釋放，即$C(x,0)=Q\delta(x)$（$\delta$為狄拉克函數(shù)）。（Ⅰ）求$C(x,t)$的解析表達(dá)式；（Ⅱ）若下游$x=100$m處水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)為$0.1$mg/L，求污染物濃度超標(biāo)的持續(xù)時(shí)間。15.碳中和策略優(yōu)化（25分）某企業(yè)計(jì)劃通過(guò)節(jié)能改造（成本$C_1=2x^2$萬(wàn)元，減排量$x$萬(wàn)噸）與碳匯購(gòu)買（成本$C_2=3y$萬(wàn)元，減排量$y$萬(wàn)噸）實(shí)現(xiàn)碳中和目標(biāo)（$x+y\geq10$）。（Ⅰ）求最低總成本及對(duì)應(yīng)的$x$、$y$；（Ⅱ）若碳匯價(jià)格上漲至$4$萬(wàn)元/萬(wàn)噸，且節(jié)能改造最大減排量為$5$萬(wàn)噸，重新優(yōu)化方案；（Ⅲ）設(shè)$x$、$y$均為整數(shù)，求（Ⅱ）中總成本的期望值（假設(shè)$x$在可行域內(nèi)均勻分布）。四、附加題（共2題，每題50分，不計(jì)入總分）16.生物多樣性指數(shù)定義生態(tài)系統(tǒng)多樣性指數(shù)$H=-\sum_{i=1}^kp_i\lnp_i$，其中$p_i$為第$i$物種的種群占比。某草原初始有$3$個(gè)物種，種群數(shù)量分別為$a$、$b$、$c$（$a+b+c=N$）。（Ⅰ）證明$H\leq\ln3$，等號(hào)成立條件；（Ⅱ）若物種$a$遷入新種群$m$個(gè)個(gè)體，求$H$的變化量$\DeltaH$，并討論其符號(hào)。17.氣候模型預(yù)測(cè)某地區(qū)年平均氣溫$T_n$（單位：℃）滿足遞推關(guān)系$T_{n+1}=\alphaT_n+\beta(10-T_n)+\epsilon_n$，其中$\alph