2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)調(diào)和分析技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2\pi]$上可積，其傅里葉級(jí)數(shù)為$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cosnx+b_n\sinnx)$，則系數(shù)$a_n$的計(jì)算公式為（）A.$\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cosnxdx$B.$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cosnxdx$C.$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnxdx$D.$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cosnxdx$若函數(shù)$f(x)$是周期為$2\pi$的奇函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)中（）A.只含正弦項(xiàng)B.只含余弦項(xiàng)C.既有正弦項(xiàng)又有余弦項(xiàng)D.可能含有常數(shù)項(xiàng)函數(shù)$f(x)=x$在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sinnx$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n}\sinnx$C.$\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n^2}\cosnx$D.$\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2}\cosnx$設(shè)$f(x)$是周期為$T$的函數(shù)，其傅里葉變換為$F(\omega)$，則$f(x-a)$的傅里葉變換為（）A.$F(\omega)e^{-i\omegaa}$B.$F(\omega)e^{i\omegaa}$C.$F(\omega-a)$D.$F(\omega+a)$下列函數(shù)中，傅里葉變換存在的是（）A.$f(x)=e^{x^2}$B.$f(x)=\frac{1}{x}$C.$f(x)=\sinx^2$D.$f(x)=\begin{cases}1,&|x|\leq1\0,&|x|>1\end{cases}$若函數(shù)$f(x)$的傅里葉變換為$F(\omega)$，則$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$的值為（）A.$F(0)$B.$2\piF(0)$C.$\frac{1}{2\pi}F(0)$D.$F(1)$卷積$f*g(x)$的傅里葉變換為（）A.$F(\omega)G(\omega)$B.$F(\omega)+G(\omega)$C.$\frac{1}{2\pi}F(\omega)G(\omega)$D.$2\piF(\omega)G(\omega)$函數(shù)$f(x)=\delta(x)$（狄拉克函數(shù)）的傅里葉變換為（）A.$1$B.$2\pi$C.$\frac{1}{2\pi}$D.$e^{i\omegax}$設(shè)$f(x)$在區(qū)間$[0,l]$上滿足狄利克雷條件，則其正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)$b_n$為（）A.$\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pix}{l}dx$B.$\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pix}{l}dx$C.$\frac{1}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pix}{l}dx$D.$\frac{1}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pix}{l}dx$傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性定理（狄利克雷定理）要求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上（）A.連續(xù)且可導(dǎo)B.單調(diào)有界C.只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值點(diǎn)D.可積函數(shù)$f(x)=e^{-|x|}$的傅里葉變換為（）A.$\frac{2}{1+\omega^2}$B.$\frac{1}{1+\omega^2}$C.$\frac{2i\omega}{1+\omega^2}$D.$\frac{i\omega}{1+\omega^2}$若$f(x)$的傅里葉變換為$F(\omega)$，則$xf(x)$的傅里葉變換為（）A.$i\frac{dF(\omega)}{d\omega}$B.$-i\frac{dF(\omega)}{d\omega}$C.$i\omegaF(\omega)$D.$-i\omegaF(\omega)$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)$f(x)=1$（常數(shù)函數(shù)）在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上的傅里葉級(jí)數(shù)為_(kāi)_______。設(shè)$f(x)$是周期為$2\pi$的函數(shù)，且$f(x)=\begin{cases}0,&-\pi\leqx<0\1,&0\leqx<\pi\end{cases}$，則其傅里葉系數(shù)$a_0=$________。傅里葉變換的逆變換公式為$f(x)=$________。函數(shù)$f(x)=\sin\omega_0x$的傅里葉變換為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（10分）將函數(shù)$f(x)=x^2$在區(qū)間$[-\pi,\pi]$上展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的和。18.（12分）已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x,&0\leqx\leq\pi\0,&\pi<x\leq2\pi\end{cases}$，且$f(x+2\pi)=f(x)$，求其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。19.（12分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}1,&|x|\leq1\0,&|x|>1\end{cases}$，求其傅里葉變換$F(\omega)$，并利用傅里葉逆變換證明$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}d\omega=\frac{\pi}{2}$。20.（12分）利用傅里葉變換求解積分方程$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(t)}{(x-t)^2+1}dt=e^{-|x|}$。21.（12分）設(shè)$f(x)$是周期為$2\pi$的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù)為$a_n,b_n$，證明帕塞瓦爾等式：$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$。22.（12分）在圖像處理中，高斯濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)為$h(x,y)=e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$，其中$\sigma$為標(biāo)準(zhǔn)差。（1）求該濾波器的傅里葉變換$H(u,v)$（頻率響應(yīng)）；（2）說(shuō)明$\sigma$對(duì)濾波器頻率特性的影響，并解釋其在圖像去噪中的應(yīng)用原理。四、應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分）信號(hào)處理中的頻譜分析技術(shù)（1）（8分）某音頻信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為$f(t)=3+2\cos(100\pit)+\sin(200\pit)$，求該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并畫(huà)出其幅度頻譜圖。（2）（12分）在實(shí)際通信系統(tǒng)中，如何利用傅里葉變換實(shí)現(xiàn)信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)？請(qǐng)以振幅調(diào)制（AM）為例，結(jié)合頻譜分析說(shuō)明其工作原理，并解釋為什么調(diào)制可以提高信號(hào)的傳輸效率。五、證明題（本大題共1小題，共20分）設(shè)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上絕對(duì)可積，且其傅里葉變換$F(\omega)$滿足$\int_{-\infty}^{\infty}|\omegaF(\omega)|d\omega<+\infty$，證明：（1）$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上一致連續(xù)；（2）$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omegax}d\omega$在$(-\infty,+\infty)$上處處成立，且右端積分絕對(duì)一致收斂。六、開(kāi)放探究題（本大題共1小題，共20分）調(diào)和分析與人工智能的交叉應(yīng)用（1）（10分）簡(jiǎn)述小波變換與傅里葉變換的主要區(qū)別，并說(shuō)明為什么小波變換更適合處理非平穩(wěn)信號(hào)（如語(yǔ)音、地震波）。（2）（10分）近年來(lái)，深度學(xué)習(xí)技術(shù)在圖像識(shí)別、自然語(yǔ)言處理等領(lǐng)域取得了突破性進(jìn)展。請(qǐng)結(jié)合調(diào)和分析的基本思想，分析卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）中卷積操作與傅里葉變換的內(nèi)在聯(lián)系，并探討頻譜分析在優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的潛在應(yīng)用。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題A2.A3.A4.A5.D6.A7.A8.A9.A10.C11.A12.B二、填空題$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=1$，故傅里葉級(jí)數(shù)為$1$（只含常數(shù)項(xiàng)）$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1dx=1$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omegax}d\omega$$i\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$三、解答題（17題示例）解：由于$f(x)=x^2$是偶函數(shù)，故傅里葉級(jí)數(shù)中只含余弦項(xiàng)，即$b_n=0$。計(jì)算系數(shù)：$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cosnxdx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cosnxdx$利用分部積分法可得：$a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}$故傅里葉級(jí)數(shù)為$x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cosnx$，$x\in[-\pi,\pi]$令$x=\pi$，得$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}(-1)^n$，即$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{