2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽人生規(guī)劃試卷一、選擇題（共5題，每題10分）1.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[a,b]上的最小值為2，最大值為6，且a<b，則b-a的取值范圍是（）A.[1,3]B.[2,4]C.[√2,2√2]D.[1,2]解題思路：函數(shù)f(x)=(x-1)2+2，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，最小值為2（當(dāng)x=1時(shí)取得）。最大值6對(duì)應(yīng)方程x2-2x+3=6，解得x=-1或x=3。若區(qū)間包含對(duì)稱(chēng)軸x=1，當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，b-a=2；當(dāng)a=1，b=3時(shí)，b-a=2；當(dāng)a=-1，b=3時(shí)，b-a=4。若區(qū)間不包含對(duì)稱(chēng)軸，需滿(mǎn)足f(a)=6且f(b)=2（或反之），此時(shí)a=-1，b=1（與包含對(duì)稱(chēng)軸情況重合）。綜上，b-a的最小值為2（區(qū)間長(zhǎng)度最小時(shí)），最大值為4（區(qū)間覆蓋[-1,3]時(shí)），故選B。2.在四面體ABCD中，AB=AC=AD=2，∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，則該四面體的外接球表面積為（）A.6πB.8πC.12πD.16π解題思路：將四面體補(bǔ)形為正方體，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a。由AB=AC=AD=2且兩兩夾角60°，可得正方體面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，即√2a=2，解得a=√2。正方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為√3a=√6，即外接球直徑2R=√6，R=√6/2。表面積S=4πR2=4π×(6/4)=6π，故選A。3.設(shè)數(shù)列{a?}滿(mǎn)足a?=1，a???=(n+1)a?/(n+a?)，則a???=（）A.1/50B.1/100C.1/101D.2/101解題思路：對(duì)遞推式取倒數(shù)：1/a???=(n+a?)/[(n+1)a?]=n/[(n+1)a?]+1/(n+1)，整理得(n+1)/a???=n/a?+1。令b?=n/a?，則b???=b?+1，數(shù)列{b?}為等差數(shù)列，b?=1/a?=1，故b?=n，即n/a?=n?a?=1。注意：上述推導(dǎo)中b???-b?=1，故b???=1+99×1=100，a???=100/b???=100/100=1？修正：原遞推式應(yīng)為a???=(n+1)a?/(n+a?)，取倒數(shù)后1/a???=n/[(n+1)a?]+1/(n+1)，兩邊同乘(n+1)得(n+1)/a???=n/a?+1，因此b?=n/a?是首項(xiàng)b?=1/1=1，公差1的等差數(shù)列，b?=1+(n-1)×1=n，故a?=n/b?=n/n=1。因此a???=1，但選項(xiàng)中無(wú)此答案，說(shuō)明題目可能存在筆誤。若遞推式為a???=na?/(n+a?)，則可解得a?=1/n，a???=1/100，此時(shí)選B。4.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-2i|=1，且arg(z)∈[π/4,π/2]，則|z|的取值范圍是（）A.[√2,√5]B.[1,3]C.[√5-1,√5+1]D.[√2,3]解題思路：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,2)為圓心，1為半徑的圓。arg(z)∈[π/4,π/2]表示z的輻角在45°到90°之間，即點(diǎn)位于第一象限角平分線(xiàn)與y軸之間。|z|表示原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離，圓心到原點(diǎn)距離為2，半徑1。最小值：當(dāng)z在圓與射線(xiàn)arg(z)=π/4的交點(diǎn)處，聯(lián)立方程x=y（arg=π/4）與x2+(y-2)2=1，解得x=y=(2±√2)/2，取正值(2-√2)/2≈0.29，此時(shí)|z|=√2x≈0.41，與選項(xiàng)不符。正確方法：圓心(0,2)，半徑r=1，|z|的最小值為圓心到原點(diǎn)距離減半徑=2-1=1（當(dāng)z=0+1i時(shí)，arg(z)=π/2，滿(mǎn)足條件），最大值為2+1=3（當(dāng)z=0+3i時(shí)，arg(z)=π/2），故選B。5.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8}，從A到B的映射f滿(mǎn)足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)，則這樣的映射共有（）A.21B.28C.35D.56解題思路：?jiǎn)栴}等價(jià)于將5個(gè)元素（1-5）分配到3個(gè)盒子（6,7,8）中，允許盒子為空，且分配順序由f(1)≤f(2)≤…≤f(5)確定（即每個(gè)盒子中的元素對(duì)應(yīng)相同函數(shù)值）。使用隔板法：將5個(gè)元素和2個(gè)隔板排列，共有C(5+3-1,3-1)=C(7,2)=21種，故選A。二、填空題（共5題，每題10分）6.若x,y>0，且x+2y=1，則1/x+1/y的最小值為_(kāi)_______。答案：3+2√2解析：1/x+1/y=(x+2y)(1/x+1/y)=1+x/y+2y/x+2=3+(x/y+2y/x)≥3+2√(x/y·2y/x)=3+2√2，當(dāng)x/y=2y/x即x=√2y時(shí)取等。7.函數(shù)f(x)=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)開(kāi)_______。答案：[-1,1+√2/2]解析：令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]，則sinxcosx=(t2-1)/2，f(x)=t+(t2-1)/2=(t+1)2/2-1。當(dāng)t=-1時(shí)，f(x)min=-1；當(dāng)t=√2時(shí)，f(x)max=(√2+1)2/2-1=(3+2√2)/2-1=1+√2/2。8.在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)ρ=2cosθ與ρsin(θ-π/6)=1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______。答案：(2,π/3)解析：ρ=2cosθ化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x?(x-1)2+y2=1。ρsin(θ-π/6)=1展開(kāi)為ρ(√3/2sinθ-1/2cosθ)=1?√3y-x=2。聯(lián)立方程解得x=0,y=2√3/3（舍去，不滿(mǎn)足ρ=2cosθ）或x=1,y=√3，對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)ρ=√(12+(√3)2)=2，θ=π/3。9.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X≤1)=0.2，P(1<X<3)=0.6，則μ=________。答案：2解析：正態(tài)分布關(guān)于x=μ對(duì)稱(chēng)，P(X≤1)=0.2，P(X≥3)=1-P(X≤3)=0.2，故1和3關(guān)于μ對(duì)稱(chēng)，μ=(1+3)/2=2。10.若多項(xiàng)式(x2+x+1)?=a?+a?x+a?x2+...+a??x2?，則a?+a?+a?+...=________。答案：3??1解析：令x=1：3?=a?+a?+a?+...+a??令x=ω（ω為單位虛根，ω3=1,ω≠1）：0=a?+a?ω+a?ω2+...+a??ω2?令x=ω2：0=a?+a?ω2+a?ω?+...+a??ω??三式相加得3?=3(a?+a?+a?+...)，故a?+a?+...=3??1。三、解答題（共3題，每題20分）11.已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求直線(xiàn)l的方程。解答：（1）離心率e=c/a=√3/2，故c=√3a/2，b2=a2-c2=a2/4。橢圓過(guò)點(diǎn)(2,1)：4/a2+1/(a2/4)=1?4/a2+4/a2=1?a2=8，b2=2。橢圓方程為x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+1，聯(lián)立橢圓方程得x2+4(kx+1)2=8?(4k2+1)x2+8kx-4=0。設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?)，則x?+x?=-8k/(4k2+1)，x?x?=-4/(4k2+1)。以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)?OA⊥OB?x?x?+y?y?=0。y?y?=(kx?+1)(kx?+1)=k2x?x?+k(x?+x?)+1，代入得：x?x?+k2x?x?+k(x?+x?)+1=0(-4/(4k2+1))(1+k2)+k(-8k/(4k2+1))+1=0-4(1+k2)-8k2+(4k2+1)=0?-4-12k2+4k2+1=0?-8k2-3=0，無(wú)解。修正：直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，l:x=0，與橢圓交于(0,√2),(0,-√2)，此時(shí)OA·OB=-2≠0。結(jié)論：不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l。12.已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx-1，其中a,b∈R。（1）若a=0,b=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求a+b的最大值。解答：（1）f(x)=e?-x-1，f’(x)=e?-1。令f’(x)=0得x=0，當(dāng)x<0時(shí)f’(x)<0，f(x)遞減；x>0時(shí)f’(x)>0，f(x)遞增。單調(diào)遞減區(qū)間(-∞,0)，遞增區(qū)間(0,+∞)。（2）f(0)=0，f’(0)=1-b，f''(x)=e?-2a。若f(x)≥0恒成立，則x=0為極小值點(diǎn)，f’(0)=0?b=1。此時(shí)f(x)=e?-ax2-x-1，f’(x)=e?-2ax-1，f’(0)=0。f''(x)=e?-2a，當(dāng)a≤1/2時(shí)，f''(x)≥e?-1≥0（x≥0），f’(x)遞增，f(x)在x=0處取最小值0，滿(mǎn)足條件。此時(shí)a+b≤1/2+1=3/2。當(dāng)a>1/2時(shí)，存在x?>0使f''(x?)=0，f’(x)在(0,x?)遞減，f’(x?)<0，f(x)在(0,x?)遞減，f(x?)<f(0)=0，不滿(mǎn)足條件。綜上，a+b的最大值為3/2。13.設(shè)數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿(mǎn)足S?=2a?-n，n∈N*。（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）記b?=(2n-1)(a?+1)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。解答：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a?=2a?-1?a?=1。n≥2時(shí)，S???=2a???-(n-1)，與S?=2a?-n作差得a?=2a?-2a???-1?a?=2a???+1?a?+1=2(a???+1)。故{a?+1}是首項(xiàng)2，公比2的等比數(shù)列，a?+1=2??a?=2?-1。（2）b?=(2n-1)·2?，T?=1·2+3·22+5·23+...+(2n-1)·2?2T?=1·22+3·23+...+(2n-3)·2?+(2n-1)·2??1兩式相減：-T?=2+2(22+23+...+2?)-(2n-1)·2??1=2+2·(4(2??1-1)/(2-1))-(2n-1)·2??1=2+2??2-8-(2n-1)·2??1=-6-(2n-3)·2??1故T?=(2n-3)·2??1+6。14.（附加題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l交x軸于D，交y軸于E，使得△AOD與△BOE相似，求直線(xiàn)l的方程。解答：設(shè)直線(xiàn)l：y-5=k(x-2)，則D(2-5/k,0)，E(0,5-2k)（k≠0）?！鰽OD∽△BOE，分兩種情況：OA/OB=OD/OE?1/1=|2-5/k|/|5-2k|?|2-5/k|=|5-2k|?|(2k-5)/k|=|5-2k|?|2k-5|(1/|k|-1)=0若2k-5=0，則k=5/2，此時(shí)D(2-2,0)=(0,0)（舍去，與原點(diǎn)重合）；若1/|k|=1，則k=±1，k=1時(shí)l:y=x+3，k=-1時(shí)l:y=-x+7。OA/OE=OD/OB?1/|5-2k|=|2-5/k|/1?|5-2k|·|2-5/k|=1?|(5-2k)(2k-5)/k|=1?|-(2k-5)2/k|=1?(2k-5)2=|k|當(dāng)k>0時(shí)，4k2-20k+25=k?4k2-21k+25=0，Δ=441-400=41，k=(21±√41)/8；當(dāng)k<0時(shí)，4k2-20k+25=-k?4k2-19k+25=0，Δ=361-400=-39<0，無(wú)解。綜上，直線(xiàn)l的方程為y=x+3，y=-x+7，y=(21+√41)x/8+(5-2(21+√41)/8)等。四、人生規(guī)劃應(yīng)用題（共2題，每題30分）15.某學(xué)生計(jì)劃在高中階段參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目標(biāo)是獲得省級(jí)一等獎(jiǎng)（需進(jìn)入省隊(duì)）。已知競(jìng)賽準(zhǔn)備分為三個(gè)階段：基礎(chǔ)鞏固（耗時(shí)t?個(gè)月，概率p?=0.8通過(guò)）、專(zhuān)題突破（耗時(shí)t?個(gè)月，通過(guò)概率p?=0.6，未通過(guò)需重新學(xué)習(xí)，耗時(shí)t?個(gè)月）、模擬沖刺（耗時(shí)t?=2個(gè)月，通過(guò)概率p?=0.5，未通過(guò)則當(dāng)年無(wú)緣省隊(duì)）。假設(shè)各階段獨(dú)立，且t?+t?+t?≤12個(gè)月（高中總備考時(shí)間），求該學(xué)生一年內(nèi)通過(guò)所有階段的最大概率。解答：設(shè)基礎(chǔ)鞏固t?個(gè)月，專(zhuān)題突破嘗試n次（成功1次，失敗n-1次），總耗時(shí)T=t?+(n-1)t?+t?+t?=t?+nt?+2≤12?t?+nt?≤10。通過(guò)概率P=0.8×[1-(1-0.6)?]×0.5=0.4[1-0.4?]。為最大化P，需最大化n（n越大，0.4?越小，P越大），同時(shí)滿(mǎn)足t?+nt?≤10，t?,t?≥1。當(dāng)n=5時(shí)，t?+5t?≤10，取t?=5,t?=1（或t?=0舍去），P=0.4[1-0.4?]=0.4×(1-0.01024)=0.3958。當(dāng)n=4時(shí)，t?+4t?≤10，t?=2,t?=2，P=0.4[1-0.4?]=0.4×0.9744=0.3898<0.3958。故最大概率約為0.396，即39.6%。16.數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)咴诟呖贾锌色@得自主招生優(yōu)惠：省級(jí)一等獎(jiǎng)可降分至一本線(xiàn)錄取（概率0.7）或加20分（0.3），競(jìng)賽失利則無(wú)優(yōu)惠。某學(xué)生高考目標(biāo)院校錄取線(xiàn)為630分，其?？汲煽?jī)服從N(600,102)，一本線(xiàn)為520分。（1）若該學(xué)生獲得省級(jí)一等獎(jiǎng)，求其被錄取的概率；（2）結(jié)合第15題結(jié)果，求該學(xué)生最終被錄取的總概率。解答：（1）設(shè)高考成績(jī)?yōu)閄~N(600,100)。降分至一本線(xiàn)：520≤X<630，概率P?=Φ((630-600)/10)-Φ((520-600)/10)=Φ(3)-Φ(-8)≈0.9987-0=0.9987。加20分：X+20≥630?X≥610，概率P?=1-Φ((610-600)/10)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587?？備浫「怕蔖=0.7×0.9987+0.3×0.1587≈0.699+0.048=0.747。（2）競(jìng)賽成功概率P競(jìng)=0.396，失敗概率1-P競(jìng)=0.604。失敗時(shí)需X≥630