2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)規(guī)?；夹g(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，向量b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，d=2，則S10的值為（）A.100B.110C.120D.130函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知直線l1:2x-y+1=0，直線l2:ax+by+c=0，若l1∥l2，則下列關(guān)系一定成立的是（）A.2a+b=0B.2a-b=0C.a+2b=0D.a-2b=0已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(-∞,1)D.(2,+∞)從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0，則圓C的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(1,-2),3B.(-1,2),3C.(1,-2),5D.(-1,2),5已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，若f(a)=3，則a的值為（）A.7B.8C.9D.10在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=3，b=4，c=5，則sinA的值為（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：log28+2^0=________。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值是________。已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則雙曲線的漸近線方程是________。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=1，a4=8。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√3，PA=3。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積；（3）求二面角P-BC-A的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1<x2，求證：x1+x2>1。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2，求m的取值范圍及x1+x2的值。參考答案與解析一、選擇題C2.A3.A4.B5.B6.B7.A8.B9.A10.A11.A12.B二、填空題414.615.y=±√2x16.-x2-2x三、解答題解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π。（2）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時(shí)，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1。解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4=a1q3=q3=8，解得q=2所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1q^(n-1)=2^(n-1)。（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。（3）由（1）知an=2^(n-1)，所以bn=log2an+1=log22^(n-1)+1=n-1+1=n所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n(n+1)/2。解：（1）證明：因?yàn)锳B=AC=2，BC=2√3，所以AB2+AC2=4+4=8，BC2=12，所以AB2+AC2<BC2，所以∠BAC>90°又因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC又因?yàn)锳B∩PA=A，AB,PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB。（2）因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以三棱錐P-ABC的體積V=1/3×S△ABC×PA在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=(AB2+AC2-BC2)/(2AB·AC)=(4+4-12)/(2×2×2)=-1/2所以∠BAC=120°所以S△ABC=1/2×AB×AC×sin∠BAC=1/2×2×2×sin120°=√3所以V=1/3×√3×3=√3。（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(-1,√3,0)，P(0,0,3)所以向量BC=(-3,√3,0)，向量BP=(-2,0,3)設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則{n·BC=0,n·BP=0}，即{-3x+√3y=0,-2x+3z=0}令x=1，則y=√3，z=2/3，所以n=(1,√3,2/3)平面ABC的法向量為m=(0,0,1)所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(2/3)/(√(1+3+4/9)×1)=(2/3)/(√(40/9))=(2/3)/(2√10/3)=1/√10=√10/10所以二面角P-BC-A的余弦值為√10/10。解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為√3/2，所以e=c/a=√3/2，即c=√3/2a又因?yàn)閍2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即b2=1/4a2，所以a2=4b2因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以4/a2+1/b2=1將a2=4b2代入得4/(4b2)+1/b2=1，即1/b2+1/b2=1，所以2/b2=1，即b2=2所以a2=4b2=8所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}，消去y得x2/8+(kx+m)2/2=1整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2+y1y2=0又因?yàn)閥1=kx1+m，y2=kx2+m，所以y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0將x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)+km(-8km)/(1+4k2)+m2=0整理得(4m2-8)(1+k2)-8k2m2+m2(1+4k2)=0展開(kāi)得4m2-8+4m2k2-8k2-8k2m2+m2+4k2m2=0合并同類項(xiàng)得(4m2-8-8k2)+(4m2k2-8k2m2+4k2m2)+m2=0即5m2-8k2-8=0，所以8k2=5m2-8因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，所以△>0即(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)>0整理得64k2m2-16(1+4k2)(m2-2)>0即4k2m2-(1+4k2)(m2-2)>0展開(kāi)得4k2m2-(m2-2+4k2m2-8k2)>0即4k2m2-m2+2-4k2m2+8k2>0即8k2-m2+2>0將8k2=5m2-8代入得5m2-8-m2+2>0，即4m2-6>0，所以m2>3/2又因?yàn)?k2=5m2-8≥0，所以5m2-8≥0，即m2≥8/5綜上，m2>3/2，所以m<-√6/2或m>√6/2所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-√6/2)∪(√6/2,+∞)。解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x所以f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-2×(1/2)+2=-ln2-1+2=1-ln2>0所以f'(x)=g(x)>0在(0,+∞)上恒成立所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間。（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2所以lnx-2ax+2≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立即2a≥(lnx+2)/x在區(qū)間(1,+∞)上恒成立令h(x)=(lnx+2)/x，則h'(x)=(1/x·x-(lnx+2))/x2=(1-lnx-2)/x2=(-lnx-1)/x2當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，lnx>0，所以-lnx-1<0，即h'(x)<0所以h(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減所以h(x)<h(1)=(ln1+2)/1=2所以2a≥2，即a≥1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)。（3）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，所以f'(x)=lnx-2ax+2=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2即lnx1-2ax1+2=0，lnx2-2ax2+2=0兩式相減得lnx1-lnx2-2a(x1-x2)=0，即ln(x1/x2)=2a(x1-x2)所以2a=ln(x1/x2)/(x1-x2)要證x1+x2>1，即證x1+x2>1令t=x1/x2，因?yàn)閤1<x2，所以0<t<1則x1=tx2，代入ln(x1/x2)=2a(x1-x2)得lnt=2a(tx2-x2)=2a(t-1)x2，所以2a=lnt/[(t-1)x2]又因?yàn)閘nx1-2ax1+2=0，所以ln(tx2)-2a(tx2)+2=0即lnt+lnx2-2atx2+2=0將2a=lnt/[(t-1)x2]代入得lnt+lnx2-[lnt/((t-1)x2)]·tx2+2=0即lnt+lnx2-[tlnt/(t-1)]+2=0所以lnx2=[tlnt/(t-1)]-lnt-2=lnt[t/(t-1)-1]-2=lnt[1/(t-1)]-2=lnt/(t-1)-2所以x2=e^(lnt/(t-1)-2)=e^(lnt/(t-1))/e2=t^(1/(t-1))/e2所以x1+x2=tx2+x2=(t+1)x2=(t+1)t^(1/(t-1))/e2要證x1+x2>1，即證(t+1)t^(1/(t-1))/e2>1，即(t+1)t^(1/(t-1))>e2兩邊取對(duì)數(shù)得ln(t+1)+[1/(t-1)]lnt>2令g(t)=ln(t+1)+[lnt]/(t-1)，0<t<1則g'(t)=1/(t+1)+[(1/t)(t-1)-lnt]/(t-1)2=1/(t+1)+[(t-1)/t-lnt]/(t-1)2因?yàn)?<t<1，所以t-1<0，1/t>1，所以(t-1)/t<0，-lnt>0所以(t-1)/t-lnt<0，又因?yàn)?t-1)2>0，所以[(t-1)/t-lnt]/(t-1)2<0又因?yàn)?/(t+1)>0，所以g'(t)的符號(hào)不確定，需進(jìn)一步分析令h(t)=(t-1)/t-lnt=1-1/t-lnt則h'(t)=1/t2-1/t=(1-t)/t2>0，所以h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增所以h(t)<h(1)=1-1-0=0，即[(t-1)/t-lnt]/(t-1)2<0令φ(t)=1/(t+1)，則φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以φ(t)>φ(1)=1/2所以g'(t)=φ(t)+[(t-1)/t-lnt]/(t-1)2，無(wú)法直接判斷符號(hào)考慮當(dāng)t→1時(shí)，g(t)=ln(t+1)+[lnt]/(t-1)lim(t→1)[lnt]/(t-1)=lim(t→1)(1/t)/1=1（洛必達(dá)法則）所以lim(t→1)g(t)=ln2+1≈0.693+1=1.693<2當(dāng)t→0時(shí)，lnt→-∞，t-1→-1，所以[lnt]/(t-1)→+∞，ln(t+1)→0，所以g(t)→+∞所以存在t0∈(0,1)，使得g(t0)=2當(dāng)t∈(0,t0)時(shí)，g(t)>2；當(dāng)t∈(t0,1)時(shí)，g(t)<2所以原命題不成立，即x1+x2>1不一定成立。解：（1）f(x)=|x-1|+|x+2|當(dāng)x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)≥f(-2)=4+1=5當(dāng)-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(1)=2+1=3綜上，函數(shù)f(x)的最小值為3。（2）因?yàn)椴坏仁絝(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，所以f(x)min≥a