2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)低密度技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-7√2/10B.-√2/10C.√2/10D.7√2/10在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=（）A.5B.8C.10D.14已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+b與向量a垂直，則m的值為（）A.-7B.-3C.3D.7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.18C.24D.36已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動(dòng)，則至少有1名女生的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是（）A.0B.2C.4D.6已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則ω和φ的值分別為（）A.2,π/3B.2,π/6C.4,π/3D.4,π/6已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：(lg2)2+lg2·lg50+lg25=________。若變量x,y滿足約束條件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，C=60°，則c=________。已知圓C:x2+y2-4x+2y+1=0，則過圓心C且與直線x-y=0垂直的直線方程為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=1，a4=8。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大?。唬?）若c=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A1B//平面ADC1；（2）求三棱錐A1-ADC1的體積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差；（2）若從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2e。參考答案一、選擇題C2.A3.B4.B5.A6.C7.A8.B9.B10.A11.B12.B二、填空題214.815.√716.x+y-1=0三、解答題解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍1=1，a4=8，所以q3=a4/a1=8，解得q=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^(n-1)。（2）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-2^n)/(1-2)=2^n-1。解：（1）由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC，因?yàn)锳+B=π-C，所以sin(π-C)=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因?yàn)?<C<π，所以sinC≠0，所以cosC=1/2，解得C=π/3。（2）由三角形面積公式得：S=1/2absinC=2√3，即1/2ab×√3/2=2√3，解得ab=8，由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即(2√3)2=a2+b2-2×8×1/2，整理得a2+b2=20，所以(a+b)2=a2+b2+2ab=20+16=36，解得a+b=6。（1）證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1是矩形，所以O(shè)是A1C的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D//A1B，因?yàn)镺D?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B//平面ADC1。（2）解：因?yàn)锳B=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以AD=√2，因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，所以三棱錐A1-ADC1的體積V=1/3×S△ADC1×AA1，因?yàn)镾△ADC1=1/2×AD×AC1=1/2×√2×2√2=2，所以V=1/3×2×2=4/3。解：（1）這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.15=79，方差為：(55-79)2×0.05+(65-79)2×0.15+(75-79)2×0.3+(85-79)2×0.35+(95-79)2×0.15=129.6。（2）成績在[50,60)的學(xué)生有5人，記為A,B,C,D,E，成績在[90,100]的學(xué)生有15人，記為F1,F2,...,F15，從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C20^2=190種不同的選法，其中2人成績都在[90,100]的選法有C15^2=105種，所以所求概率P=105/190=21/38。解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為√2/2，所以c/a=√2/2，即c=√2/2a，因?yàn)閍2=b2+c2，所以a2=b2+1/2a2，即b2=1/2a2，所以橢圓C的方程為x2/a2+2y2/a2=1，因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+2×(√2/2)2/a2=1，即1/a2+1/a2=1，解得a2=2，所以b2=1，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立{x2/2+y2=1,y=kx+m}，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，將x1+x2和x1x2代入上式得：(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，整理得3m2=2k2+2，即m2=2(k2+1)/3，所以直線l的方程為y=kx±√[2(k2+1)/3]，當(dāng)x=0時(shí)，y=±√[2(k2+1)/3]，所以直線l恒過定點(diǎn)(0,±√[2(k2+1)/3])，因?yàn)閗2+1≥1，所以√[2(k2+1)/3]≥√6/3，所以直線l恒過定點(diǎn)(0,±√6/3)。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=n，聯(lián)立{x2/2+y2=1,x=n}，消去x得y2=1-n2/2，設(shè)A(n,y1),B(n,y2)，則y1=-y2，因?yàn)镺A⊥OB，所以n2+y1y2=0，即n2-(1-n2/2)=0，解得n2=2/3，即n=±√6/3，所以直線l的方程為x=±√6/3，此時(shí)直線l也過定點(diǎn)(±√6/3,0)，綜上，直線l恒過定點(diǎn)(0,±√6/3)或(±√6/3,0)。解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1/x-a=1-ax/x，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a，當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2)，所以lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，兩式相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)，即a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)，要證x1+x2>2e，只需證(x1+x2)/2>e，因?yàn)閤1<x2，所以x1+x2>2√(x1x2)，所以只需證√(x1x2)>e，即ln√(x1x2)>1，即(lnx1+lnx2)/2>1，因?yàn)閘nx1=ax1，lnx2=ax2，所以(ax1+ax2)/2>1，即a(x1+x2)/2>1，所以只需證(lnx1-lnx2)/(x1-x2)×(x1+x2)/2>1，令t=x1/x2(0<t<1)，則只需證(lnt)/(t-1)×(t+1)/2>1，即證(lnt)(t+1)>2(t-1)，令g(t)=(lnt)(t+1)-2(t-1)(0<t<1)，則g'(t)=ln