2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽歐拉線定理試卷一、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心和垂心共線，且外心到重心的距離是垂心到重心距離的一半，這條直線被稱為三角形的歐拉線。已知△ABC中，AB=AC，頂點(diǎn)B(-1,0)，C(0,2)，則△ABC的歐拉線方程為（）A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足AB=AC，點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,3)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,-2)。圓M:(x+3)2+y2=4，P(x?,y?)是△ABC"歐拉線"上一點(diǎn)，過P可作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為D,E。則下列結(jié)論正確的是（）A.△ABC的"歐拉線"方程為y=x-1B.圓M上存在點(diǎn)N，使得∠MPN=π/6C.四邊形PDME面積的最大值為4D.直線DE恒過定點(diǎn)在非等邊△ABC中，AB=AC，點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,1)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,-3)，其"歐拉線"與圓M:x2+y2=r2(r>0)相切，則△ABC的"歐拉線"方程為（）A.x-y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y+1=0D.3x-4y-5=0已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(2,0)，C(1,√3)，則該三角形歐拉線的斜率為（）A.-√3/3B.√3/3C.-√3D.√3在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的歐拉線方程為x-y+1=0，若點(diǎn)A(1,2)，B(-2,1)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)不可能是（）A.(0,3)B.(2,0)C.(3,4)D.(-1,0)二、填空題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則該三角形歐拉線的方程為__________。若△ABC的歐拉線方程為2x-3y+4=0，重心G的坐標(biāo)為(1,2)，則外心O到垂心H的距離為__________。在平面直角坐標(biāo)系中，圓C:(x-2)2+(y-1)2=5與△ABC的歐拉線相切，若△ABC的頂點(diǎn)A(0,0)，B(4,0)，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為__________。三、解答題（本大題共4小題，共96分）（本小題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)。(1)求△ABC的重心G的坐標(biāo)；(2)求△ABC的外心O的坐標(biāo)；(3)驗(yàn)證G、O是否在同一條直線上，并求出該直線方程；(4)證明△ABC的垂心H也在該直線上。（本小題滿分24分）已知△ABC中，AB=AC，頂點(diǎn)B(-2,0)，C(2,0)，且△ABC的歐拉線與圓M:x2+(y-3)2=1相切。(1)求△ABC的歐拉線方程；(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是△ABC歐拉線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，求四邊形PAMB面積的最小值。（本小題滿分26分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的歐拉線方程為3x-4y+5=0，頂點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)。(1)求△ABC重心G的軌跡方程；(2)若△ABC的外心O在x軸上，求外心O的坐標(biāo)；(3)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。（本小題滿分26分）已知△ABC的歐拉線方程為y=x，頂點(diǎn)A(0,0)，B(2,2)，P為歐拉線上一點(diǎn)，且滿足PA2+PB2+PC2的值最小。(1)證明：對(duì)于任意三角形，PA2+PB2+PC2的值最小時(shí)，點(diǎn)P為三角形的重心；(2)求△ABC重心G的坐標(biāo)；(3)若AC=BC，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下，求△ABC外接圓的方程。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題DBAAD二、填空題x=2（以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系）2√13(x-2)2+(y-1)2=36（除去與x軸的交點(diǎn)）三、解答題解：(1)重心G的坐標(biāo)為((1+3+5)/3,(2+4+0)/3)=(3,2)。（4分）(2)設(shè)外心O的坐標(biāo)為(x,y)，則OA=OB=OC，由OA=OB得：(x-1)2+(y-2)2=(x-3)2+(y-4)2，化簡得：x+y=5①（6分）由OA=OC得：(x-1)2+(y-2)2=(x-5)2+y2，化簡得：2x-y=7②（8分）聯(lián)立①②解得：x=4，y=1，所以外心O的坐標(biāo)為(4,1)。（10分）(3)由G(3,2)和O(4,1)可得直線GO的斜率為(1-2)/(4-3)=-1，所以直線GO的方程為y-2=-(x-3)，即x+y=5。（14分）(4)設(shè)垂心H的坐標(biāo)為(x,y)，AB邊的斜率為(4-2)/(3-1)=1，所以AB邊上的高所在直線的斜率為-1，又因?yàn)樵摳哌^點(diǎn)C(5,0)，所以其方程為y=-(x-5)，即x+y=5。（18分）因?yàn)榇剐腍在該直線上，所以H的坐標(biāo)滿足x+y=5，即H在直線GO上，因此G、O、H三點(diǎn)共線，該直線方程為x+y=5。（20分）解：(1)因?yàn)锳B=AC，所以△ABC為等腰三角形，其歐拉線為底邊BC的中垂線。（2分）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，BC所在直線的斜率為0，所以BC的中垂線方程為x=0，即△ABC的歐拉線方程為x=0。（5分）(2)因?yàn)闅W拉線x=0與圓M:x2+(y-3)2=1相切，圓心M(0,3)到直線x=0的距離等于半徑1，符合題意。（7分）設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,y)，則由AB=AC可得：(0+2)2+(y-0)2=(0-2)2+(y-0)2，恒成立，又因?yàn)椤鰽BC的歐拉線為x=0，所以A在歐拉線x=0上，（9分）由歐拉線的性質(zhì)知，重心G在歐拉線x=0上，重心G的坐標(biāo)為((-2+2+0)/3,(0+0+y)/3)=(0,y/3)，滿足x=0，（11分）又因?yàn)橥庑腛為BC的中點(diǎn)(0,0)，重心G(0,y/3)，垂心H與A重合(0,y)，由歐拉線的性質(zhì)知OG=1/2GH，即√[(0-0)2+(y/3-0)2]=1/2√[(0-0)2+(y-y/3)2]，解得y=0（舍去，此時(shí)三角形不存在）或y=6或y=-6，（13分）所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6)或(0,-6)。（14分）(3)四邊形PAMB的面積S=2×(1/2×PA×MA)=PA×MA=PA×1=PA，（16分）PA=√(PM2-MA2)=√(PM2-1)，所以當(dāng)PM最小時(shí)，PA最小，（18分）PM的最小值為圓心M到歐拉線x=0的距離，即PMmin=0-0=0（此時(shí)P與M重合），（20分）但此時(shí)P與M重合，無法作切線，所以PM的最小值為圓心M到歐拉線x=0的距離加上半徑，即PMmin=0+1=1，（22分）所以四邊形PAMB面積的最小值為√(12-1)=0（舍去），正確解法：PM的最小值為圓心M(0,3)到歐拉線x=0的距離d=0，所以PMmin=0，此時(shí)PA=√(02-1)無意義，說明歐拉線過圓心，所以圓與歐拉線相交，（23分）所以當(dāng)P為圓心M在歐拉線x=0上的射影時(shí)，PM最小，即P與M重合時(shí)，PM=0，但此時(shí)無法作切線，所以四邊形PAMB面積的最小值不存在，或當(dāng)P無限接近M時(shí)，面積無限接近0。（24分）解：(1)設(shè)△ABC的重心G的坐標(biāo)為(x,y)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n)，則x=(1+3+m)/3=(4+m)/3，y=(2+4+n)/3=(6+n)/3，（2分）所以m=3x-4，n=3y-6，（4分）因?yàn)橹匦腉在歐拉線3x-4y+5=0上，所以3x-4y+5=0，即△ABC重心G的軌跡方程為3x-4y+5=0。（6分）(2)設(shè)外心O的坐標(biāo)為(a,0)，因?yàn)橥庑脑跉W拉線3x-4y+5=0上，所以3a-4×0+5=0，解得a=-5/3，（8分）所以外心O的坐標(biāo)為(-5/3,0)。（10分）(3)由外心O(-5/3,0)到頂點(diǎn)A(1,2)的距離等于到頂點(diǎn)C(m,n)的距離，得(1+5/3)2+(2-0)2=(m+5/3)2+(n-0)2，（12分）即(8/3)2+22=(m+5/3)2+n2，64/9+4=(m+5/3)2+n2，100/9=(m+5/3)2+n2①（14分）又因?yàn)橹匦腉((4+m)/3,(6+n)/3)在歐拉線3x-4y+5=0上，所以3×(4+m)/3-4×(6+n)/3+5=0，化簡得：3(4+m)-4(6+n)+15=0，12+3m-24-4n+15=0，3m-4n+3=0，即n=(3m+3)/4②（18分）將②代入①得：(m+5/3)2+[(3m+3)/4]2=100/9，（20分）解得m=1或m=-23/5，（22分）當(dāng)m=1時(shí)，n=(3×1+3)/4=3/2，此時(shí)C(1,3/2)，與A(1,2)不構(gòu)成三角形，舍去；（24分）當(dāng)m=-23/5時(shí)，n=(3×(-23/5)+3)/4=(-69/5+15/5)/4=(-54/5)/4=-27/10，（25分）所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-23/5,-27/10)。（26分）解：(1)設(shè)P(x,y)，A(x?,y?)，B(x?,y?)，C(x?,y?)，則PA2+PB2+PC2=(x-x?)2+(y-y?)2+(x-x?)2+(y-y?)2+(x-x?)2+(y-y?)2=3x2-2(x?+x?+x?)x+x?2+x?2+x?2+3y2-2(y?+y?+y?)y+y?2+y?2+y?2，（3分）當(dāng)x=(x?+x?+x?)/3，y=(y?+y?+y?)/3時(shí)，PA2+PB2+PC2取得最小值，即點(diǎn)P為△ABC的重心。（5分）(2)設(shè)重心G的坐標(biāo)為(x,y)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n)，則x=(0+2+m)/3=(2+m)/3，y=(0+2+n)/3=(2+n)/3，（7分）因?yàn)橹匦腉在歐拉線y=x上，所以x=y，即(2+m)/3=(2+n)/3，解得m=n，（9分）所以重心G的坐標(biāo)為((2+m)/3,(2+m)/3)，其中m=n。（10分）(3)因?yàn)锳C=BC，所以△ABC為等腰三角形，其歐拉線為底邊AB的中垂線。（12分）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，AB所在直線的斜率為1，所以AB的中垂線方程為y-1=-(x-1)，即x+y=2，（14分）又因?yàn)椤鰽BC的歐拉線為y=x，所以聯(lián)立x+y=2和y=x，解得重心G的坐標(biāo)為(1,1)，（16分）由重心坐標(biāo)公式得：1=(0+2+m)/3，1=(0+2+n)/3，解得m=1，n=1，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)，（18分）但此時(shí)A、B、C三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，舍去，（19分）正確解法：因?yàn)锳C=BC，所以點(diǎn)C在AB的中垂線x+y=2上，（20分）又由(2)知m=n，所以聯(lián)立m=n和m+n=2，解得m=1，n=1，即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)，但此時(shí)A、B、C