2025年下學期高中數(shù)學持續(xù)性技術觀試卷一、單項選擇題（每題3分，共12題，36分）數(shù)學抽象是高中數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，下列關于數(shù)學抽象的表述正確的是（）A.僅關注數(shù)學符號的記憶與應用B.從具體實例中提取共同屬性并形成概念的思維過程C.無需依賴實際背景即可直接推導數(shù)學公式D.主要通過大量刷題培養(yǎng)已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，集合(B={x|\log_2(x-1)=0})，則(A\capB=)（）A.({1})B.({2})C.({1,2})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期和圖像對稱軸分別為（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{6})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）在立體幾何中，已知正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)的棱長為2，點(E)為棱(CC_1)的中點，則直線(AE)與平面(A_1BD)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})數(shù)學建模強調(diào)用數(shù)學方法解決實際問題，某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為5000元，每件產(chǎn)品可變成本為20元，售價為50元。若要實現(xiàn)利潤超過10000元，則至少需要生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為（）A.500件B.501件C.600件D.601件已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3+a_7=18)，(S_9=81)，則公差(d=)（）A.1B.2C.3D.4直線(l:y=kx+b)與圓(C:x^2+y^2-4x+2y+1=0)相切，且圓心(C)到直線(l)的距離為2，則(k=)（）A.0或(\frac{4}{3})B.(\frac{3}{4})或(-\frac{4}{3})C.(\pm\frac{4}{3})D.(\pm\frac{3}{4})數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)要求從數(shù)據(jù)中提取信息并推斷結論，某學校隨機抽取100名學生的數(shù)學成績，繪制頻率分布直方圖如下（部分數(shù)據(jù)缺失），則成績在([80,100])區(qū)間的頻率為（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極值點個數(shù)及單調(diào)遞增區(qū)間分別為（）A.1個，((-\infty,0)\cup(2,+\infty))B.2個，((-\infty,0))和((2,+\infty))C.1個，((0,2))D.2個，((0,2))在概率統(tǒng)計中，某射擊運動員每次射擊命中靶心的概率為0.8，獨立射擊3次，至少命中2次的概率為（）A.0.896B.0.512C.0.384D.0.104空間向量在立體幾何中應用廣泛，已知向量(\vec{a}=(1,2,3))，(\vec=(m,4,6))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m=)（），此時(\vec{a}\cdot\vec=)（）A.2，36B.2，42C.3，36D.3，42數(shù)學文化是數(shù)學課程的重要組成部分，下列關于數(shù)學史的表述錯誤的是（）A.祖沖之首次將圓周率精確到小數(shù)點后七位B.笛卡爾創(chuàng)立解析幾何，建立了數(shù)與形的聯(lián)系C.歐拉提出“哥德巴赫猜想”，推動數(shù)論發(fā)展D.秦九韶發(fā)明“秦九韶算法”，優(yōu)化多項式求值運算二、填空題（每題4分，共4題，16分）已知復數(shù)(z=(1+i)(2-i))，則(|z|=)，其共軛復數(shù)(\overline{z})的虛部為。某公司為優(yōu)化產(chǎn)品結構，對A、B兩種產(chǎn)品進行利潤分析，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：|產(chǎn)品|銷量（件）|單件利潤（元）||------|------------|----------------||A|100|20||B|150|30|若用分層抽樣的方法從兩種產(chǎn)品中抽取10件，則應抽取A產(chǎn)品__________件，估計該公司總利潤為__________元。雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則該雙曲線的標準方程為__________。在邏輯推理中，“若(p)則(q)”的逆否命題是“”，若原命題為真，則其逆否命題（填“一定為真”或“不一定為真”）。三、解答題（共6題，78分）（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosC=(2a-c)\cosB)。（1）求角(B)的大??；（2）若(b=\sqrt{7})，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面積。（12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(S_n=2a_n-1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({a_nb_n})的前(n)項和(T_n)。（14分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)，點(M)為棱(PD)的中點。（1）求證：(PB\parallel)平面(ACM)；（2）求二面角(A-CM-D)的余弦值。（14分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x))在(x=1)處取得極值，且對任意(x>0)，(f(x)\leqb)恒成立，求實數(shù)(b)的最小值。（14分）某科技公司研發(fā)一款智能設備，根據(jù)市場調(diào)研，該設備的月銷售量(y)（單位：臺）與銷售單價(x)（單位：元）滿足關系(y=-10x+5000)（(200\leqx\leq500)）。已知每臺設備的生產(chǎn)成本為200元，為獲得最大利潤，公司需確定銷售單價。（1）求月利潤(L(x))關于銷售單價(x)的函數(shù)關系式；（2）當銷售單價為多少元時，月利潤最大？最大月利潤為多少元？（3）若公司為擴大市場份額，決定每銷售一臺設備捐贈(m)元（(0<m<100)）給慈善機構，此時月利潤為(L'(x))，若(L'(x))的最大值與（2）中結果相同，求(m)的值。（14分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）過點(P(0,1))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，若以(AB)為直徑的圓過原點(O)，求直線(l)的方程。四、開放探究題（10分）數(shù)學建模是解決實際問題的重要工具，請結合生活中的具體案例（如交通流量、環(huán)境監(jiān)測、經(jīng)濟決策等），設計一個基于高中數(shù)學知識的數(shù)學建模問題，并簡要說明建模步驟（包括問題分析、模型假設、數(shù)學表達、求解與檢驗等環(huán)節(jié)）。五、數(shù)學文化題（10分）中國古代數(shù)學成就輝煌，如《九章算術》中的“割圓術”、秦九韶的“大衍求一術”等。請以其中一項成就為例，闡述其蘊含的數(shù)學思想方法，并說明該思想對現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的影響。試卷設計說明：考查范圍：覆蓋函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模等高中數(shù)學核心內(nèi)容，符合2025年教學大綱對基礎知識與核心素養(yǎng)的要求。題型結構：包含單選、填空、解答、開放探