2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽函數(shù)迭代試卷一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，對(duì)任意自然數(shù)$n$，定義$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，且$f_1(x)=f(x)$，則$f_{1993}(x)$的解析式為（）A.$\frac{1993x}{\sqrt{1+x^2}}$B.$\frac{x}{\sqrt{1993+x^2}}$C.$\frac{x}{\sqrt{1+1993x^2}}$D.$\frac{x}{\sqrt{1+1993^2x^2}}$已知函數(shù)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且$f(2)=0$，對(duì)任意$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x+4)=f(x)+f(2)$成立，則$f(1998)=$（）A.3996B.1998C.1997D.0函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上有定義且為增函數(shù)，滿(mǎn)足$f(x)\cdotf\left(f(x)+\frac{1}{x}\right)=1$，則$f(1)=$（）A.1B.0C.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$D.$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$已知$f(x)=\frac{1+x}{1-x}$，記$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$（$n=1,2,\cdots$），則$f_{2025}(x)=$（）A.$\frac{1+x}{1-x}$B.$\frac{x-1}{x+1}$C.$x$D.$-\frac{1}{x}$設(shè)函數(shù)$f(x)=ax+b$（$a\neq0$），若$f_{10}(x)$表示$f$的10次迭代，且$f_{10}(x)=1024x+1023$，則$a+b=$（）A.1B.2C.3D.4定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足$f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，且$f(1)=2$，則$f(2025)=$（）A.2B.$-3$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$二、填空題（每題5分，共30分）已知$f(x)=\frac{x}{x-1}$（$x\neq1$），則$f(f(f(x)))$的定義域?yàn)開(kāi)_________。設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{N}^*$，且$f(1)=1$，$f(n+1)=f(n)+3$，則$f_{10}(2)=$__________（注：$f_n(x)$表示$f$的$n$次迭代）。若函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足$f(x+2)=f(x)$，且當(dāng)$x\in[0,2)$時(shí)，$f(x)=x^2$，則$f_{10}(1.5)=$__________。設(shè)$f(x)=\sqrt{2+x}$，則$f_3(0)=$__________（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。已知$f(x)$是一次函數(shù)，且$f_2(x)=4x+3$，則$f(x)=$__________。定義函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx<\frac{1}{2},\2-2x,&\frac{1}{2}\leqx\leq1,\end{cases}$稱(chēng)其為“帳篷映射”，則$f_2\left(\frac{1}{7}\right)=$__________。三、解答題（共4題，每題15分，共60分）（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x$，記$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$，$f_1(x)=f(x)$。（1）求$f_2(x)$的解析式；（2）若方程$f_n(x)=0$有實(shí)根，求$n$的最小值。（15分）設(shè)函數(shù)$f(x)$對(duì)任意正整數(shù)$n$滿(mǎn)足$f(n+1)=f(n)+f(n+2)$，且$f(1)=1$，$f(2)=1$，定義$f$的“反向迭代”：$f^{-1}(k)={m|f(m)=k}$。（1）證明$f(n)$是以6為周期的函數(shù)；（2）求$f^{-1}(0)$中最小的正整數(shù)$m$。（15分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x+2}{x+1}$（$x\neq-1$），數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）計(jì)算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。（15分）設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?\mathbb{R}$，且對(duì)任意$x,y\in\mathbb{R}$，有$f(x+y)=f(x)f(y)$，$f(1)=2$。（1）證明$f(x)$為指數(shù)函數(shù)；（2）若$g(x)=f_n(x)$（$n$次迭代），且$g(1)=64$，求$n$的值；（3）求$h(x)=f(x)+f_2(x)+\cdots+f_{10}(x)$在$x=1$處的值。四、附加題（共20分）（20分）設(shè)函數(shù)$f(x)$滿(mǎn)足$f(x+1)=f(x)+2x+1$，且$f(0)=0$。（1）求$f(x)$的解析式；（2）定義$F(n)=f_n(1)-1$（$n\in\mathbb{N}^*$），證明數(shù)列${F(n)}$是等比數(shù)列；（3）求$F(1)+F(2)+\cdots+F(10)$的值。參考答案及解析（部分）一、選擇題C解析：通過(guò)歸納法可得$f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$，故$f_{1993}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+1993x^2}}$。D解析：由$f(x+4)=f(x)$知周期為4，$f(1998)=f(4\times499+2)=f(2)=0$。D解析：令$x=1$，設(shè)$f(1)=a$，則$a\cdotf(a+1)=1$，再令$x=a+1$，聯(lián)立方程解得$a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。A解析：計(jì)算前幾次迭代得$f_1(x)=\frac{1+x}{1-x}$，$f_2(x)=-\frac{1}{x}$，$f_3(x)=\frac{x-1}{x+1}$，$f_4(x)=x$，周期為4，$2025=4\times506+1$，故$f_{2025}(x)=f_1(x)$。C解析：一次函數(shù)迭代公式$f_n(x)=a^nx+b\cdot\frac{a^n-1}{a-1}$，由$a^{10}=1024$得$a=2$，進(jìn)而$b=1$，故$a+b=3$。B解析：周期為4，$f(1)=2$，$f(2)=-3$，$f(3)=-\frac{1}{2}$，$f(4)=\frac{1}{3}$，$2025=4\times506+1$，但需注意$f(2025)=f(1+4\times506)=f(1)=2$？此處需重新驗(yàn)證周期計(jì)算，正確周期應(yīng)為4，$f(2025)=f(1)=2$，但原選項(xiàng)中A為2，可能題目周期計(jì)算有誤，需以實(shí)際迭代為準(zhǔn)。二、填空題$(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：$f(f(f(x)))=f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac{x}{2x-1}$，定義域需滿(mǎn)足$x\neq1$，$\frac{x}{x-1}\neq1$，$\frac{x}{2x-1}$有意義，即$x\neq0,1$。28解析：$f(x)$為等差數(shù)列，$f_n(x)=f(x)+3(n-1)$，$f_{10}(2)=f(2)+27=1+3+27=31$？此處需注意迭代定義，原函數(shù)$f(n+1)=f(n)+3$為遞推公式，非迭代，正確應(yīng)為$f_n(2)=f(f(\cdotsf(2)\cdots))$，$f(2)=4$，$f_2(2)=7$，$\cdots$，$f_{10}(2)=1+3\times10=31$。0.25解析：周期函數(shù)迭代仍為周期函數(shù)，$f_{10}(1.5)=f(1.5)=(1.5)^2=2.25$？錯(cuò)誤，當(dāng)$x\in[0,2)$時(shí)$f(x)=x^2$，$f_{10}(1.5)=f(1.5)=2.25$，但需注意迭代次數(shù)不影響周期，直接取$x=1.5$對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。2.65解析：$f_1(0)=\sqrt{2}\approx1.414$，$f_2(0)=\sqrt{2+1.414}\approx1.848$，$f_3(0)=\sqrt{2+1.848}\approx1.962$？精確計(jì)算應(yīng)為$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\approx1.962$，題目要求精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位，即1.96。$2x+1$或$-2x-3$解析：設(shè)$f(x)=ax+b$，則$f_2(x)=a^2x+ab+b=4x+3$，解得$a=2,b=1$或$a=-2,b=-3$。$\frac{4}{7}$解析：$f\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{2}{7}$，$f_2\left(\frac{1}{7}\right)=f\left(\frac{2}{7}\right)=\frac{4}{7}$。三、解答題（1）$f_2(x)=f(f(x))=(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)=x^4+4x^3+6x^2+4x$；（2）$f_1(x)=0$的根為$x=0,-2$；$f_2(x)=0$的根為$x=0,-1,-2$；$\cdots$；$n=1$時(shí)已有實(shí)根，故最小值為1。（1）通過(guò)計(jì)算前幾項(xiàng)得$f(3)=0$，$f(4)=-1$，$f(5)=-1$，$f(6)=0$，$f(7)=1$，$f(8)=1$，周期為6；（2）$f(3)=0$，故最小正整數(shù)$m=3$。（1）$a_{n+1}+1=\frac{a_n+2}{a_n+1}+1=\frac{2(a_n+1)}{a_n+1}=2$，故${a_n+1}$為等比數(shù)列，$a_n=2^{n-1}-1$；（2）$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty$。（1）由$f(x+y)=f(x)f(y)$及$f(1)=2$，得$f(x)=2^x$；（2）$g(x)=f_n(x)=2^{2^{\cdots^x}}$（$n$次迭代），$g(1)=2^{2^{\cdots^2}}=64=2^6$，故$n=3$（$2^{2^2}=16$，$2^{2^3}=256$，此處可能題目有誤，需調(diào)整指數(shù)迭代定義）；（3）$h(1)=2+4+8+\cdo