2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)合作協(xié)作能力試卷一、團隊任務(wù)型解答題（共60分）（一）實際應(yīng)用問題探究（30分）背景材料：某社區(qū)計劃在一塊矩形空地上建設(shè)“智慧數(shù)學(xué)樂園”，其中包含幾何模型展示區(qū)、數(shù)據(jù)分析實驗室和互動游戲區(qū)三個功能板塊。空地長為120米，寬為80米，要求三個區(qū)域的面積之比為3:2:1，且每個區(qū)域均為矩形，邊緣需預(yù)留2米寬的消防通道（通道不計入功能區(qū)面積）。任務(wù)要求：分工協(xié)作：團隊成員需分為“測量組”“建模組”“驗證組”，分別完成以下任務(wù)：測量組：實地考察社區(qū)空地（提供示意圖如圖1），標注關(guān)鍵數(shù)據(jù)并計算可用總面積（扣除消防通道后）；建模組：設(shè)其中一個功能區(qū)的長為x米，寬為y米，建立關(guān)于x、y的二元一次方程組，求解三個區(qū)域的具體尺寸；驗證組：檢驗?zāi)Ｐ徒M結(jié)果是否滿足面積比例要求，并判斷是否存在更優(yōu)方案（如調(diào)整區(qū)域布局使總周長最小）。問題拆解：（1）計算扣除消防通道后的可用總面積（消防通道在空地四周及區(qū)域之間均需預(yù)留，且區(qū)域之間通道寬度與邊緣相同）；（2）若幾何模型展示區(qū)為長方形，其長比寬多10米，求該區(qū)域的具體尺寸；（3）從優(yōu)化設(shè)計角度，分析當(dāng)三個區(qū)域采用“橫向并排”或“縱向疊放”兩種布局時，哪種方案的總周長更小（周長越小，建設(shè)成本越低）。解答提示：可用總面積計算需注意：空地總面積=120×80=9600平方米，消防通道面積=邊緣通道面積+區(qū)域間通道面積。設(shè)三個區(qū)域的總長度為L，總寬度為W，則邊緣通道面積=2×(120×2+(80-4)×2)=2×(240+152)=784平方米，區(qū)域間通道面積=2×2×W（橫向布局時）或2×2×L（縱向布局時）；建模組可根據(jù)面積比例設(shè)三個區(qū)域面積分別為3k、2k、k，則3k+2k+k=可用總面積，解得k后再結(jié)合幾何模型展示區(qū)的長寬關(guān)系列方程；驗證組需使用均值不等式：對于固定面積的矩形，長與寬越接近，周長越小。（二）數(shù)學(xué)文化合作研討（30分）主題：“楊輝三角與二項式定理的拓展應(yīng)用”任務(wù)要求：資料收集：團隊共同查閱《九章算術(shù)》《詳解九章算法》等文獻，梳理楊輝三角的歷史演變（北宋賈憲的“開方作法本源圖”與南宋楊輝的傳承）；規(guī)律探究：觀察楊輝三角第n行（n≥0）的數(shù)字特征，完成以下表格：探究方向具體內(nèi)容（用數(shù)學(xué)符號表示）第n行數(shù)字之和第n行奇數(shù)個數(shù)（提示：與n的二進制表示中1的個數(shù)有關(guān)）斜向數(shù)字之和第k條斜線上的數(shù)字之和等于斐波那契數(shù)列的第k+1項創(chuàng)新應(yīng)用：利用楊輝三角的對稱性設(shè)計一個“數(shù)學(xué)密碼生成器”：從第5行中任選3個數(shù)字，按順序排列作為密碼前三位，從第7行中任選2個數(shù)字作為后兩位，求密碼中數(shù)字之和為偶數(shù)的概率（需用樹狀圖或組合數(shù)計算）。二、協(xié)作過程評估（共40分）（一）團隊分工與執(zhí)行（20分）請在下表中填寫團隊成員的具體分工、完成時長及任務(wù)貢獻度（貢獻度總和為100%）：成員姓名負責(zé)模塊完成時長（分鐘）貢獻度描述協(xié)作過程中遇到的至少兩個問題及解決方案（例如：建模組與測量組數(shù)據(jù)沖突時如何協(xié)調(diào)）。（二）跨模塊溝通題（20分）場景：建模組在計算功能區(qū)尺寸時，發(fā)現(xiàn)測量組提供的消防通道面積數(shù)據(jù)少算了區(qū)域之間的交叉通道（即三個區(qū)域之間有兩條通道，而非一條），導(dǎo)致可用總面積偏大。問題：此時是否需要重新計算？若重新計算，哪些步驟需要調(diào)整？（10分）從溝通效率角度，提出一種避免類似數(shù)據(jù)誤差的協(xié)作流程改進建議（例如：建立數(shù)據(jù)核對清單、使用共享表格實時同步數(shù)據(jù)等）。（10分）三、開放創(chuàng)新題（共20分）主題：“基于協(xié)作的數(shù)學(xué)建模大賽方案設(shè)計”任務(wù)：團隊共同設(shè)計一個面向初中生的數(shù)學(xué)建模競賽題目，要求：結(jié)合生活實際（如校園垃圾分類、共享單車調(diào)度、圖書館座位預(yù)約等）；包含“數(shù)據(jù)收集—模型建立—結(jié)果分析”三個環(huán)節(jié)；明確團隊成員的角色分工（如數(shù)據(jù)采集員、模型構(gòu)建員、可視化呈現(xiàn)員）；預(yù)估每個環(huán)節(jié)的完成時間及所需工具（如Excel、Python、幾何畫板等）。示例框架：競賽題目：“校園奶茶店最優(yōu)選址問題”數(shù)據(jù)收集：統(tǒng)計各教學(xué)樓人流高峰時段、現(xiàn)有店鋪位置、學(xué)生消費偏好（問卷調(diào)查）；模型建立：以人流密度為權(quán)重，建立距離加權(quán)平均模型，計算潛在選址點的綜合得分；分工建議：3人團隊中，1人負責(zé)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，1人負責(zé)模型計算，1人負責(zé)結(jié)果可視化（用熱力圖展示最優(yōu)位置）。四、附加挑戰(zhàn)題（共10分）協(xié)作邏輯推理：現(xiàn)有A、B、C、D四個團隊，分別擅長代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計四個領(lǐng)域。已知：A團隊不擅長幾何和概率；B團隊與擅長代數(shù)的團隊合作過；C團隊的強項是統(tǒng)計或幾何；D團隊曾指導(dǎo)過擅長概率的團隊。請通過團隊協(xié)作推理，確定每個團隊的擅長領(lǐng)域（要求寫出推理過程