2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)教育學(xué)院附中試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，S3=7，則公比q=（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.0B.1C.2D.3已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.7已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.84種C.100種D.120種已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若f(a)=f(b)（a≠b），則ab=（）A.1B.eC.1/eD.e2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定義域?yàn)開_______。若x，y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤2}，則z=x+2y的最大值為________。已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=________。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績測(cè)試，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.040.160.320.360.12（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表，估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）若從成績?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x（a∈R）。（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+2^n（n∈N*）。（Ⅰ）證明：數(shù)列{an/2^n}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）設(shè)bn=an/(n+1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.B3.D4.A5.C6.C7.B8.A9.A10.A11.A12.A二、填空題[1,2)∪(2,+∞)14.615.±√3/316.-x2-2x三、解答題解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=π。（5分）（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時(shí)，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1。（10分）解：（Ⅰ）平均數(shù)=55×0.04+65×0.16+75×0.32+85×0.36+95×0.12=79.2；中位數(shù)=70+(0.5-0.04-0.16)/0.32×10=78.125。（6分）（Ⅱ）成績?cè)赱50,60)的學(xué)生有2人，記為A，B；成績?cè)赱90,100]的學(xué)生有6人，記為C1,C2,C3,C4,C5,C6。從這8人中隨機(jī)抽取2人，共有28種不同的取法，其中2人成績都在[90,100]的取法有15種，所以所求概率P=15/28。（12分）（Ⅰ）證明：因?yàn)锳A1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA1⊥AD。因?yàn)锳B=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC。又因?yàn)锽C∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（5分）（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1,1,0)，C1(0,2,2)。向量A1B=(2,0,-2)，向量AD=(1,1,0)，向量AC1=(0,2,2)。設(shè)平面ADC1的法向量n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC1=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)。設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ，則sinθ=|cos<A1B,n>|=|A1B·n|/(|A1B||n|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√8×√3)=0，所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。（12分）解：（Ⅰ）因?yàn)殡x心率e=c/a=√2/2，所以c=√2/2a，b2=a2-c2=a2/2。又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+(1/2)/b2=1，解得a2=2，b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（5分）（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{x2/2+y2=1,y=kx+m}，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0。則x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0。將x1+x2，x1x2代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得3m2=2k2+2。因?yàn)棣?16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2)=8(3m2/2+1-m2)=8(m2/2+1)>0恒成立，所以m2=2(k2+1)/3≥2/3，所以m2的取值范圍是[2/3,+∞)。（12分）解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2。令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2。當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。又因?yàn)間(1)=0，g(1/2)=ln(1/2)-1+2=1-ln2>0，g(e2)=2-2e2+2=4-2e2<0，所以存在x0∈(1/2,1)，使得g(x0)=0。當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,x0)，(1,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(x0,1)。（6分）（Ⅱ）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極大值，所以f'(1)=0，且當(dāng)x∈(1-δ,1)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x∈(1,1+δ)時(shí)，f'(x)<0（δ>0）。f''(x)=1/x-2a。若a≤0，則f''(x)=1/x-2a>0，f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)<f'(1)=0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)>f'(1)=0，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，不符合題意。若a>0，令f''(x)=0，得x=1/(2a)。當(dāng)x∈(0,1/(2a))時(shí)，f''(x)>0，f'(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/(2a),+∞)時(shí)，f''(x)<0，f'(x)單調(diào)遞減。若1/(2a)=1，即a=1/2，則f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤f'(1)=0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，無極值，不符合題意。若1/(2a)>1，即0<a<1/2，則f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)<f'(1)=0；當(dāng)x∈(1,1/(2a))時(shí)，f'(x)>f'(1)=0，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，不符合題意。若1/(2a)<1，即a>1/2，則f'(x)在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(1/(2a),1)時(shí)，f'(x)>f'(1)=0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)<f'(1)=0，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，符合題意。綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1/2,+∞)。（12分）（Ⅰ）證明：因?yàn)閍n+1=2an+2^n，所以an+1/2^(n+1)=an/2^n+1/2，即an+1/2^(n+1)-an/2^n=1/2。又因?yàn)閍1/2^1=1/2，所以數(shù)列{an/2^n}是以1/2為首項(xiàng)，1/2為公差的等差數(shù)列。（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an/2^n=1/2+(n-1)×1/2=n/2，所以an=n×2^(n-1)。則Sn=1×2^0+2×2^1+3×2^2+...+n×2^(n-1)，2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n，兩式相減得-Sn=1+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=2^n-1-n×2^n，所以Sn=(n-1)×2^n+1。（8分）（Ⅲ）解：bn=an/(n+1)=n×2^(n-1)/(n+1)。則Tn=1×2^0/2+2×2^1/3+3×2^2/4+...+n×2^(n-1)/(n+1)。2Tn=1×2^1/2+2×2^2/3+...+(n-1)×2^(n-1)/(n+1)+n×2^n/(n+1)，兩式相減得-Tn=1/2+2^1/(2×3)+2^2/(3×4)+...+2^(n-1)/(n(n+1))-n×2^n/(n+1)。因?yàn)?^(k-1)/(k(k+1))=2^(k-1)(1/k-1/(k+1))=2^(k-1