2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽抽屜原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）從1到2025的所有正整數(shù)中任取k個數(shù)，若要保證其中至少有兩個數(shù)的差是12的倍數(shù)，則k的最小值為（）A.12B.13C.2025D.2026在平面直角坐標系中，將每個整點（x,y）染成紅、藍、黃三種顏色之一，若任意兩個距離為√2的整點異色，則至少需要的顏色種數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5已知集合A={1,2,...,100}，從A中任取25個不同元素構(gòu)成子集B，則B中至少有兩個元素滿足|a-b|≤3的概率為（）A.0B.1/4C.1/2D.1將10×10的方格紙每個小方格染成黑色或白色，若每個2×2的正方形中都包含奇數(shù)個黑格，則至少有（）個黑格A.25B.50C.75D.100已知正整數(shù)n≥2，將n2個互不相同的實數(shù)填入n×n的方格表中，若每行每列都成等差數(shù)列，則表格中至少有（）個局部最大值（比相鄰格都大的數(shù)）A.1B.2C.nD.n2在半徑為1的圓內(nèi)任意放置7個點，則至少有兩個點之間的距離小于（）A.1/2B.√3/3C.√2/2D.1二、填空題（每題8分，共40分）將2025個蘋果放入63個抽屜，每個抽屜最多放k個蘋果，則k的最小值為________已知集合M={1,2,...,10}，A?,A?,...,A?是M的非空子集，且任意兩個子集的交集非空，則n的最大值為________在10×10的方格表中，至少需要標記________個格子，才能保證任意2×3或3×2的矩形中都至少有一個標記格將全體正整數(shù)染成4種顏色，若存在無窮多個同色正整數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則公差d的最小值為________在三維空間中，任意放置________個點（坐標為整數(shù)），則至少有兩個點的中點坐標為整數(shù)三、解答題（共80分）12.（15分）已知平面上有2025個點，任意三點不共線，求證：存在一個三角形，其面積不超過整個平面點集凸包面積的1/2024213.（15分）將正整數(shù)1到n2填入n×n的方格表中，每個數(shù)恰好出現(xiàn)一次，求證：存在兩個相鄰（具有公共邊）的方格，其數(shù)字差至少為n+114.（20分）設(shè)集合S是{1,2,...,2025}的子集，滿足對任意a,b∈S，都有|a-b|≠1且|a-b|≠4，求|S|的最大值15.（30分）在一次數(shù)學(xué)競賽中，有100名選手參賽，共5道題目，每題答對得1分，答錯得0分。已知：（1）任意3名選手都有一道共同答對的題目；（2）每題都有至少1名選手答錯。求證：存在一道題目，至少有75名選手答對。四、附加題（共20分）設(shè)n是正整數(shù)，將圓周上2n個點染成n種顏色，每種顏色恰有2個點，求證：存在n條互不相交的弦，每條弦連接同色的兩個點。設(shè)S是平面上所有整點構(gòu)成的集合，f:S→{1,2,...,k}是一個染色函數(shù)，若對任意向量v∈S{(0,0)}，都存在u∈S使得f(u)=f(u+v)，則k的最小值為________具體題目解析與設(shè)計說明選擇題設(shè)計思路考察抽屜原理基本形式，將整數(shù)按模12分類構(gòu)造12個抽屜結(jié)合平面幾何的染色問題，利用2×2方格的四色性構(gòu)造抽屜運用加乘原理與抽屜原理的綜合應(yīng)用，將集合分組構(gòu)造抽屜結(jié)合組合幾何中的染色問題，利用奇偶性構(gòu)造抽屜考察極端原理與抽屜原理的結(jié)合應(yīng)用經(jīng)典圓內(nèi)點集問題，通過六等分圓周構(gòu)造抽屜填空題命題特點直接應(yīng)用抽屜原理基本公式：?2025/63?=33考察子集族的交性質(zhì)，利用元素的子集構(gòu)造抽屜結(jié)合組合設(shè)計中的覆蓋問題，運用容斥原理涉及等差數(shù)列的染色問題，需構(gòu)造長度為5的公差序列三維空間整點問題，按坐標奇偶性分類構(gòu)造8個抽屜解答題難度梯度基礎(chǔ)題：利用凸包分割構(gòu)造抽屜中檔題：結(jié)合極端原理與反證法提高題：需構(gòu)造遞推關(guān)系與抽屜劃分綜合題：結(jié)合組合設(shè)計與概率方法附加題拓展方向組合幾何中的染色問題，需用數(shù)學(xué)歸納法抽象代數(shù)背景的染色問題，涉及群論基本思想本試卷嚴格遵循2025年高中數(shù)學(xué)競賽大綱要求，涵蓋抽屜原理的各類應(yīng)用場景：基本形式：n+1個元素放入n個抽屜加強形式：將kn+1個元素放入n個抽屜幾何應(yīng)用：距離、面積、體積相關(guān)問題染色問題：點、線段、區(qū)域的染色分類數(shù)論應(yīng)用：同余類、整除性、數(shù)列構(gòu)造組合設(shè)計：子集族、覆蓋、劃分問題題目難