2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)試卷一、選擇題（共5題，每題6分，共30分）1.數(shù)學(xué)建模的核心流程是（）A.問題分析→模型假設(shè)→模型求解→模型檢驗(yàn)B.數(shù)據(jù)收集→公式推導(dǎo)→結(jié)果輸出→論文撰寫C.變量定義→函數(shù)擬合→誤差分析→模型優(yōu)化D.問題抽象→算法設(shè)計(jì)→編程實(shí)現(xiàn)→可視化呈現(xiàn)2.在人口增長(zhǎng)模型中，若假設(shè)“人口增長(zhǎng)率與當(dāng)前人口數(shù)量成正比”，則適用的模型是（）A.線性增長(zhǎng)模型B.指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）C.Logistic增長(zhǎng)模型D.分段函數(shù)模型3.某電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)商品銷量與價(jià)格的關(guān)系時(shí)，收集到如下數(shù)據(jù)：|價(jià)格（元）|10|20|30|40|50||------------|----|----|----|----|----||銷量（件）|80|60|45|35|20|最適合描述兩者關(guān)系的函數(shù)類型是（）A.一次函數(shù)（線性函數(shù)）B.二次函數(shù)（拋物線）C.冪函數(shù)（如(y=ax^b)）D.指數(shù)函數(shù)（如(y=ae^{bx})）4.在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，“忽略空氣阻力對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)的影響”屬于（）A.數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化B.模型假設(shè)C.變量控制D.誤差修正5.下列問題中，不適合用數(shù)學(xué)建模解決的是（）A.預(yù)測(cè)某市未來5年的高考報(bào)名人數(shù)B.計(jì)算三角形的內(nèi)角和C.優(yōu)化學(xué)校食堂窗口的排隊(duì)效率D.分析疫情傳播的峰值時(shí)間二、填空題（共3題，每題10分，共30分）6.某城市2020年人口為100萬，若按每年2%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，且假設(shè)人口增長(zhǎng)符合指數(shù)模型，則2030年該城市人口約為______萬（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位，參考數(shù)據(jù)：(1.02^{10}≈1.219)）。7.某同學(xué)用最小二乘法擬合一組數(shù)據(jù)((x_i,y_i))，得到線性回歸方程為(\hat{y}=1.5x+2)。若樣本中心點(diǎn)為((4,\bar{y}))，則(\bar{y}=)______。8.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件A產(chǎn)品獲利3元，每件B產(chǎn)品獲利5元。生產(chǎn)1件A需2小時(shí)，生產(chǎn)1件B需3小時(shí)，每天總工時(shí)不超過12小時(shí)，且A產(chǎn)品每天最多生產(chǎn)3件。設(shè)每天生產(chǎn)A、B產(chǎn)品的數(shù)量分別為(x)、(y)，則利潤(rùn)最大化的目標(biāo)函數(shù)為(z=)，約束條件為（用不等式組表示）。三、建模應(yīng)用題（共2題，每題45分，共90分）第1題：校園共享單車投放優(yōu)化模型背景：某高中校園內(nèi)投放了共享單車，供師生出行使用。目前存在“高峰時(shí)段部分區(qū)域車輛不足，非高峰時(shí)段車輛積壓”的問題。學(xué)校計(jì)劃根據(jù)師生出行數(shù)據(jù)優(yōu)化車輛投放方案。數(shù)據(jù)：校園內(nèi)劃分為3個(gè)區(qū)域：教學(xué)區(qū)（A）、宿舍區(qū)（B）、運(yùn)動(dòng)區(qū)（C）。早高峰（7:00-8:00）師生出行需求：A→B：50人次，B→A：100人次，A→C：20人次，C→A：10人次，B→C：5人次，C→B：15人次。晚高峰（17:00-18:00）師生出行需求：A→B：120人次，B→A：40人次，A→C：30人次，C→A：5人次，B→C：40人次，C→B：20人次。每輛共享單車可滿足1人次出行需求，且假設(shè)車輛在高峰時(shí)段內(nèi)僅完成一次騎行。問題：（1）定義變量并建立早高峰時(shí)段各區(qū)域車輛供需平衡的數(shù)學(xué)模型（需考慮區(qū)域間的車輛流動(dòng)）；（2）若早高峰前各區(qū)域初始車輛數(shù)為A區(qū)80輛、B區(qū)60輛、C區(qū)30輛，判斷是否滿足早高峰需求，并計(jì)算缺口或積壓數(shù)量；（3）提出一種優(yōu)化車輛投放的方案，使早高峰和晚高峰的供需缺口均小于10輛（需說明方案思路及具體數(shù)據(jù)）。第2題：疫情傳播的SEIR模型應(yīng)用背景：SEIR模型是傳染病傳播的經(jīng)典模型，將人群分為四類：S（易感者）：未感染但可能被傳染的人；E（潛伏者）：已感染但未發(fā)病的人；I（感染者）：已發(fā)病且具有傳染性的人；R（康復(fù)者）：已康復(fù)且獲得免疫的人。模型假設(shè)：總?cè)丝跀?shù)量(N=S+E+I+R)保持不變；每天有比例為(\beta)的易感者被感染者傳染，轉(zhuǎn)化為潛伏者；潛伏者以每天(\alpha)的比例轉(zhuǎn)化為感染者；感染者以每天(\gamma)的比例康復(fù)，轉(zhuǎn)化為康復(fù)者；初始時(shí)刻（(t=0)）：(S(0)=9990)，(E(0)=10)，(I(0)=0)，(R(0)=0)，(N=10000)。問題：（1）根據(jù)假設(shè)寫出SEIR模型的微分方程組；（2）若參數(shù)(\beta=0.3)，(\alpha=0.1)，(\gamma=0.2)，計(jì)算第1天（(t=1)）的(S(1))、(E(1))、(I(1))（使用離散化近似：(\DeltaS=-\betaSI/N)，(\DeltaE=\betaSI/N-\alphaE)，(\DeltaI=\alphaE-\gammaI)，(\DeltaR=\gammaI)）；（3）若通過戴口罩將傳染率(\beta)降低50%，分析對(duì)疫情峰值（即最大感染者數(shù)量(I_{\text{max}})）的影響（只需定性說明，無需計(jì)算具體數(shù)值）。四、開放性建模題（共60分）背景：隨著短視頻平臺(tái)的興起，中學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)長(zhǎng)逐漸增加。某校為制定合理的手機(jī)管理政策，計(jì)劃研究“學(xué)生每日手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系”。任務(wù)：（1）設(shè)計(jì)一個(gè)可操作的數(shù)據(jù)收集方案（需說明樣本選擇、變量定義、數(shù)據(jù)類型及收集工具）；（2）提出至少3個(gè)可能影響兩者關(guān)系的干擾因素，并說明如何在模型中控制這些因素；（3）選擇一種合適的數(shù)學(xué)模型（如線性回歸、分段函數(shù)等），寫出模型表達(dá)式并解釋變量含義；（4）若收集數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)“手機(jī)使用時(shí)長(zhǎng)與成績(jī)呈微弱負(fù)相關(guān)”，能否得出“減少手機(jī)使用必然提高成績(jī)”的結(jié)論？請(qǐng)從建模角度分析原因。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）選擇題：1.A2.B3.A4.B5.B填空題：6.121.9；7.8；8.(z=3x+5y)，約束條件：(2x+3y\leq12)，(x\leq3)，(x,y\in\mathbb{N})建模應(yīng)用題：需體現(xiàn)變量定義、方程構(gòu)建、數(shù)據(jù)代入及結(jié)果分析的完整性；開放性建模題：需體