2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)符號運用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合(A={x\midx^2-3x+2=0})，(B={x\midx\in\mathbb{N}^*\text{且}x<3})，則下列符號表示正確的是（）A.(A\subseteqB)B.(B\subsetneqqA)C.(A\capB=\varnothing)D.(A\cupB={1,2,3})2.函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)})的定義域用區(qū)間表示為（）A.((1,+\infty))B.([2,+\infty))C.((1,2])D.([1,+\infty))3.設(shè)向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec=(1,m+1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則實數(shù)(m)的值為（）A.(-\frac{2}{3})B.(\frac{2}{3})C.(-2)D.(2)4.已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2i}{1+i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)（）A.(1)B.(\sqrt{2})C.(2)D.(2\sqrt{2})5.若(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，則(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=)（）A.(-\frac{\sqrt{2}}{10})B.(\frac{\sqrt{2}}{10})C.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})D.(\frac{7\sqrt{2}}{10})6.已知數(shù)列({a_n})為等差數(shù)列，(S_n)為其前(n)項和，若(a_3+a_7=18)，(S_9=81)，則(a_5=)（）A.(7)B.(8)C.(9)D.(10)7.函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))B.((0,2))C.((-\infty,1))D.((1,+\infty))8.若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)9.已知(\alpha)，(\beta)是兩個不同的平面，(m)，(n)是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）A.若(m\parallel\alpha)，(m\parallel\beta)，則(\alpha\parallel\beta)B.若(m\perp\alpha)，(n\perp\alpha)，則(m\paralleln)C.若(m\subset\alpha)，(n\subset\beta)，(m\perpn)，則(\alpha\perp\beta)D.若(m\subset\alpha)，(\alpha\parallel\beta)，則(m\parallel\beta)10.某學(xué)校高二年級有(5)個班級，現(xiàn)要從中選出(2)個班級參加一項活動，若(A)班被選中的概率為(\frac{2}{5})，則未被選中的班級數(shù)為（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)11.已知函數(shù)(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(\omega)和(\varphi)的值分別為（）A.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{6})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{6})D.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{3})12.設(shè)函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})若(f(a)=f(-a))，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([-1,1])B.((-\infty,-1]\cup[1,+\infty))C.([-1,0)\cup(0,1])D.((-\infty,0)\cup(0,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{an^2+bn+1}{2n+3}=2)，則(a+b=)________。14.二項式((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^6)的展開式中，常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）。15.已知圓(C:x^2+y^2-4x+2y+1=0)，則過圓心(C)且與直線(2x-y+3=0)垂直的直線方程為________。16.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)，若對于任意(x_1,x_2\in[-2,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leqm)，則實數(shù)(m)的最小值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。18.（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，且滿足(b\cosA=(2c-a)\cosB)。（1）求角(B)的大??；（2）若(b=2\sqrt{3})，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面積。19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。20.（本小題滿分12分）為了研究某地區(qū)中學(xué)生的視力情況，隨機抽取了該地區(qū)(100)名中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：視力情況男生女生總計近視302050不近視203050總計5050100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有(95%)的把握認(rèn)為“視力情況與性別有關(guān)”；（2）從這(100)名學(xué)生中，按視力情況用分層抽樣的方法抽取(10)人，再從這(10)人中隨機抽取(3)人，求至少有(1)人近視的概率。參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。參考數(shù)據(jù)：|(P(K^2\geqk_0))|0.050|0.010|0.001||-----------------------|-------|-------|-------||(k_0)|3.841|6.635|10.828|21.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求證：點(O)到直線(l)的距離為定值。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求實數(shù)(a)的取值范圍；（3）若對任意(x_1,x_2\in(0,+\infty))，且(x_1\neqx_2)，都有(f(x_1)+f(x_2)<2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right))，求實數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.B3.A4.B5.A6.C7.B8.A9.B10.C11.A12.C二、填空題(4)14.(15)15.(x+2y+3=0)16.(4)三、解答題17.（1）證明：由(a_{n+1}=2a_n+1)，得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))。又(a_1+1=2\neq0)，故數(shù)列({a_n+1})是以(2)為首項，(2)為公比的等比數(shù)列。（5分）（2）解：由（1）知(a_n+1=2^n)，則(a_n=2^n-1)。故(S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^n-1)=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-n-2)。（10分）18.（1）解：由正弦定理得(\sinB\cosA=(2\sinC-\sinA)\cosB)，即(\sin(A+B)=2\sinC\cosB)。因為(A+B=\pi-C)，所以(\sinC=2\sinC\cosB)。又(\sinC\neq0)，故(\cosB=\frac{1}{2})。因為(B\in(0,\pi))，所以(B=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）解：由余弦定理得(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，即(12=(a+c)^2-3ac)。因為(a+c=4)，所以(ac=\frac{4}{3})。故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）19.（1）證明：連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，連接(OD)。因為直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\parallelCC_1)且(AA_1=CC_1)，所以四邊形(ACC_1A_1)為平行四邊形，故(O)為(A_1C)的中點。又(D)為(BC)的中點，所以(OD\parallelA_1B)。因為(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）解：以(A)為原點，(AB)，(AC)，(AA_1)所在直線分別為(x)軸，(y)軸，(z)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))。(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，(\overrightarrow{DC_1}=(-1,1,2))，(\overrightarrow{DC}=(-1,1,0))。設(shè)平面(ADC_1)的法向量為(\vec{n}=(x_1,y_1,z_1))，則(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AD}=0,\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC_1}=0,\end{cases})即(\begin{cases}x_1+y_1=0,\2y_1+2z_1=0,\end{cases})取(x_1=1)，得(\vec{n}=(1,-1,1))。設(shè)平面(DC_1C)的法向量為(\vec{m}=(x_2,y_2,z_2))，則(\begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{DC_1}=0,\\vec{m}\cdot\overrightarrow{DC}=0,\end{cases})即(\begin{cases}-x_2+y_2+2z_2=0,\-x_2+y_2=0,\end{cases})取(x_2=1)，得(\vec{m}=(1,1,0))。故(\cos\langle\vec{n},\vec{m}\rangle=\frac{\vec{n}\cdot\vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{1-1+0}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=0)。由圖可知二面角(A-DC_1-C)為銳角，故其余弦值為(\frac{\sqrt{6}}{6})。（12分）20.（1）解：(K^2=\frac{100\times(30\times30-20\times20)^2}{50\times50\times50\times50}=4)。因為(4>3.841)，所以有(95%)的把握認(rèn)為“視力情況與性別有關(guān)”。（6分）（2）解：抽取的(10)人中，近視(5)人，不近視(5)人。記“至少有(1)人近視”為事件(A)，則(P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{\binom{5}{3}}{\binom{10}{3}}=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12})。（12分）21.（1）解：由題意得(\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1,\a^2=b^2+c^2,\end{cases})解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（4分）（2）證明：聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m,\\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1,\end{cases})得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即(x_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=0)，整理得((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)。代入韋達(dá)定理，化簡得(4m^2=8(1+k^2))，即(m^2=2(1+k^2))。故點(O)到直線(l)的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2})，為定值。（12分）22.（1）解：當(dāng)(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)。當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時，(g'(x)>0)；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時，(g'(x)<0)。故(g(x))在((0,\frac{1}{2}))上單調(diào)遞增，在((\frac{1}{2},+\infty))上單調(diào)遞減，且(g(1)=0)，(g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0)，(g(e^{-2})=-2-2e^{-2}+2=-2e^{-2}<0)。因此(f'(x))在((0,\frac{1}{2}))上存在唯一零點(x_0)，在((\frac{1}{2},+\infty))上零點為(x=1)。故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((x_0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((0,x_0))，((1,+\infty))。（4分）（2）解：(f'(x)=\lnx-2ax+2a)。由題意得(f'(x)\leq0)在((1,+\infty))上恒成立，即(\lnx\leq2a(x