2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)激勵(lì)性試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與函數(shù)基礎(chǔ)設(shè)集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，(B={x|x^2-4x+3\leq0})，則(A\capB=)（）A.([1,5))B.((1,3])C.([2,3])D.((1,5))解析提示：先解對(duì)數(shù)不等式確定集合(A)，再解二次不等式確定集合(B)，最后通過數(shù)軸求交集。注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性的應(yīng)用。2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3})+\cos(2x))的最小正周期和最大值分別為（）A.(\pi,\sqrt{2})B.(\pi,2)C.(2\pi,\sqrt{3})D.(\pi,\sqrt{3})解析提示：利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)為(A\sin(\omegax+\varphi)+B)的形式，再根據(jù)公式(T=\frac{2\pi}{|\omega|})求周期，結(jié)合正弦函數(shù)的值域求最大值。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用曲線(y=x^3-3x^2+2x)在點(diǎn)((1,0))處的切線方程為（）A.(y=-x+1)B.(y=x-1)C.(y=2x-2)D.(y=-2x+2)解析提示：先求導(dǎo)函數(shù)(f'(x))，代入(x=1)得切線斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程。注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”的區(qū)別。4.數(shù)列的遞推關(guān)系與求和已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3)，則數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n=)（）A.(2^{n+2}-3n-4)B.(2^{n+1}-3n-2)C.(2^n-3n+2)D.(2^{n+1}-n-2)解析提示：通過構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式，設(shè)(a_{n+1}+t=2(a_n+t))，解出(t)后得到({a_n+t})為等比數(shù)列，再用分組求和法求(S_n)。5.立體幾何中的體積計(jì)算在棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為棱(CC_1)的中點(diǎn)，則三棱錐(A-BDE)的體積為（）A.(\frac{2}{3})B.(\frac{4}{3})C.(2)D.(\frac{8}{3})解析提示：利用等體積法轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，例如以(A)為頂點(diǎn)時(shí)，底面(BDE)的面積可通過三角形面積公式計(jì)算，高為正方體棱長(zhǎng)的一半。6.解析幾何中的離心率問題已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一條漸近線方程為(y=\sqrt{3}x)，且過點(diǎn)((2,3))，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(2)C.(\sqrt{3})D.(3)解析提示：漸近線方程(y=\frac{a}x)給出(\frac{a}=\sqrt{3})，代入點(diǎn)((2,3))得關(guān)于(a^2,b^2)的方程，結(jié)合(c^2=a^2+b^2)及離心率公式(e=\frac{c}{a})求解。7.概率與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校高二年級(jí)有500名學(xué)生，其中男生300人，女生200人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取50人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為（）A.20B.25C.30D.35解析提示：分層抽樣需按比例分配樣本容量，女生抽取比例為(\frac{200}{500})，乘以總樣本數(shù)50即可。8.不等式的綜合應(yīng)用若正數(shù)(x,y)滿足(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為（）A.(3+2\sqrt{2})B.(4+\sqrt{2})C.(5)D.(6)解析提示：利用“1的代換”將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為((\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+2y))，展開后用基本不等式求最小值，注意等號(hào)成立的條件。9.空間向量與立體幾何在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB\perpAC)，(AB=AC=AA_1=2)，則異面直線(A_1B)與(AC_1)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})解析提示：建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量(\overrightarrow{A_1B})和(\overrightarrow{AC_1})，利用向量夾角公式(\cos\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec|}{|\vec{a}||\vec|})求解。10.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根函數(shù)(f(x)=e^x-x-2)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A.((-1,0))B.((0,1))C.((1,2))D.((2,3))解析提示：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，計(jì)算(f(1))和(f(2))的值，判斷其符號(hào)是否相反。注意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)唯一。11.圓錐曲線的綜合問題已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.(2)C.(3)D.(4)解析提示：利用拋物線的定義（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離）求出點(diǎn)(A)的橫坐標(biāo)，設(shè)直線(AB)的方程，聯(lián)立拋物線方程求解點(diǎn)(B)的坐標(biāo)，再求(|BF|)。12.創(chuàng)新題型：數(shù)學(xué)文化與實(shí)際應(yīng)用《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“直角三角形的兩條直角邊分別為8步和15步，求其內(nèi)切圓的直徑?！眲t該內(nèi)切圓的直徑為（）A.3步B.4步C.5步D.6步解析提示：先根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)度，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式(r=\frac{a+b-c}{2})（其中(a,b)為直角邊，(c)為斜邊）計(jì)算半徑，進(jìn)而得到直徑。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.復(fù)數(shù)的運(yùn)算已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。思路點(diǎn)撥：先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為(a+bi)的形式，再用模長(zhǎng)公式(|z|=\sqrt{a^2+b^2})計(jì)算。也可直接利用性質(zhì)(|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|})快速求解。14.數(shù)列的性質(zhì)已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)________。思路點(diǎn)撥：利用等差數(shù)列的性質(zhì)“若(m+n=p+q)，則(a_m+a_n=a_p+a_q)”，可得(a_1+a_9=a_3+a_7=10)，再代入求和公式(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2})。15.立體幾何中的球與體積已知三棱錐(P-ABC)的四個(gè)頂點(diǎn)都在球(O)的球面上，(PA=PB=PC=2)，且(PA,PB,PC)兩兩垂直，則球(O)的體積為________。思路點(diǎn)撥：將三棱錐補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為2的正方體，正方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的直徑等于正方體的體對(duì)角線，進(jìn)而求出半徑和體積。16.函數(shù)與不等式的綜合已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(x)\geqax)恒成立，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是________。思路點(diǎn)撥：分(x\leq0)和(x>0)兩種情況討論，將不等式轉(zhuǎn)化為(a\leq\frac{f(x)}{x})（或(a\geq\frac{f(x)}{x})），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)而確定(a)的范圍。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）三角函數(shù)與解三角形在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosC=(2a-c)\cosB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=\sqrt{7})，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面積。解答提示：（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合(A+B+C=\pi)化簡(jiǎn)等式，求出(\cosB)；（2）利用余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，結(jié)合(a+c=4)求出(ac)，再代入面積公式(S=\frac{1}{2}ac\sinB)。18.（本小題滿分12分）數(shù)列的通項(xiàng)與求和已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(S_n=2a_n-2)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列(\left{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\right})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解答提示：（1）利用(a_n=S_n-S_{n-1})（(n\geq2)）推導(dǎo)遞推關(guān)系，證明({a_n})為等比數(shù)列，結(jié)合(a_1=S_1)求通項(xiàng)；（2）先求(b_n)，再將(\frac{1}{b_nb_{n+1}})裂項(xiàng)為(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})，用裂項(xiàng)相消法求(T_n)。19.（本小題滿分12分）立體幾何證明與體積計(jì)算如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，(E)是(PD)的中點(diǎn)。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求三棱錐(E-PCD)的體積。解答提示：（1）取(PC)的中點(diǎn)(F)，構(gòu)造中位線(EF)，證明四邊形(ABEF)為平行四邊形，進(jìn)而得到(AE\parallelBF)，由線面平行的判定定理得證；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，(V_{E-PCD}=V_{C-PED})，求出底面(\trianglePED)的面積和高（點(diǎn)(C)到平面(PAD)的距離）。20.（本小題滿分12分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1)。（1）若(a=1)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((2,3))上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解答提示：（1）求導(dǎo)得(f'(x)=3x^2-6x+3)，令(f'(x)>0)和(f'(x)<0)，解不等式得單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為(f'(x)\geq0)在((2,3))上恒成立，分離參數(shù)得(a\leq\frac{x^2+1}{2x})，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)(g(x)=\frac{x^2+1}{2x})在((2,3))上的最小值。21.（本小題滿分12分）圓錐曲線的綜合問題已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。解答提示：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})和(a^2=b^2+c^2)，結(jié)合點(diǎn)((2,1))在橢圓上，聯(lián)立方程求(a^2,b^2)；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示(x_1+x_2,x_1x_2)，由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})得出(m)與(k)的關(guān)系，再用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求面積，化簡(jiǎn)證明其為定值。22.（本小題滿分12分）概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)建模為了研究某學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，得到他們每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與期末數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）的數(shù)據(jù)如下表：學(xué)習(xí)時(shí)間(x)46710131516182022數(shù)學(xué)成績(jī)(y)4060557585809095100105（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖（要求：在答題紙上用直尺作圖，標(biāo)明橫縱坐標(biāo)）；（2）求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})（其中(\hat)保留兩位小數(shù)，(\hat{a})保留一位小數(shù)）；（3）若某學(xué)生每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間為25小時(shí)，預(yù)測(cè)其數(shù)學(xué)成績(jī)（精確到整數(shù)）。參考公式：線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})中，(\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x})；參考數(shù)據(jù)：(\sum_{i=1}^{10}x_i=131)，(\sum_{i=1}^{10}y_i=785)，(\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=11590)，(\sum_{i=1}^{10}x_i^2=1985)。解答提示：（1）注意橫縱坐標(biāo)的刻度均勻，點(diǎn)的位置準(zhǔn)確；（2）先計(jì)算(\bar{x}=13.1)，(\bar{y}=78.5)，代入公式求(\hat)和(\hat{a})；（3）將(x=25)代入回歸方程計(jì)算(\hat{y})。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共