2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)常模參照評(píng)價(jià)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分）已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={x|x^2-4x+3\leq0})，則(A\capB)的真子集個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.7D.8某外賣平臺(tái)騎手在市區(qū)內(nèi)配送，其配送區(qū)域可抽象為平面直角坐標(biāo)系中的區(qū)域(D)：(x\geq0)，(y\geq0)，(x+2y\leq8)。若每單配送收入與行駛路程成正比，騎手從原點(diǎn)出發(fā)，需將一份訂單送至點(diǎn)((4,2))，則最優(yōu)路徑的行駛路程為（）A.(2\sqrt{5})B.6C.(4+2\sqrt{2})D.8函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})的圖像大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)B.關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D.無法確定奇偶性在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則異面直線(PB)與(AC)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{5}}{5})B.(\frac{2\sqrt{5}}{5})C.(\frac{\sqrt{10}}{10})D.(\frac{3\sqrt{10}}{10})已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|^2+\text{Re}(z))的值為（）A.(\frac{7}{2})B.4C.(\frac{9}{2})D.5某地區(qū)2025年1月至6月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）數(shù)據(jù)如下表所示：|月份|1|2|3|4|5|6||------|---|---|---|---|---|---||CPI|102.3|102.5|102.1|101.8|101.6|101.4|若用線性回歸模型擬合CPI與月份（記1月為(x=1)）的關(guān)系，則6月份的預(yù)測值與實(shí)際值的差為（）A.0.1B.-0.2C.0.3D.-0.4在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的內(nèi)切圓半徑為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{2})B.(\sqrt{2})C.(\frac{\sqrt{3}}{2})D.(\sqrt{3})已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，則(a_5=)（）A.131B.142C.153D.164已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm3)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)研發(fā)的檢測試劑盒中，疾病患者檢測結(jié)果為陽性的概率為95%，健康人檢測結(jié)果為陰性的概率為90%。已知該疾病在人群中的發(fā)病率為0.5%，若某人檢測結(jié)果為陽性，則其實(shí)際患病的概率約為（）A.4.5%B.5.0%C.9.5%D.10.0%二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha-\cos2\alpha}=)________。已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)________。某工廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布(N(50,4))（單位：mm），現(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取100個(gè)，其中尺寸在((48,54])內(nèi)的零件個(gè)數(shù)約為________（參考數(shù)據(jù)：(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6827)，(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9545)）。函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值與最小值之和為________。已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一條漸近線方程為(y=\sqrt{3}x)，且過點(diǎn)((2,3))，則該雙曲線的焦距為________。中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“芻甍”（chúméng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體。若某芻甍的底面矩形長為4，寬為2，頂部棱長為2，且與底面矩形的長邊平行，高為3，則該芻甍的體積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_2=5)，(a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且(2\cosA(b\cosC+c\cosB)=a)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=\sqrt{7})，(b+c=4)，求(\triangleABC)的面積。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=BC=AC=2)，(AA_1=3)，(D)為(CC_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\perpAD)；（2）求二面角(B-AD-C)的余弦值。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OM\perpON)，求(m^2)的取值范圍。（12分）為了研究某新型疫苗的有效性，某科研機(jī)構(gòu)進(jìn)行了臨床試驗(yàn)。試驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)組接種疫苗，對(duì)照組接種安慰劑，兩組各有1000人。試驗(yàn)結(jié)果顯示：實(shí)驗(yàn)組中有10人感染，對(duì)照組中有50人感染。（1）根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為疫苗有效？（參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)）（2）若該疫苗對(duì)某類高危人群的保護(hù)率為90%（保護(hù)率=1-感染率），現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽取5人接種疫苗，求至少有4人未感染的概率。（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{\ln2}{2})（(n\in\mathbb{N}^*)）。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.B3.A4.C5.C6.B7.A8.B9.A10.A二、填空題(\frac{11}{5})12.913.8114.415.616.12三、解答題（部分詳解）（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，則(\begin{cases}a_1+d=5\a_1+4d=14\end{cases})，解得(a_1=2)，(d=3)，所以(a_n=3n-1)。（2）(b_n=2^{3n-1}=\frac{1}{2}\cdot8^n)，則(S_n=\frac{1}{2}(8+8^2+\cdots+8^n)=\frac{4(8^n-1)}{7})。（1）(f'(x)=e^x-a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，令(f'(x)=0)，得(x=\lna)，則(f(x))在((-\infty,\lna))上單調(diào)遞減，在((\lna,+\infty))上單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1)，令(g(a)=a-a\lna-1)，則(g'(a)=-\lna)，當(dāng)(a=1)時(shí)，(g(a){\max}=0)，故(a=1)。（3）由（2）知(e^x\geqx+1)，令(x=-\frac{k}{n})（(k=1,2,\cdots,n)），則(e^{-\frac{k}{n}}\geq1-\frac{k}{n})，即(\frac{1}{e^{\frac{k}{n}}}\geq\frac{n-k}{n})，兩邊取對(duì)數(shù)得(-\fra