2025年下學期高中數(shù)學分級考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,3]C.(1,2]D.[2,+∞)復數(shù)z滿足z·i=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，則m=（）A.-4B.4C.-9D.9函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=2，S3=15，則a5=（）A.8B.10C.12D.14某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖像關于直線x=π/6對稱，則φ=（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=1，則輸出的y=（）A.2B.3C.4D.5已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，過點A作準線l的垂線，垂足為C，若|AF|=4，則|BC|=（）A.3B.4C.5D.6已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，若對于任意x1,x2∈[0,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則m的最小值是（）A.0B.1C.2D.3在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積是（）A.13πB.25πC.34πD.50π已知函數(shù)f(x)=e^x-ax-1(a∈R)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在唯一的極值點，則a的取值范圍是（）A.(1/e,e)B.[1/e,e]C.(1,e)D.[1,e]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項式(2x-1)^5的展開式中x2的系數(shù)是________。已知tanα=2，則sin2α+cos2α=________。已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的標準方程是________。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x)>x的解集是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=(2c-a)cosB。（1）求角B的大??；（2）若b=3，△ABC的面積為3√3/2，求a+c的值。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，從高二年級隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績測試，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該校高二年級共有1000名學生，估計數(shù)學成績在[80,100]的學生人數(shù)；（3）從成績在[50,60)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D，E分別是A1B1，BB1的中點。（1）求證：DE∥平面A1BC；（2）求二面角A-A1C-E的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，且f(x2)-f(x1)≤3ln2-3/2，求a的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+2cosα,y=2sinα}(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ。（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）設P是曲線C1上的動點，Q是曲線C2上的動點，求|PQ|的最小值。參考答案及評分標準一、選擇題B2.B3.D4.A5.C6.B7.B8.C9.D10.C11.C12.A二、填空題-8014.115.x2/3-y2/6=116.(-∞,-1)∪(3,+∞)三、解答題解：（1）由正弦定理得sinBcosA=(2sinC-sinA)cosB，即sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，sin(A+B)=2sinCcosB，因為A+B+C=π，所以sinC=2sinCcosB，又因為sinC≠0，所以cosB=1/2，因為0<B<π，所以B=π/3。（2）由三角形面積公式得1/2acsinB=3√3/2，即1/2ac·√3/2=3√3/2，解得ac=6，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即9=a2+c2-2×6×1/2，a2+c2=15，所以(a+c)2=a2+c2+2ac=15+12=27，所以a+c=3√3。解：（1）平均數(shù)x?=55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=78.5，方差s2=(55-78.5)2×0.05+(65-78.5)2×0.15+(75-78.5)2×0.30+(85-78.5)2×0.35+(95-78.5)2×0.15=112.25。（2）數(shù)學成績在[80,100]的頻率為0.35+0.15=0.5，所以估計數(shù)學成績在[80,100]的學生人數(shù)為1000×0.5=500。（3）成績在[50,60)的學生有100×0.05=5人，記為A,B,C,D,E，成績在[90,100]的學生有100×0.15=15人，記為1,2,...,15，從這20名學生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為C202=190，這2人成績都在[90,100]的基本事件數(shù)為C152=105，所以所求概率P=105/190=21/38。（1）證明：取A1B的中點F，連接CF，DF，因為D，F(xiàn)分別是A1B1，A1B的中點，所以DF∥BB1，DF=1/2BB1，又因為E是BB1的中點，所以BE=1/2BB1，所以DF∥BE，DF=BE，所以四邊形DFBE是平行四邊形，所以DE∥BF，因為BF?平面A1BC，DE?平面A1BC，所以DE∥平面A1BC。（2）解：以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(0,2,1)，向量CA1=(2,0,2)，CE=(0,2,1)，設平面A1CE的法向量n=(x,y,z)，則{n·CA1=0,n·CE=0}，即{2x+2z=0,2y+z=0}，令z=-2，則x=2，y=1，所以n=(2,1,-2)，平面A1CA的一個法向量m=(0,1,0)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/3，由圖可知二面角A-A1C-E為銳角，所以二面角A-A1C-E的余弦值為1/3。解：（1）由題意得{e=c/a=√3/2,4/a2+1/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=8,b2=2}，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1。（2）證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/8+y2/2=1}，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，則Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)，因為kOA·kOB=y1y2/x1x2=-1/4，所以(m2-8k2)/(4m2-8)=-1/4，即4m2-32k2=-4m2+8，8m2=32k2+8，m2=4k2+1，|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)·√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)·√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)·√[16(8k2-m2+2)]/(1+4k2)=√(1+k2)·√[16(8k2-4k2-1+2)]/(1+4k2)=√(1+k2)·√[16(4k2+1)]/(1+4k2)=4√(1+k2)·√(4k2+1)/(1+4k2)，點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(4k2+1)/√(1+k2)，所以△AOB的面積S=1/2|AB|d=1/2×4√(1+k2)·√(4k2+1)/(1+4k2)×√(4k2+1)/√(1+k2)=2(4k2+1)/(1+4k2)=2，所以△AOB的面積為定值2。解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax-1)(x-1)/x，①當a≤0時，2ax-1<0，令f'(x)>0，則0<x<1，令f'(x)<0，則x>1，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減；②當a>0時，令f'(x)=0，則x=1或x=1/(2a)，（i）當1/(2a)=1，即a=1/2時，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（ii）當1/(2a)<1，即a>1/2時，令f'(x)>0，則0<x<1/(2a)或x>1，令f'(x)<0，則1/(2a)<x<1，所以f(x)在(0,1/(2a))和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1/(2a),1)上單調(diào)遞減；（iii）當1/(2a)>1，即0<a<1/2時，令f'(x)>0，則0<x<1或x>1/(2a)，令f'(x)<0，則1<x<1/(2a)，所以f(x)在(0,1)和(1/(2a),+∞)上單調(diào)遞增，在(1,1/(2a))上單調(diào)遞減。（2）由（1）知，當0<a<1/2時，函數(shù)f(x)有兩個極值點x1=1，x2=1/(2a)，f(x2)-f(x1)=ln(1/(2a))+a(1/(2a))2-(2a+1)(1/(2a))-[ln1+a×12-(2a+1)×1]=-ln(2a)+1/(4a)-(1+1/(2a))-a+2a+1=-ln(2a)-1/(4a)+a，令t=2a(0<t<1)，則f(x2)-f(x1)=-lnt-1/(2t)+t/2，設g(t)=-lnt-1/(2t)+t/2(0<t<1)，則g'(t)=-1/t+1/(2t2)+1/2=(t2-2t+1)/(2t2)=(t-1)2/(2t2)≥0，所以g(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，因為f(x2)-f(x1)≤3ln2-3/2，所以g(t)≤3ln2-3/2，又因為g(1/4)=-ln(1/4)-1/(2×1/4)+(1/4)/2=2ln2-2+1/8=2ln2-15/8<3ln2-3/2，g(1/2)=-ln(1/2)-1/(2×1/2)+(1/2)/2=ln2-1+1/4=ln2-3/4<3ln2-3/2，g(1)=-ln1-1/2+1/2=0<3ln2-