2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)Groebner基技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）設(shè)多項式環(huán)(k[x_1,x_2,\cdots,x_n])中理想(I=\langlef_1,f_2,\cdots,f_s\rangle)，則Groebner基的核心作用是（）A.簡化多項式的次數(shù)B.判斷多項式是否屬于理想(I)C.求解多項式方程組的數(shù)值解D.證明多項式的不可約性在Groebner基的計算中，單項式序的選擇直接影響基的結(jié)構(gòu)。下列關(guān)于字典序（lexorder）的說法正確的是（）A.先比較單項式的總次數(shù)，次數(shù)低的單項式更小B.按變量下標(biāo)的優(yōu)先級排序，與次數(shù)無關(guān)C.對任意兩個單項式(x^\alpha)和(x^\beta)，先比較(\alpha_1)與(\beta_1)，若相等再比較(\alpha_2)與(\beta_2)，以此類推D.是唯一能用于計算Groebner基的單項式序設(shè)(f=x^2y+z)，(g=xy-z^2)，在字典序(x>y>z)下，(\text{LT}(f))和(\text{LT}(g))分別為（）A.(x^2y)，(xy)B.(x^2y)，(-z^2)C.(z)，(xy)D.(x^2y)，(z^2)關(guān)于S-多項式（S-polynomial）的定義，下列正確的是（）A.(S(f,g)=\frac{\text{LCM}(\text{LT}(f),\text{LT}(g))}{\text{LT}(f)}f-\frac{\text{LCM}(\text{LT}(f),\text{LT}(g))}{\text{LT}(g)}g)B.(S(f,g)=\text{LCM}(\text{LT}(f),\text{LT}(g))\cdot(f-g))C.(S(f,g)=\text{LM}(f)g-\text{LM}(g)f)（其中(\text{LM}(f))表示首單項式）D.(S(f,g)=f-g)的余式若理想(I)的Groebner基為(G={g_1,g_2,\cdots,g_t})，則下列結(jié)論不成立的是（）A.(\langleG\rangle=I)B.對任意(f\ink[x_1,\cdots,x_n])，(f\modG)的結(jié)果唯一C.(G)中的元素均為首一多項式D.(G)的簡化Groebner基是唯一的用Buchberger算法計算Groebner基時，需要不斷添加S-多項式對(G)的余式。若某S-多項式的余式為0，則（）A.該S-多項式對應(yīng)的對無需處理，繼續(xù)檢查其他對B.需將余式添加到Groebner基中C.說明當(dāng)前基已不是Groebner基，需重新計算D.表明理想(I)是平凡理想（即整個多項式環(huán)）設(shè)(I=\langlex^2-y,xy-z\rangle)，在字典序(x>y>z)下，其Groebner基可能包含的多項式是（）A.(x^2-y)B.(y^2-xz)C.(z^2-x^3y)D.(x-yz)Groebner基在代數(shù)幾何中的應(yīng)用是（）A.計算代數(shù)簇的維數(shù)B.證明代數(shù)曲線的光滑性C.構(gòu)造代數(shù)簇的參數(shù)方程D.判斷代數(shù)簇的不可約性下列關(guān)于Groebner基與線性代數(shù)中“基”的類比，正確的是（）A.兩者都是生成整個空間/理想的最小集合B.Groebner基中的元素一定線性無關(guān)C.線性基的高斯消元法與Groebner基的Buchberger算法都通過“消元”實現(xiàn)簡化D.兩者的基都具有唯一性設(shè)(f=x^3-2xy+z^2)，(g=x^2y-z)，在分次反字典序（degrevlex）下，(\text{LT}(f))和(\text{LT}(g))的次數(shù)分別為（）A.3，3B.3，2C.2，3D.3，1二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）設(shè)(f=2x^2y-3z)，(g=x^2y+z)，則(f)與(g)的S-多項式(S(f,g)=)__________。在字典序(x>y>z)下，單項式(x^2yz^3)的全次數(shù)為__________，首項為__________。若理想(I)的Groebner基為(G={g_1,g_2})，且(\text{LT}(g_1))與(\text{LT}(g_2))互素，則(S(g_1,g_2)\modG=)__________。簡化Groebner基需滿足兩個條件：①基中每個多項式的首項系數(shù)為1；②__________。用Groebner基方法判斷多項式(f=x^2+y^2-1)是否屬于理想(I=\langlex+y,x^2-y\rangle)，其核心步驟是計算__________。三、計算題（本大題共3小題，共40分）（12分）設(shè)(I=\langlef_1=x^2-y,f_2=xy-1\rangle)，取字典序(x>y)，計算(f_1)與(f_2)的S-多項式，并將其對({f_1,f_2})作余式除法。（14分）已知理想(I=\langlex+y+z,x^2+y^2-z^2\rangle)，在字典序(x>y>z)下：（1）求(\text{LT}(f_1))和(\text{LT}(f_2))；（2）計算(S(f_1,f_2))并化簡；（3）判斷當(dāng)前集合({f_1,f_2})是否為Groebner基，若不是，添加新的多項式后重新檢查。（14分）用Groebner基方法求解多項式方程組：[\begin{cases}x+y=1\x^2-y^2=-1\end{cases}]（要求：選擇適當(dāng)?shù)膯雾検叫颍瑢懗鯣roebner基的計算過程，并給出方程組的解）四、證明題（本大題共2小題，共40分）（20分）證明：在多項式環(huán)(k[x,y])中，理想(I=\langlef,g\rangle)的Groebner基(G)滿足對任意(f\inI)，(f\modG=0)。（20分）設(shè)(I=\langlef_1,f_2,\cdots,f_s\rangle)，(G)是(I)的Groebner基，證明：(I)是平凡理想（即(I=k[x_1,\cdots,x_n])）的充要條件是(G)中包含非零常數(shù)多項式。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.C3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.C10.A二、填空題11.(-4z)（提示：(\text{LCM}(\text{LT}(f),\text{LT}(g))=x^2y)，(S(f,g)=\frac{x^2y}{2x^2y}f-\frac{x^2y}{x^2y}g=\frac{1}{2}(2x^2y-3z)-(x^2y+z)=-4z)）12.6，(x^2yz^3)13.0（提示：首項互素時，S-多項式的余式為0）14.基中其他多項式不包含該多項式首項的因式15.(f\modG)（其中(G)是(I)的Groebner基）三、計算題16.解：(f_1=x^2-y)，(f_2=xy-1)，字典序(x>y)下，(\text{LT}(f_1)=x^2)，(\text{LT}(f_2)=xy)。(\text{LCM}(x^2,xy)=x^2y)，(S(f_1,f_2)=\frac{x^2y}{x^2}f_1-\frac{x^2y}{xy}f_2=y(x^2-y)-x(xy-1)=x^2y-y^2-x^2y+x=x-y^2)。對(S(f_1,f_2)=x-y^2)作余式除法，由于(\text{LT}(x-y^2)=x)，而(G)中無首項為(x)的多項式，故余式為(x-y^2)。（12分）四、證明題19.證明：（必要性）設(shè)(G)是(I)的Groebner基，則(\langle\text{LT}(G)\rangle=\langle\text{LT}(I)\rangle)。對任意(f\inI)，(\text{LT}(f)\in\langle\text{LT}(I)\rangle=\langle\text{LT}(G)\rangle)，故存在(g\inG)使得(\text{LT}(g))整除(\text{LT}(f))。通過余式除法可消去(\text{LT}(f))，重復(fù)此過程，最終余式為0。（10分）（充分性）若對任意(f\inI)有(f\modG=0)，則(\text{LT}(f))可由(\text{LT}(G))生成，即(\langle\text{LT}(I)\rangle\subseteq\langle\text{LT}(G)\rangle)。又因(G\subset