2025年下學期高中數(shù)學非線性技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知函數(shù)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，若存在正實數(shù)$M$，對任意的$x\in\mathbb{R}$，總有$|f(x)|\leqM|x|$，則稱函數(shù)$f(x)$具有性質(zhì)$P$。下列函數(shù)中具有性質(zhì)$P$的是（）A.$f(x)=\sinx$B.$f(x)=x^2$C.$f(x)=e^x$D.$f(x)=\ln(x+1)$已知隨機變量$x$與$y$呈現(xiàn)非線性關(guān)系，為了進行線性回歸分析，設(shè)$u=\lnx$，$v=y$，利用最小二乘法得到線性回歸方程$v=2u+3$，則當$x=e$時，$y$的估計值為（）A.2B.3C.5D.$e^2+3$對于函數(shù)$f(x)$，若滿足$|f(x_1)-f(x_2)|\leqT|x_1-x_2|$恒成立，則稱$f(x)$為“絕比$T$函數(shù)”。下列函數(shù)中為“絕比2函數(shù)”的是（）A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=\cosx$C.$f(x)=\sqrt{x}$D.$f(x)=2^x$已知函數(shù)$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，則下列說法正確的是（）A.$f(x)$是偶函數(shù)，$g(x)$是奇函數(shù)B.$f(x)$是奇函數(shù)，$g(x)$是偶函數(shù)C.$f(x)$和$g(x)$都是奇函數(shù)D.$f(x)$和$g(x)$都是偶函數(shù)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,1]$上的性質(zhì)是（）A.有界且單調(diào)遞增B.有界且單調(diào)遞減C.無界且有無數(shù)個零點D.無界且僅有一個零點已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+2)=-f(x)$，且當$x\in[0,2)$時，$f(x)=x^2$，則$f(2025)$的值為（）A.-1B.0C.1D.4在平面直角坐標系中，曲線$C$的方程為$x^2-xy+y^2=1$，則曲線$C$（）A.關(guān)于$x$軸對稱B.關(guān)于$y$軸對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線$y=x$對稱已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，則$|\vec{a}-\lambda\vec|$的最小值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\sqrt{3}$C.$\frac{3}{2}$D.2已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，則函數(shù)$f(x)$的極值點所在區(qū)間為（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(2,3)$D.$(3,4)$某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其產(chǎn)量$y$（單位：件）與投入資金$x$（單位：萬元）之間的關(guān)系可以用模型$y=ax^b$擬合，若投入資金增加$100%$，則產(chǎn)量增加$200%$，則$b$的值為（）A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.2D.3已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極大值，在$x=3$處取得極小值，則$a+b$的值為（）A.4B.5C.6D.7在棱長為1的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$是線段$B_1D_1$上的動點，則三棱錐$P-ABC$的體積為（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.不確定二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)$f(x)$為奇函數(shù)，當$x>0$時，$f(x)=x^2-2x$，則當$x<0$時，$f(x)=$________。已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax$有兩個零點，則實數(shù)$a$的取值范圍是________。已知隨機變量$X$服從正態(tài)分布$N(2,\sigma^2)$，若$P(X<4)=0.8$，則$P(0<X<2)=$________。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，則數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$。(1)求函數(shù)$f(x)$的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx$。(1)當$a=3$時，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。(1)求橢圓$C$的標準方程；(2)設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標原點，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，求$\triangleAOB$面積的最大值。（本小題滿分12分）為了研究某地區(qū)居民的收入水平與消費支出之間的關(guān)系，某機構(gòu)隨機抽取了10戶家庭進行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：收入$x$（千元）20253035404550556065消費$y$（千元）15182225283032353840(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷$y$與$x$之間是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)，并說明理由；(2)若$y$與$x$之間具有非線性關(guān)系，可采用模型$y=a\lnx+b$進行擬合，試建立$y$關(guān)于$x$的回歸方程。（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a$，$b$為常數(shù)。(1)若$a=0$，$b=1$，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)$f(x)$在$x=0$處取得極值，且曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線斜率為$e-1$，求$a$，$b$的值；(3)在(2)的條件下，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）新定義：對于函數(shù)$f(x)$，若存在常數(shù)$k>0$，使得對任意的$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x+k)=f(x)+f(k)$成立，則稱$f(x)$為“$k$型函數(shù)”。(1)判斷函數(shù)$f(x)=x$是否為“1型函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)$f(x)=\sinx$是“$k$型函數(shù)”，求$k$的取值集合；(3)若函數(shù)$f(x)$是“2型函數(shù)”，且當$x\in[0,2)$時，$f(x)=x(2-x)$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,4]$上的解析式，并指出函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,4]$上的零點個數(shù)。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）已知函數(shù)$f(x)$的定義域為$\mathbb{R}$，且對任意的$x$，$y\in\mathbb{R}$，都有$f(x+y)=f(x)+f(y)$，當$x>0$時，$f(x)>0$。(1)證明：函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)；(2)證明：函數(shù)$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增；(3)若$f(1)=1$，解不等式$f(x^2)-f(2x+3)>-1$。已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-x$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$。(1)證明：數(shù)列${a_n}$是單調(diào)遞減數(shù)列；(2)證明：數(shù)列${a_n}$收斂，并求其極限值；(3)記$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，證明：$S_n<2$對任意的$n\in\mathbb{N}^*$成立。本試卷以非線性技術(shù)觀為核心命題理念，注重考查學生對非線性數(shù)學概念的理解和應(yīng)用能力。試卷結(jié)構(gòu)打破了傳統(tǒng)模式，解答題考查的知識模塊和難度呈現(xiàn)出"隨機性""綜合性"的特點，旨在考查學生整合多元信息、打破思維定式靈活應(yīng)對不同題型、不同難度問題的能力。在題型設(shè)計上，設(shè)置了大量新定義問題，如"性質(zhì)P""絕比T函數(shù)""k型函數(shù)"等，這些題目要求學生在陌生情境中分析問題、提取信息、建立數(shù)學模型，考查創(chuàng)新思維能力。同時，試卷注重數(shù)學與實際問題的結(jié)合，如第20題的收入與消費關(guān)系研究，體現(xiàn)了"將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題"的能力要求。試卷內(nèi)容涵蓋了函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、