2025年下學(xué)期高中民主教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.2或3C.3D.1或2已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z+1是純虛數(shù)，則z=（）A.iB.-iC.1+iD.1-i函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+2b與2a-b平行，則實數(shù)m的值為（）A.1B.2C.1/2D.3/4已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a4+a5=12，則S7=（）A.28B.36C.42D.48某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常閱讀不經(jīng)常閱讀總計男302050女252550總計5545100根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，計算K2的值約為（）A.0.909B.1.010C.1.111D.1.212已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，則ω和φ的值分別為（）A.ω=π/2，φ=π/3B.ω=π/2，φ=2π/3C.ω=π，φ=π/3D.ω=π，φ=2π/3已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/6-y2/3=1C.x2/2-y2/4=1D.x2/4-y2/2=1某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8B.16C.24D.32已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，c=4，則cosC=（）A.-1/4B.1/4C.-1/2D.1/2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為（）A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(0,2)D.(-1,3)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若二項式(2x-1/x)?的展開式中x2的系數(shù)為______。已知圓C:x2+y2-4x+6y+9=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=1，則輸出的y=______。已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像過點P(0,2)，且在點M(-1,f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0，則函數(shù)f(x)的解析式為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3=5，S10=100。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（1）求角C的大??；（2）若c=2√3，△ABC的面積為2√3，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=4，E是PD的中點。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求三棱錐E-PCD的體積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，決定舉辦一次校園歌手大賽。比賽分為初賽和決賽兩個階段，初賽共有100名學(xué)生參加，參賽學(xué)生的成績（單位：分）服從正態(tài)分布N(75,σ2)，且成績在80分以上（含80分）的學(xué)生有20人。（1）求σ的值；（2）若決賽名額為15人，試確定決賽的分?jǐn)?shù)線（結(jié)果保留整數(shù)）。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.A4.C5.A6.C7.B8.A9.B10.B11.A12.B二、填空題24014.(2,-3)，215.416.f(x)=x3+3x2+3x+2三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得：a3=a1+2d=5S10=10a1+45d=100解得a1=1，d=2，所以an=1+2(n-1)=2n-1。（5分）（2）由（1）知bn=2^(2n-1)，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，所以Tn=2(1-4^n)/(1-4)=(2/3)(4^n-1)。（10分）（1）由正弦定理得sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin(B+C)=2sinAcosC，因為A+B+C=π，所以sinA=2sinAcosC，又因為sinA≠0，所以cosC=1/2，因為0<C<π，所以C=π/3。（6分）（2）由三角形面積公式得(1/2)absinC=2√3，即(1/2)ab×√3/2=2√3，所以ab=8，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即12=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-24，所以(a+b)2=36，所以a+b=6。（12分）（1）因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因為底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD，因為PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因為AE?平面PAD，所以CD⊥AE，因為PA=AD，E是PD的中點，所以AE⊥PD，因為CD∩PD=D，所以AE⊥平面PCD。（6分）（2）由（1）知AE是三棱錐A-PCD的高，因為PA=AD=2，所以PD=2√2，AE=√2，因為CD=AB=4，AD=2，所以S△PCD=(1/2)×CD×PD=(1/2)×4×2√2=4√2，所以V三棱錐E-PCD=(1/2)V三棱錐A-PCD=(1/2)×(1/3)×S△PCD×AE=(1/2)×(1/3)×4√2×√2=4/3。（12分）（1）設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，則X~N(75,σ2)，由題意得P(X≥80)=0.2，所以P(X<80)=0.8，所以P((X-75)/σ<(80-75)/σ)=0.8，即Φ(5/σ)=0.8，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得5/σ≈0.84，所以σ≈5.95。（6分）（2）設(shè)決賽的分?jǐn)?shù)線為x，則P(X≥x)=15/100=0.15，所以P(X<x)=0.85，所以P((X-75)/σ<(x-75)/σ)=0.85，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得(x-75)/σ≈1.04，所以x≈75+1.04×5.95≈81，所以決賽的分?jǐn)?shù)線為81分。（12分）（1）由題意得：e=c/a=√2/21/a2+(1/2)/b2=1a2=b2+c2解得a2=2，b2=1，c2=1，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（4分）（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組：y=kx+mx2/2+y2=1消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因為y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2k2+2，因為Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)=8(3m2/2-m2)=4m2>0，所以m≠0，又因為3m2=2k2+2≥2，所以m2≥2/3，所以m2的取值范圍是[2/3,+∞)。（12分）（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax2+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x，①當(dāng)a≤0時，2ax+1<0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=1或x=-1/(2a)（舍去），所以當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。（6分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因為f(1)=ln1-a×12+(2-a)×1=2-2a>0，且當(dāng)x→0+時，f(x)→