2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)變分法技術(shù)觀(guān)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）下列關(guān)于泛函的說(shuō)法正確的是（）A.泛函是定義域?yàn)楹瘮?shù)，值域?yàn)閷?shí)數(shù)的映射B.泛函與普通函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于自變量的維度不同C.泛函極值問(wèn)題的解一定滿(mǎn)足歐拉-拉格朗日方程D.最速降線(xiàn)問(wèn)題是典型的泛函極小值問(wèn)題設(shè)泛函(J[y]=\int_{x_1}^{x_2}(y'^2+2xy)dx)，其中(y(x_1)=y_1)，(y(x_2)=y_2)，則其對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為（）A.(2y''+2x=0)B.(2y''-2=0)C.(y''+x=0)D.(y''-1=0)在最小旋轉(zhuǎn)曲面問(wèn)題中，當(dāng)曲線(xiàn)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，生成曲面的面積泛函表達(dá)式為（）A.(S=2\pi\int_{x_1}^{x_2}x\sqrt{1+(y')^2}dx)B.(S=2\pi\int_{x_1}^{x_2}y\sqrt{1+(y')^2}dx)C.(S=\pi\int_{x_1}^{x_2}x\sqrt{1+(y')^2}dx)D.(S=\pi\int_{x_1}^{x_2}y\sqrt{1+(y')^2}dx)費(fèi)馬原理指出光在介質(zhì)中傳播時(shí)，其路徑滿(mǎn)足（）A.光程極大值條件B.光程極小值條件C.光程平穩(wěn)值條件D.光程為零條件設(shè)拉格朗日函數(shù)(L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q))，則對(duì)應(yīng)的拉格朗日方程為（）A.(\fracz3jilz61osys{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})-\frac{\partialL}{\partialq}=0)B.(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}}-\fracz3jilz61osys{dt}(\frac{\partialL}{\partialq})=0)C.(\fracz3jilz61osys{dt}(\frac{\partialL}{\partialq})-\frac{\partialL}{\partial\dot{q}}=0)D.(\frac{\partialL}{\partialq}-\fracz3jilz61osys{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})=0)下列問(wèn)題中不屬于變分法研究范疇的是（）A.兩點(diǎn)之間最短路徑問(wèn)題B.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系C.懸鏈線(xiàn)形狀的確定D.測(cè)地線(xiàn)方程的推導(dǎo)對(duì)于泛函(J[y]=\int_{a}^F(x,y,y')dx)，當(dāng)(F)不顯含自變量(x)時(shí)，歐拉-拉格朗日方程可簡(jiǎn)化為（）A.(F-y'\frac{\partialF}{\partialy'}=C)（常數(shù)）B.(\frac{\partialF}{\partialy}-\fracz3jilz61osys{dx}(\frac{\partialF}{\partialy'})=0)C.(\frac{\partialF}{\partialy}=0)D.(\frac{\partialF}{\partialy'}=C)（常數(shù)）在最速降線(xiàn)問(wèn)題中，若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)((0,0))運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)((a,b))，則其軌跡方程為（）A.擺線(xiàn)(x=r(\theta-\sin\theta))，(y=r(1-\cos\theta))B.拋物線(xiàn)(y=kx^2)C.直線(xiàn)(y=\frac{a}x)D.圓(x^2+y^2=a^2+b^2)二、多選題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）關(guān)于變分法與普通微積分的區(qū)別，下列說(shuō)法正確的有（）A.變分法處理的是泛函極值問(wèn)題，微積分處理的是函數(shù)極值問(wèn)題B.變分法中的自變量是函數(shù)，微積分中的自變量是實(shí)數(shù)或向量C.泛函的變分對(duì)應(yīng)函數(shù)的微分D.歐拉-拉格朗日方程對(duì)應(yīng)函數(shù)極值的導(dǎo)數(shù)條件變分法在物理學(xué)中的應(yīng)用包括（）A.拉格朗日力學(xué)中的最小作用量原理B.電磁學(xué)中的麥克斯韋方程組推導(dǎo)C.量子力學(xué)中的薛定諤方程建立D.熱力學(xué)中的熵增原理證明三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）泛函(J[y]=\int_{0}^{1}(y'^2+y^2)dx)，(y(0)=0)，(y(1)=1)的極值曲線(xiàn)滿(mǎn)足的微分方程為_(kāi)_______。最小旋轉(zhuǎn)曲面問(wèn)題的解曲線(xiàn)稱(chēng)為_(kāi)_______，其方程形式為_(kāi)_______。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中沿曲線(xiàn)從點(diǎn)((x_1,y_1))下滑到點(diǎn)((x_2,y_2))，若重力加速度為(g)，則質(zhì)點(diǎn)速度(v)與下落高度(h)的關(guān)系為_(kāi)_______。當(dāng)泛函(J[y]=\int_{a}^F(x,y,y')dx)的被積函數(shù)(F)僅依賴(lài)于(y')時(shí)，歐拉-拉格朗日方程的解為_(kāi)_______。四、解答題（本大題共6小題，共80分）（12分）設(shè)泛函(J[y]=\int_{0}^{1}(y'^2+2yy'+y^2)dx)，邊界條件為(y(0)=0)，(y(1)=1)，求該泛函的極值曲線(xiàn)。（13分）證明平面上兩點(diǎn)之間的最短路徑是直線(xiàn)段。要求寫(xiě)出完整的變分法推導(dǎo)過(guò)程，包括泛函定義、歐拉-拉格朗日方程應(yīng)用及結(jié)果分析。（14分）在重力加速度為(g)的均勻重力場(chǎng)中，有一質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)((0,0))由靜止開(kāi)始沿曲線(xiàn)下滑到點(diǎn)((a,b))（(a>0)，(b>0)）。（1）寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)下滑時(shí)間的泛函表達(dá)式；（2）推導(dǎo)最速降線(xiàn)問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程；（3）說(shuō)明該方程的解曲線(xiàn)類(lèi)型及其物理意義。（13分）設(shè)有一長(zhǎng)度為(l)的柔軟均勻鏈條，兩端固定在同一水平線(xiàn)上的兩點(diǎn)(A(x_1,y_1))和(B(x_2,y_2))處，在重力作用下自然下垂。已知鏈條線(xiàn)密度為(\rho)，重力加速度為(g)。（1）寫(xiě)出鏈條重力勢(shì)能的泛函表達(dá)式；（2）導(dǎo)出懸鏈線(xiàn)方程的微分形式；（3）若取原點(diǎn)在鏈條最低點(diǎn)，證明懸鏈線(xiàn)方程可表示為(y=\frac{1}{k}\cosh(kx))，其中(k)為常數(shù)。（14分）考慮光學(xué)中的費(fèi)馬原理：光在非均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，其路徑滿(mǎn)足光程平穩(wěn)條件。設(shè)平面介質(zhì)的折射率分布為(n(x,y)=\sqrt{y})，光從點(diǎn)((0,1))傳播到點(diǎn)((1,1))。（1）寫(xiě)出光程的泛函表達(dá)式；（2）應(yīng)用歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)光線(xiàn)軌跡滿(mǎn)足的微分方程；（3）求解該微分方程，確定光線(xiàn)的傳播路徑。（14分）在量子力學(xué)中，定態(tài)薛定諤方程可通過(guò)變分法近似求解。設(shè)粒子在一維勢(shì)阱(V(x))中運(yùn)動(dòng)，其能量泛函為(E[\psi]=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\hbar^2}{2m}|\psi'|^2+V(x)|\psi|^2\right)dx}{\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2dx})，其中(\psi(x))為波函數(shù)，(\hbar)為約化普朗克常數(shù)，(m)為粒子質(zhì)量。（1）證明能量泛函取極值的條件等價(jià)于薛定諤方程(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V(x)\psi=E\psi)；（2）若勢(shì)阱為無(wú)限深方勢(shì)阱(V(x)=0)（(0\leqx\leqa)），(V(x)=\infty)（其他區(qū)域），取試探波函數(shù)(\psi(x)=Ax(a-x))（(A)為歸一化常數(shù)），用變分法計(jì)算粒子基態(tài)能量的近似值，并與精確解比較。試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明本試卷以變分法的基本理論和應(yīng)用為核心，嚴(yán)格遵循2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，注重考查學(xué)生對(duì)泛函、歐拉-拉格朗日方程等核心概念的理解，以及運(yùn)用變分法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。試卷結(jié)構(gòu)采用8+2+4+6模式，總分150分，其中選擇題和填空題側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)，解答題強(qiáng)調(diào)綜合應(yīng)用與創(chuàng)新思維。內(nèi)容設(shè)計(jì)上，突出變分法在幾何、物理等領(lǐng)域的典型應(yīng)用，如最速降線(xiàn)、最小旋轉(zhuǎn)曲面、懸鏈線(xiàn)等經(jīng)典問(wèn)題，同時(shí)融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)前沿內(nèi)容，如量子力學(xué)中的變分原理。試題難度梯度合理，基礎(chǔ)題占比約70%，中檔題占20%，難題占10%，既保證對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面考查，又能有效區(qū)分不同層次學(xué)生的能力水平。在能力考查方面，通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放式問(wèn)題和實(shí)際情境題，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識(shí)。如第19題結(jié)合光學(xué)費(fèi)馬原理，要求學(xué)生從物理情境中抽象出數(shù)學(xué)模型并求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的深度融合；第20