經(jīng)濟數(shù)學第九章常微分方程目錄01微分方程的基本概念02一階微分方程本章學習基本要求了解微分方程的階、解、通解和特解的概念；熟練掌握可分離變量微分方程和一階線性微分方程的解法。019.1微分方程的基本概念一、微分方程的定義定義9.1含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，稱為微分方程。例如（1）（2）（3）（4）（5）都是微分方程。如果方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)，則稱為常微分方程，如（1）~（4）；如果方程中的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微分方程，如（5）。本章只講常微分方程，簡稱微分方程或方程。定義9.2微分方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。如方程（2）、（3）、（4）都是一階微分方程；（1）是二階微分方程。一般地，方程

F(x，y，y

，y

，…，

y(n))=0稱為n階微分方程。二、微分方程的階定義9.3如果將一個函數(shù)及其導數(shù)代入方程后，使這個方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為該微分方程的解。三、微分方程的解驗證函數(shù)y=2e2x

及y=C1e2x+C2e

x（C1，C2為任意常數(shù)），都是微分方程y

y

2y=0

的解。解將y=2e2x，y

=4e2x，y

=8e2x代入方程，得所以y=2e2x是微分方程y

y

2y=0的解。例題1將y=C1e2x+C2e

x，y

=2C1e2x

C2e

x，y

=4C1e2x+C2e

x代入方程，得所以y=C1e2x+C2e

x是微分方程y

y

2y=0的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，而且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于該微分方程的階數(shù)，則稱這樣的解為微分方程的通解。如y=C1e2x+C2e

x（C1，C2為任意常數(shù)），是微分方程y

y

2y=0的通解。

（一）微分方程的通解根據(jù)已知條件，在通解中確定了所有任意常數(shù)而得到的解叫微分方程的特解。通常用來確定任意常數(shù)的條件叫初始條件。如y=2e2x是微分方程y

y

2y=0滿足初始條件y|x=0=2，y

|x=0=4的特解。

（二）微分方程的特解

例題驗證函數(shù)y=(C1+C2x)e2x（C1，C2為任意常數(shù)是方程y

4y

+4=0的通解，并求出滿足初始條件y|x=0=0，y

|x=0=1，的特解。解將代入方程得即y=(C1+C2x)e2x是微分方程y

4y

+4=0的解，由于它含有任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)，所以它是方程的通解。將初始條件y|x=0=0，y

|x=0=1，代入通解y=(C1+C2x)e2x中，得解得C1=0，C2=1，所以滿足初始條件的特解為y=xe2x029.2一階微分方程一、可分離變量的微分方程形如的微分方程，稱為可分離變量的微分方程。解法：（1）分離變量，使方程一端僅含有y的函數(shù)和dy，另一端僅含有x的函數(shù)和dx，即

（2）將上式兩端積分，即

就得到了方程的通解。一、可分離變量的微分方程例題1求微分方程的通解解：分離變量，得兩端積分得即ln|y|

=x2+

C1，所以

，令得?。–為任意常數(shù)）為方程的通解。一、可分離變量的微分方程例題2求微分方程的通解解：方程可化為分離變量，得兩端積分得即（C為任意常數(shù)）為方程的通解。一、可分離變量的微分方程例題3求微分方程的通解解：方程可化為分離變量，得兩端積分得即所以（C為任意常數(shù)）為方程的通解。一、可分離變量的微分方程例題4求微分方程xy

ylny=0滿足初始條件y|x=1=e2的特解解：方程可化為分離變量，得兩端積分得ln(lny)=

lnx+lnC即lny=

Cxy=eCx

將初始條件y|x=1=e2代入上式，得C

=2滿足初始條件的特解為y=e2x

二、一階線性微分方程形如的方程稱為一階線性微分方程，其中P(x)和Q(x)是x的已知函數(shù)，Q(x)稱為自由項。的微分方程，稱為可分離變量的微分方程。如果Q(x)=0，方程變?yōu)?/p>

稱為一階齊次線性方程。如果Q(x)

0，方程稱為一階非齊次線性方程。（一）一階齊次線性微分方程y

+P(x)y=0的解法一階齊次線性微分方程y

+P(x)y=0是可分離變量的微分方程，分離變量得到兩邊積分得整理得

為齊次方程的通解。例題5求微分方程

的通解。解1將代入公式得解2直接分離變量，得兩端積分得lny=

lnx+lnC整理得（二）一階非齊次線性微分方程y

+P(x)y=Q(x)的解法一階非齊次線性微分方程y

+P(x)y=Q(x)的解可以通過常數(shù)變異法求得一階非齊次線性微分方程相應的齊次線性微分方程為

其解為將其中的常數(shù)C換成函數(shù)C(x)，即設(shè)（二）一階非齊次線性微分方程y

+P(x)y=Q(x)的解法將及代入非齊次方程y

+P(x)y=Q(x)得整理得解得于是，得到非齊次方程的通解公式例題6求微分方程

的通解。解1將代入公式得解2常數(shù)變異法先求方程

的通解。分離變量兩端積分得lny=

lnx+lnC整理得設(shè)方程有形如的解，則將y

及y

代入方程得整理得解得所以方程