第02講：因式分解

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、公式法(立方和、立方差公式)

cJ+力=(。+b)(a2-ab+b?)

a3-if=(a-b)(a2+ab+b2)

這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和).

運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

考點(diǎn)二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如

〃口+加6+，也+應(yīng)?既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來

因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

考點(diǎn)三、十字相乘法

1.f+(〃+4)1+//型的因式分解

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

12+(〃+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p){x+q).

因此，x2+(/?+q)x4-pq=(x4-p)(x+q).

2.一般二次三項(xiàng)式改2+反+。型的因式分解

大家知道，(。/+。］)(。2工+。2)=。1。2工2+(。1。2+。2。1)%+。1。2-

反過來,就得到：a?/+(《c,+〃)G)X+G。，=(4x+G)3x+c))

我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)〃分解成卬出，常數(shù)項(xiàng)c分解成qg,把％,出,0,。2寫成'"X。，這里按斜線交叉相

。2C、2

乘,再相加，就得到。臼+。2。1，那么好？+以+。就可以分解成(0e+。］)(。2k+。2)?

這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

題型突破

題型一：提取公因式和公式法因式分解

2

1.多項(xiàng)式x-4xy-23注工+4>2分解因式后有一個(gè)因式是x-2yt另一個(gè)因式是()

A.x+2y+IB.x+2y-1C.x-2y+1D.x-2y-I

2.因式分解

(1)bcrb-1&?力+3/2(2)a3+2a2+a(?)93-b)2-\6(。+b)2(4)a4-\

3.閱讀下列材料：

已知a2+a-3=O,求a2(a+4)的值.

解：*.*a2=3-a,

:.a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9,

.*.a2(a+4)=9.

根據(jù)上述材料的做法，完成卜.列各小題：

(1)若a2-a-10=0,則2(a+4)(a-5)的值為.

(2)x2+4x-l=0,求代數(shù)式2x4+8x'-4x2-8x+l的值.

4.【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如依2+法+，3工0)的多項(xiàng)式變形為〃。+〃?)2+〃的形式，我們把這樣的

變形方法叫做多項(xiàng)式o?+法+c(aH())的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

或有關(guān)運(yùn)算.

例如：對(duì)于〃+6a+8.(1)用配方法分解因式；(2)當(dāng)。取何值，代數(shù)式/+64+8有最小值？最小值是多少？

解：(1)原式=/+6a+8+l-1-a1+6a+9-l=(?+3)2-1=[(?+3)+1][(6/+3)-1]

二(〃+4)(。+2).

(2)由(1)得：/+6。+8=(。+3尸一1,

<(4+3尸20,

.??當(dāng)〃=一3時(shí)，代數(shù)式/+6a+8有最小值，最小值是-1.

【問題解決】利用配方法解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：X2+2X-8：

(2)試說明不論盟為何值，代數(shù)式+4,〃-5恒為負(fù)數(shù)；

1b-c

(3)若已知(a+c)(b-a)=-(b+c)2且aH0,求----的值.

4a

題型二：分組分解法

5.把下列各式因式分解

(l)a(a-3)+2(3-a)

(2)(6/-/2+C)2

(3)4(x+y)2-2(Xx+.V)+25

(4)4a2-b2+6a-3b

6.(1)分解因式：a2-a-4b2+2b

(2)分解因式：3”(從+9)2-108〃尸

7.閱讀下列材料：

常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如Y—4y2+2x-4)，，細(xì)心

觀察這個(gè)式子會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式,，后兩項(xiàng)可提取公因式，分解過程為：

x2-4)，+2x-4y=(x2-4)尸)+(2x-4y)分組

=(刀一2)，)(x+2)，)+2(x-2y)組內(nèi)分解因式

=(x-2)，)(x+2y+2)整體思想提公因式

這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式：9x2-9x+3y-y2；

⑵已知MAC的三邊〃、b、c滿足a2—//—“c+〃c=0,判斷的形狀并說明理由.

能使多項(xiàng)式.d+2x-3的值為0.

利用上述閱讀材料求解：

⑴若(R+3)是多項(xiàng)式f+履+12的一個(gè)因式，求攵的值；

⑵若(才-3)和(x-4)是多項(xiàng)式父+〃7+]24+〃的兩個(gè)因式，試求機(jī)，〃的值.

⑶在(2)的條件下，把多項(xiàng)式f+,"+]2A-〃因式分解.

11.因式分解：

(I)2(X2+6X+1)2+5(X2+I)(X2+6X+1)+2(X2+1)2

(2)X2(J-Z)3+/(Z-X)3+Z2(X-?

12.閱讀材料：解方程35=0我們可以按下面的方法解答：

(1)分解因式/+2x-35,

①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：x2=x*x,-35=(-5)x(+7).

x-5

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：X=7x-5x=Zv.

x+7

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?+2x-35=(x+7)(x-5).

(2)根據(jù)乘法原理：若ab=0,則〃=0或力=0,則方程3+2x-35=0可以這樣求解35=0方程左邊因式

分解得(x+7)(x-5)=0所以原方程的解為x/=5,*=-7

(3)試用上述方法和原理解下列方程：

①/+5"4=0；

②/-敬-7=0；

③1-■+8=0；

④源+支-6=0.

題型四：因式分解的綜合

13.已知x=2+Gy=2-6，求下列代數(shù)式的值:

(1)^-xy+y2;

(2)f_y2

14.把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式.再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法.

如：①用配方法分解因式：/+6〃+8,

解：原式=。2+&/+8+1-1=。2+6。+9-1=(。+2)(。+4)

②M=/一2ab+2b2-2b+2,利用配方法求用的最小值，

解：a2-2ab+2b2-2b+2=(r-2ab+b2+b2-2b+\+\=(a-b)~+(b-\f+\

V(a-Z?)2>0,(Z?-1)2>0

??.當(dāng)4=2=1時(shí)，M有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：

(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：x2-jx+.

(2)用配方法因式分解：f—4盯+3),2.

⑶若M=x2+8x—4,求M的最小值.

(4)已知f+2/+z?—2個(gè)，一2y—4z+5=(),則工+y+z的值為.

15.嘉淇上小學(xué)時(shí)得知“一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除“，她后來做了如下分析:

嘉淇的分析：

258=2x100+5x10+8=2x(99+1)+5x(9+1)+8

=2x99+2+5x9+5+8=(2x99+5x9)+(2+5+8)

=3(2x33+5x3)+3x5

???2x33+5x3為整數(shù)，5為整數(shù)，

???3（2x33+5x3）能被3整除,3x5能被3整除，??.258能被3整除.

⑴通過計(jì)算驗(yàn)證258能否被3整除；

⑵用嘉淇的方法證明4374能被3整I除；

⑶設(shè)麗是一個(gè)四位數(shù).。，b,c,"分別為對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請(qǐng)論證“若。+〃+c+”能被3整除，則這個(gè)數(shù)

可以被3整除”.

16.材料一：若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為10,百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱這個(gè)四位數(shù)為“十

全數(shù)交換這個(gè)“十全數(shù)''的千位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，得到新的四位數(shù)叫做這個(gè)“十

全數(shù)”的“對(duì)應(yīng)數(shù)

例如：1298是“十全數(shù)”,其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為9812；5752是“十全數(shù)”,其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為5257.

材料二：若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)口勺平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù).

例如：0=（）2,則0是完全平方數(shù)；］21=1】'，貝IJ121是完全平方數(shù).

（1）證明：一個(gè)“十全數(shù)”與其“對(duì)應(yīng)數(shù)”之差能被11整除；

⑵記”為“十全數(shù)”，〃為加的“對(duì)應(yīng)數(shù)”，且若。（皿〃）=啜+19,求滿足以，幾〃）是完全平方數(shù)的所有“十

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全數(shù)

【專題突破】

一、單選題

17.下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）

A.x2-x-\=x(x-\)-\B.x2-\=(x-1)2

C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=f-x

18.下列分解因式正確的是（）

A.-x'+4.r=-x(x+4)B.x2+xy+x=A(A+y)

22

C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)D.X-4X+4=CV+2)(X-2)

19.已知a=2018x+2018,b=2018x+2019,c=2018x+2020,則a2+b2+c2—ab—ac—bc的值是()

A.0B.1C.2D.3

20.已知久b、c是自然數(shù)，且滿足2“x3隈4c'=192,貝Ua+h+c的取值不可能是（)

A.5B.6C.7D.8

21.已知a=2012x+20U,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a2+b?+c2—ab—bc-ca的值等于()

A.0B.1C.2D.3

22.圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，5￡二丁+3乂5左="2+蒼則5您=()

主視圖左視圖

x口一口

圖1圖2

A.”2+3*十2B.A-2+2x+\C.x2+4x+3D.2x2+4x

23.已知Rt&A8C中，ZC=90°,若BC=a,AC=b,AB=c>JLa2-ab-2b2=0?則a:/，:c=()

A.1:2:石B.2:1:75C.1:2:6D.2:1:石

二、填空題

24.分解因式：xy2-x=.

i13I

25.若x■!———且0<x<1,則廠—~.

x6.r2

M/(/次ci-3(C—42_

26.化簡：一5------------->------____________.

a~+4a+4a-3a+2

27.多項(xiàng)式a?一2ab+2b2-劭+27的最小值為.

28.如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN,已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四

個(gè)矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,且

(1)若小〃是整數(shù)，則PQ的長是

(2)若代數(shù)式的值為零，則臺(tái)幽2的值是.

29.閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知%-。=2,求代數(shù)式6a-%-1的值.”可以這樣解：

6a-2b-\=2(3a-b)-\=2x2-\=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若尤=2是關(guān)于x的一元一次方程以+〃=3的解，

則代數(shù)式4a2+4必+從+4a+2b-1的:直是.

三、解答題

30.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)X2-8：(2)X3-5X：(3)V+3X-28；(4)x2-1lx+30.

31.把下列各式因式分解:

(I)(x2+1)2-4x(.r2+1)+4.?；(2)x2-6.vy-16y2；

(3)(x—y)7-2(y-jr)-80；(4)4x2-44+y2-z2.

32.分解因式：2(A2+6A+1)'+5(x2+6.V+1)(JT2+l)+2(x2+l)*.

33.把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題

方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用.

例1.用配方法因式分解：〃+6a+8.

原式=〃2+6?+9-1=(?+3)"-1=(a+3-l)(?+3+1)=(a+2)(?+4).

例2.若加=/一2出+2〃一2〃+2,利用配方法求M的最小值；

a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+l+i=(a-b)1+(b-\)2+1；

V(tz-b)2^0,(/?-l)2>0,

.?.當(dāng)。=。=1時(shí)，M有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：

(I)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：/+ioa+；

(2)用配方法因式分解：〃2-120+35；

⑶若M=4-3“+l,求M的最小值是多少；

(4)己知儲(chǔ)?2Z/I0?2ab\4b6cI13=0,求，+〃+c的值.

34.把下列各式因式分解:

⑴-8x'y+6xy-2。；

⑵x(x-?-2(y-x)’；

(3)45“％0+9a2bc-54a2b2c;

(4)-4-+15ab2-9ac2;

(5)x2y-2xy2；

(6)-5〃力+2a曲一5ab.

35.閱讀材料:

利用公式法，可以將一些形如加+b+《。=。)的多項(xiàng)式變形為。"+機(jī))2+〃的形式，我們把這樣的變形方法叫做

多項(xiàng)式加+加+《。工0)的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例如

x2+4工-5=