4.3角

H知識(shí)梳理

?-***----~---------

考點(diǎn)一：角的定義

有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的

邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

考點(diǎn)二：平角和周角

一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始

邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。

考點(diǎn)三：角的表示

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,N2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na,NB,Ny,NO等。

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角)的角，如/B,NC等。

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如NBAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

用一副三角板，可以畫出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°

考點(diǎn)四：角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用”表示，1度記作“1°”,

n度記作“n°”。。,八,八

I。=60',1'=60”

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1'工

把了的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。

考點(diǎn)五：角的性質(zhì)

(1)角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運(yùn)算。

考點(diǎn)六：角的平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

OB平分NAOC

ZA0B=ZB0C=-ZAOC（或者NAOC=2/AOB=2NBOC）

2

考點(diǎn)七：余角和補(bǔ)角

①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表

示為如果Na+/B=90°,那么Na與NB互余；反過(guò)來(lái)，如果Na與NB互余，那么Na+/8=90°

②如果兩個(gè)角的和是?一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表

示為如果Na+/6=180°,那么Na與NB互補(bǔ)：反過(guò)來(lái)如果Na與NB互補(bǔ)，那么Na+/8=180°

③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。

考點(diǎn)八：對(duì)頂角

①一對(duì)角，如果它們的頂點(diǎn)重合，兩條邊互為反向延長(zhǎng)線，我們把這樣的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角，其中一個(gè)角叫

做另一個(gè)角的對(duì)頂角。

注意：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，它們有公共的頂點(diǎn)；只有兩條直線相交時(shí)才能形成對(duì)頂角。

②對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等

如圖，N1和N4是對(duì)頂角，N2和N3是對(duì)頂角

Z1=Z4,N2=N3

題型一：角的基本概念

1.（2022?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，下列說(shuō)法中不正確的是（）

c

B

oA

2.（2022?山東省諸城市樹(shù)一中學(xué)七年級(jí)期中）圖中可以只用一個(gè)字母表示的角的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

題型二：鐘面角

4.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）每天中午12點(diǎn)30分是“校園之聲”節(jié)目都會(huì)如約而至，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的的

角為（）

5.（2022?四川廣元?七年級(jí)期末）8點(diǎn)30分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）

A.55°B.60°C.75°D.以上結(jié)論都不對(duì)

6.（2022?四川成都?七年級(jí)期末）鐘表在9：10時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角為（）

題型三：方向角

7.（2022?河南?信陽(yáng)文華寄宿學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，如果杷鐘而卜.的每個(gè)刻度均看?成一個(gè)點(diǎn)，那么表示2點(diǎn)的時(shí)

刻在表示12點(diǎn)的刻度方向的（）

A.南偏東60。B.南偏西60。C.北偏東60。D.北偏西60。

8.（2022.河北衡水.七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，貨船A與港口A相距35海里，我們用有序數(shù)對(duì)（南偏西40。，35海里）來(lái)

D

A.36°B.72°C.108°D.144°

題型六：角平分線

A.70B.74C.76D.80

18.（2022?遼寧?丹東市第十七中學(xué)七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若/A與的兩邊分別垂直，且/A比的3

倍少20。，則NA的度數(shù)為（）

題型七：余角和補(bǔ)角

（3）找出圖中所有相等的角（除直角外），并對(duì)其中一對(duì)相等的角說(shuō)明理由.

M\M\

HXBAB

—oTi

DD

圖1圖2

/IA0I

圖3備用圖

題型八：角的綜合問(wèn)題

24.（2。22?遼寧?沈陽(yáng)市第七中學(xué)七年級(jí)期中）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué).

/隨堂演練

一、單選題

A.15°B.36°C.60°D.75°

26.（2022.河北石家莊?七年級(jí)期中）如圖所示，鐘表上顯示的時(shí)刻是10點(diǎn)10分,再過(guò)20分鐘，時(shí)針與分針?biāo)?/p>

的角是（）

/iT^TX

A.②④B.①②④C.@@@D.①③④

28.（2022?河北?石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，小明將自己用的一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

29.（2022?重慶南開(kāi)中學(xué)七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是1）

A.0B.1C.2D.3

30.（2022?河北?邯鄲市永年區(qū)教育科學(xué)研究所七年級(jí)期中）計(jì)算：

一：選擇題

Dc

B

A

Af

B

R'

A.20°B.30°C.35°D.40°

A.①②③④B.??@C.①②③D.①③④

35.（2022?河南?項(xiàng)城市第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）下面的說(shuō)法中，不正確的是（）

A.兩直線平行，同位角相等：

D.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是130,那么這個(gè)角的余角等于40

36.（2022?浙江?之江中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，ABCD,PG平分/EPF,NA+NA〃P=180。，下列結(jié)論：①CDPH；

②NBEP+NDFP=2/EPG；③/FPH=/GPH；?Z.A+^AGP+ZDFP-ZFPG=180°：其中正確結(jié)論是（）

A.①②③④B.???C.①③④D.①②

A.①②③④B.?@?C.①③④D.①②④

二、填空題

38.（2022?廣東?石門中學(xué)七年級(jí)）時(shí)鐘顯示為10：50時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A銳角的大小是

C

1

OB

三、解答題

43.（2022?河北?石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）請(qǐng)把下列解題過(guò)程補(bǔ)充完整:

（］）判斷。尸與0。的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明.

圖1圖2圖3K

1.c

【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，這個(gè)角才可以用一個(gè)頂點(diǎn)字母來(lái)表示，由此

可得結(jié)論.

C、以。為頂點(diǎn)的角一共有三個(gè)，不能用一個(gè)頂點(diǎn)字母表示，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出米是解題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】根據(jù)角的表示方法，可得答案.

【詳解】解：可以只用一個(gè)大寫字母表示的角有NB、NC共2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示.其中頂點(diǎn)字母要寫在中

間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)

角.角還可以用一個(gè)希臘字母（如N。，/夕/八…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（Nl,N2…）表示.

3.A

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示.其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，

唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這八角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角.角

還可以用一個(gè)希臘字母（如Na，5，N》、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（Nl,N2…）表示進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、N1與NA08是同一個(gè)角，不可用N。來(lái)表示，說(shuō)法錯(cuò)誤；

B、Np與NBOC是同一個(gè)角，說(shuō)法正確：

C、圖內(nèi)共有三個(gè)角：ZAOB,ZAOC,ZBOC,說(shuō)法正確；

D、/I與/A08是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法.

4.B

【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30。進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：6x30^x30°=180°15°=165°,

???時(shí)針與分針?biāo)鶌A的的角為165。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30。進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得：2x300+lx30o=75°,

???8點(diǎn)30分,時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為:75。,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】由鐘面角的定義可求出NCO/>N/)OE=NEOF=N%>8=3(r,由鐘面上時(shí)針、分針在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中所成角度

的變化關(guān)系可求出NAOL25。，進(jìn)而求出答案.

【詳解】解：如圖,

由鐘面角的定義可知，

ZCOD=ZDOE=ZEOF=ZF(M=360°x—=30。，

12

ZAOC=30°x(1—)=25°,

60

/.N4O8=30°x4+25°

=145°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，掌握鐘面角的定義以及鐘面上時(shí)針、分針在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中所處角度的變化關(guān)系是正確解答

的關(guān)鍵.

7.A

【分析】先證明三角形AO8為等邊三角形，再根據(jù)方向角的定義解答即可.

【詳解】解：如圖，

?：OA=OB,

???三角形AOB為等邊三角形,

???表示2時(shí)的刻度在表示12時(shí)的刻度的南偏東60。方向，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角和等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】以點(diǎn)。為中心點(diǎn)，來(lái)描述點(diǎn)A的方向及距離即可.

【詳解】解：由題意知港口A相對(duì)貨船B的位置可描述為（北偏東40。，35海里），

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)確定位置，用方向角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為

終邊，故描述方向角時(shí)，一-般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.

9.D

【分析】根據(jù)方向角的分類及已知角度即可求解.

【詳解】解：由圖可得A在8的北偏西60。的方向上，

故4在A的南偏東60。的方向上.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的分類及表示，熟練掌握方向角的概念及分類是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】首先Nl、N2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將N3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行大小

比較，卻可得到結(jié)論.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熱練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】根據(jù)1。等于60，，居等于60”計(jì)算即可.

【詳解】40。12,36”中的1236”化為秒為12x60"+36"=756",

756"+3600=0.21。,

即40。1236"用度表示為：40.21°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的單位于角度制的知識(shí)，掌握度分秒之間時(shí)60進(jìn)制是解答本題的關(guān)鍵.

12.（1）23。3中40〃

⑵94。53，

⑶79。7

【分析】（I）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；

（2）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；

(3)先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法即可.

(1)

解:45°l(r-21。35'20”=23。34'4()”.

(2)

解：48°39%67°3r-21°17,

=116°10,21017,

=94°53,.

(3)

解：42°16'+18°23'X2

=42°16'+36°46,

=79。2'.

13.C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，能夠得到角度關(guān)系是解題關(guān)鍵.

14.D

故選：D.

15.C

故選：C.

16.C

【分析】先由平行線的性質(zhì)得到N4CB=N5+N1+N2,再由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出加即可.

【詳解】過(guò)C作

AZ6=Z5,Z7=Z1+Z2,

N4C8=N6+N7,

4CB=N5+/I+N2,

VZD=52°,

/.Zl+Z5+Z3=l80°-52°=128°,

由題意可得GO為NAG8的角平分線，8。為NCBN的角平分線,

.?.N1=N2,N3=N4,

：,m=Z1+N2+Z5=2Z1+Z5,

Z4=Zl+ZD=Zl+52°,

/.Z3=Z4=ZH-52°,

???Nl+N5+N3=Nl+N5+Nl+52°=2Nl+N5+52°=/〃+52。，

，小+52。=128°,

/.w=76°.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是對(duì)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.

17.圖見(jiàn)解析，20?；?0。

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：如圖1所示.

如圖2所示.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計(jì)算和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合分類討論求解.

18.C

【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)-3是x度，利用方程即可解決問(wèn)題.

①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：

②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線的定義，角的運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決

問(wèn)題.

19.(1)52°

(2)23

（2）利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角度即可.

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的加減運(yùn)算，能夠熟練根據(jù)要求列角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了與余角補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算，熟知余角與補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

（3）6秒或62秒

圖2

①如圖3,

圖3

②如圖3(1),

【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的計(jì)算，角平分線的定義等內(nèi)容；第（2）間進(jìn)行合適的分類討論是解題的關(guān)鍵；第（3）

問(wèn)，搞清楚在射線08旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，OW和ON的相對(duì)位置在不斷的變化，以此進(jìn)行分類畫圖.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及角度的計(jì)算，分類討論的思想，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵.

23.（1）40°

【分析】（1）根據(jù)角的和差關(guān)系計(jì)算即可；

（3）解：如圖:

【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差關(guān)系；熟練掌握幾何圖中角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【點(diǎn)睛】本題考查余角與補(bǔ)角，掌握互為余角、互為補(bǔ)角的意義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

25.B

【詳解】解：由題意可知，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解銳角和鈍角的概念.

26.C

【分析】根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，即可.

【詳解】解：10點(diǎn)10分，再過(guò)20分鐘就是10點(diǎn)30分，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握時(shí)針的速度和分針的速度.

27.D

【分析】根據(jù)三角尺每個(gè)角的度數(shù)，利用角的和差計(jì)算即可得出.

【詳解】左邊三角尺的三個(gè)角分別為45。，45°,90°,右邊三角尺的三個(gè)角分別為30。，60°,90。，

..?①③④正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，利用和、差關(guān)系求解是解答此題的關(guān)鍵.

28.B

【分析】根據(jù)余角的定義和補(bǔ)角的定義分別進(jìn)行判斷即可.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟記余角和補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵.

29.A

【分析】根據(jù)角的大小、角平分線、線段的中點(diǎn)、多邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；

【詳解】解：鐘面上3：30時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是75。；①錯(cuò)誤：

把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫做這個(gè)角的角平分線：②錯(cuò)誤；

各邊相等各個(gè)內(nèi)角也相等的多邊形是王多邊形；④錯(cuò)誤：

止確的個(gè)數(shù)為0

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的大小、角平分線的定義、線段的中點(diǎn)定義、多邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；熟練掌握上述基礎(chǔ)知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【分析】（1）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算即可解答；

【點(diǎn)睛】此題考查度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵.

②考慮到有兩種情況即可，即為。尸在如圖所示位置與OF在AB上方位置.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角的計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

32.D

【詳解】解：如圖所示,

D「

B

A

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳角的和差，結(jié)今圖形，準(zhǔn)確找到角的和差數(shù)量關(guān)系是關(guān)犍.

33.B

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

34.B

故①正確；

故②正確；

與A。不平行，

故③錯(cuò)誤;

故④正確；

綜上，①②④正確，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和同角的余角，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知

識(shí)點(diǎn)并認(rèn)真計(jì)算.

35.B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，余角、斗角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)判斷選擇即可.

【詳解】?jī)芍本€平行，同位角相等，

正確，不符合題意；

故錯(cuò)誤，符合題意；

正確，不符合題意；

如果一個(gè)角的補(bǔ)角是130,那么這個(gè)角的余角等于40,

正確，不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

36.B

【分析】由4+NA，P=l80。，可得P"AB,根據(jù)八8，。，可得八8CDPH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的

和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出正確結(jié)論.

【詳解】解：VZA+ZAHP=180°,

:.PHAB,

TABCD,

：.CDPH,

故①正確；

：.ABCDPH,

/BEP=/EPH,乙DFP=/FPH,

：,ZBEP+ZDFP=NEPF,

乂???PG平分NEPF,

:"EPF=2/EPG,

???ZBEP+ZDFP=2ZEPG,

故②正確：

ZGPH與ZFPH不一定相等，

???NP77/=NG。，不一定成立，故③錯(cuò)誤；

?：4AGP=NHPG+/PHG,NDFP=NFPH,NFPH+NGPH=NFPG,NFPG=NEPG,

AZA+ZAGP+ZDFP-NFPG=NA+NHPG+NPHG+NDFP-ZEPG

=/A+NHPG+