12.3一次函數(shù)與二元一次方程

。四目標(biāo)

1.理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，會用圖象法解二元一次方程組.

2.理解函數(shù)是解決現(xiàn)實生活中問題的有效數(shù)學(xué)模型.

3.熟知建立函數(shù)模型的一般步驟.

1.一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的探索.

2.綜合運用方程（組）、不等式和函數(shù)的知識解決實際問題.

3.建立有效的數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)問題.

棟竊；相關(guān)知識回顧I

1.由兩個二元一次方程組成的方程組叫作二元一次方程組，使方程組中兩個方程

的左右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫作這個二元一次方程組的解.

2.解二元一次方程組的常用方法是消元，將二元的方程化成一元的方程求解.常用

的消元方法有代入消元法和加減消元法.

磔3知識要點掃描I

知識點一二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

一般地，每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，對于任意一個二元一次方程AT

+By+C=O（AWO,BWO,A,B為常數(shù)）,都可以化成尸一如一二的形式.設(shè)％=一1,

BDD

b=Y，二元一次方程可轉(zhuǎn)化為丁=丘+、因此二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形

式.

特別提示：（1）以二元一次方程Ar+5），+C=O的解為坐標(biāo)的點組成的圖象與一

次函數(shù)）,=一白―5的圖象相同.

BD

（2）從圖象上看，一條直線上有無數(shù)個點，每個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的數(shù)值對應(yīng)

二元一次方程的一組解.因為直線上有無數(shù)個點，所以二元一次方程有無數(shù)組解.

【例1】把二元一次方程3y—2x=12化為丁=丘+〃（A#0）的形式為.

【解析】將二元一次方程進(jìn)行適當(dāng)變形即可.二元一次方程3y—2x=12,移項，得

3y=2x+12,則y=±x+4.

3

【解】>'=；x+4

【迷津指點】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.任何二元一次方程都可

以化為），=履+匕（Z,b為常數(shù),且ZW0）的形式，且以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所

有點組成的圖象與相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象是相同的.

知識點二二元一次方程組的圖象解法

1.由于二元一次方程的解可以看作是y關(guān)于X的一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)，所

以二元一次方程組的解為兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，從而可通過畫出兩個一次函

數(shù)圖象，從圖象上觀察出交點坐標(biāo)，得到二元一次方程組的解.這種利用作圖求解二元

一次方程組的方法，叫作二元一次方程組的圖象解法.

特別提示：圖象法解二元一次方程組的步驟為“先轉(zhuǎn)再畫后寫”，即先將二元一

次方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，再畫出一次函數(shù)的圖象，最后根據(jù)兩直線的交點坐標(biāo)寫出方

程組的解.

2.解方程組確定直線交點坐標(biāo)

直線y=kux+"和直線的交點坐標(biāo)為方程組卜二七"十瓦’的解，求出

ly=k2x+b2

該方程的解即可得到兩直線的交點坐標(biāo).

特別提示：在利用解方程組求兩直線的交點坐標(biāo)時，可直接消去y,得到hx+5

=攵4+岳，再求出x和y的值.

【例2—1】利用圖象法解方程組『+2y=—3，

、2x—y=-1.

【解析】因為二元一次方程的解可以看成是相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)，

所以方程組的解為兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，從而可通過畫出兩個一次函數(shù)的圖

象，從圖象上觀察出交點坐標(biāo)，從而得到方程組的解.

【解】由x+2y=—3,得>=一3一|；

由2x—y=-1,得y=2x+l.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出一次函數(shù)），=一2的圖象/i和y=2x+l的圖象h,如圖所

22

示.

觀察圖象可知，/],/2的交點為（一1，-D,

所以方程組尸2y=-3,的解是「=-1,

I2x~y=-11y=-1.

【迷津指點】利用圖象法解二元一次方程組的一般步驟：（1）把二元一次方程轉(zhuǎn)

化成一次函數(shù)解析式；（2）在同一個坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖象；（3）觀察

兩個圖象的交點坐標(biāo)得出二元一次方程組的解.

【例2—2】若直線y=3x—1與），=工一人的交點在第四象限，求左的取值范圍.

【解析】先解方程組『一’得出用攵表示的兩直線的交點坐標(biāo)，再根據(jù)第

y=x-k,

四象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征求攵的取值范圍.

—1~k

{y=1-3”

因為兩直線的交點在第四象限，

f—＞0,

所以2

|4曰＜0,

12

解得二VZV1,

3

所以k的取值范圍是工＜kVL

3

【迷津指點】此題應(yīng)先把左看作已知數(shù)，求出兩直線交點的坐標(biāo)，再根據(jù)第四象

限內(nèi)點的坐標(biāo)特征列出不等式組來求解.

2.當(dāng)幺且時，兩直線平行，方程組『逐+'y=J'無解.

h

0?2Q{a2x+b2y=c2

3.當(dāng)父=會=且時，兩直線重合，方程組+瓦尸G'有無數(shù)組解.

也WM{a2x+b2y=c2

4.兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)在實際問題中的應(yīng)用.

特別提示：（1）方程組有唯一解的情況比較容易判斷，而方程有無數(shù)組解還是無

解是容易混淆的地方，可以對兩方程進(jìn)行化簡，如都化簡為公+切=。的形式，再比較

常數(shù)項來判斷解的情況.

（2）要求兩條直線丁=所%+"與>=%>+必的交點坐標(biāo)，可以由兩個解析式聯(lián)立

成方程組?=自"+瓦'這個方程組的解就是兩直線交點的橫、縱坐標(biāo).

y—k2x+b2y

y--2V=ZS

【例3—1】不解方程組也不畫圖，則方程組7-'的解的情況是（）

、3x-6y=15

A.只有唯---組解B.無解

C.有無數(shù)組解D.以上答案都不對

【解析】利用系數(shù)比的關(guān)系進(jìn)行判斷，因為:=二1=卷，所以方程組有無數(shù)組解.

3—615

【答案】C

【迷津指點】當(dāng)達(dá)y的系數(shù)比不一樣時，方程組有唯一一組解；當(dāng)X，y的系數(shù)比

一樣時，可根據(jù)等式的性質(zhì)對其中的一個方程進(jìn)行變形，與另一個方程比較，判斷方

程組解的情況.如本題第二個方程可化為x—2y=5,從兩個方程相同，即兩直線重合，

知方程組有無數(shù)組解.

【例3—2】如圖，直線/］：y=x+l與直線小相交于點夕（1,Z?）.

（1）求》的值;

（2）不解關(guān)于-y的方程組卜="+1'請你直接寫出它的解;

iy=mx+n,

（3）直線/3：y=〃x+切是否也經(jīng)過點尸？請說明理由.

【解析】（1）交點的坐標(biāo)同時滿足i/2的解析式，可將點（1，b）代入人的解

析式中求出8的值；（2）觀察圖象，由（1）的結(jié)論知方程組的解即是點P的橫、縱

坐標(biāo)；（3）將點P的坐標(biāo)代入&的解析式檢驗左、右兩邊是否相等來判斷.

【解】（1）因為在直線y=x+l上，所以當(dāng)x=l時，h=\+\=2.

（2）解是卜=1'

[y=2.

（3）直線），=依+加也經(jīng)過點P.理由如下：

因為點尸（1,2）在直線y=〃?x+〃上，

所以〃?+〃=2.將x=1弋入中，得y=??+"2=2,

即直線y=tvc-\-m也經(jīng)過點P.

知識點四建立一次函數(shù)模型的步驟

1.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，以問題中自變量的值為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的函數(shù)值為

縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點（若干個）.

2.觀察描出的點在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的分布情況，從而推測函數(shù)圖象的大致形狀,

并據(jù)比進(jìn)一步猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系的類型.

3.根據(jù)猜想及已知條件，用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式并檢驗，必要時可對所求

表達(dá)式作適當(dāng)修正.

4.運用求得的函數(shù)表達(dá)式解決相關(guān)問題.

【例4—1】對于氣溫，有的地方用攝氏溫度表示，有的地方用華氏溫度表示，攝氏溫

度與華氏溫度之間存在著某種函數(shù)關(guān)系.從溫度計上的刻度可以看出，攝氏溫度x與華

氏溫度），有如下的對應(yīng)關(guān)系：

xfC???-1001()203()

“F???1432506886

（1）通過①描點、連線，②猜測），與x之間的函數(shù)關(guān)系，③求解，④驗證這

幾個步驟，試確定y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）某天，南昌的最高氣溫是8℃,悉尼的最高氣溫是91°F,則這一天悉尼的最

高氣溫比南昌的最高氣溫高約多少攝氏度（結(jié)果保留整數(shù)）？

【解析】本題主要考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，但結(jié)論未定，要求根

據(jù)點的坐標(biāo)描點、連線、猜測、求解并驗證.

【解】（1）①描點、連線，如圖所示.

/0120x

②通過觀察可猜測：），是X的一次函數(shù).

③設(shè)），="+力（由于圖象是直線，因此猜測是一次函數(shù)）.將兩對數(shù)值

儼=0，（x=10,分別代入產(chǎn)丘+小得[32=4（用待定系數(shù)法求函數(shù)表

ly=32,（y=50[50=10fc+fo,

達(dá)式）

解得『=",

(b=32,

所以y=1.8x+32.

④驗證：將X=-10,x=20,x=30分別代入y=L8i+32,

得1.8X（-10）+32=14,1.8X20+32=68,1.8義30+32=86（驗證是為了看

猜測是否正確，讓盡可能多的點符合函數(shù)表達(dá)式），結(jié)果都成立，

所以y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y=l.8x+32.

（2）當(dāng)y=91時，由91=1.8x+32,解得x^32.8,32.8—8=24.8^25（℃）.

答：這一天悉尼的最高氣溫比南昌的最高氣溫高約25℃.

【例4—2】由于持續(xù)高溫和連日無雨，某水庫的蓄水量隨著時間的增加而減少.

蓄水量V（單位：萬立方米）與干旱持續(xù)時間，（單位：天）的關(guān)系如圖，回答下列問

題：

（1）干旱持續(xù)10天，蓄水量為多少？連續(xù)干旱23天呢？

（2）蓄水量小于400萬立方米時，將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報，則干早多少天后將發(fā)出

嚴(yán)重干旱警報?

(3)按照這個規(guī)律，預(yù)計持續(xù)干旱多少天時水庫將干涸？

【解析】學(xué)會從圖中獲取相關(guān)信息，找出V與1之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵.

【解】因為圖象為一條直線，所以V與，成一次函數(shù)關(guān)系.

設(shè)V=kt+b.

因為直線過點(0,1200)和(10,1000),

所以b=1200,10%+8=1000,解得攵=-20,

所以V--20r+1200.

(1)干旱持續(xù)10天時，-20X10+1200=1000；

干旱持續(xù)23天時，V=-20X23+1200=740.

故干旱持續(xù)10天，蓄水量為1000萬立方米；連續(xù)干旱23天，蓄水量為740萬立

方米.

(2)由題意知VW400,即一20f+1200<4()(),

解得后40,

所以干旱40天后將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報.

(3)當(dāng)V=0時，-20/+1200=0,所以r=60,

所以持續(xù)干旱60天時水庫將干涸.

【迷津指點】一般從以下兩個方面去分析圖象：(1)根據(jù)函數(shù)圖象可判斷函數(shù)類

型，如直線過原點為正比例函數(shù)，直線不過原點為非正比例函數(shù)的一次函數(shù)；(2)從

x軸、y軸的實際意義去理解函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的實際意義.

僦碣經(jīng)典例題剖析I

【例1】若點A(2,a),B(b,3),C(c,-4)在直線y=2x—3上，試求mb,

c,的值，并判斷這三個點的坐標(biāo)是否是方程y—2x=-3的解.

【解析】把這三個點的坐標(biāo)的對應(yīng)數(shù)值代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程即可求得Q,

b,c的值，坐標(biāo)確定后再代入方程了一〃=一3檢驗即可.

【解】因為點A(2,。)，B(Z?,3),C(c,-4)在直線y=2x—3上，

2x2—3=a,(a=1,

2b—3=3,解得(b=3，

(2c—3=-4,Vc=~

所以A(2,1),B(3,3),C(-1,-4).

又因為1—2X2=—3,3—2X3=—3,—4—2x(—：)=—3,

所以『=2,卜=3,1=號，是方程2x=—3的解.

Ji=1,=3,(y3=-4

【例2】如圖，直線/：），=—|x—3與直線（a為常數(shù)）的交點在第四象限,

則。可能在（）

A.1<?<2

B.—2<6/<0

C.13WaW—2

D.-10<。<一4

【解析】本題考查直線交點問題，難度一般.直線/與y軸的交點為（0,-3）,

直線/與直線交點在第四象限，則。<一3,只有選項D符合題意.

【答案】D

【例3】已知一次函數(shù)y=//u+4有如下性質(zhì)：y隨x的增大而減小，且直線y=

"a+4分別與直線x=l,x=4在第一象限相交于點A,D,直線x=l,x=4分別與x

軸相交于點B,。.若四邊形ABCQ的面積為8.

（1）求〃2的值及此一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若直線y=〃狀+4與x軸相交于點E,與y軸相交于點F,求點E,尸的坐標(biāo)

及三角形EO尸的面積.

【解析】根據(jù)題意畫圖，觀察圖形知四邊形ABCO是梯形，由梯形面積公式可求

得加的值.

【解】（1）由題意，得〃?〈（），點4和點8橫坐標(biāo)相同，點C和點。橫坐標(biāo)相同.

由此可得，點4（1,m+4），D（4,4〃z+4）,如圖所示.

因為點A,。在第一象限，所以卜+4>°'

14m+4>0,

解得m>—1,所以一1<m<0,

所以8=4〃z+4,AB=m+4fBC=3.

又因為43〃CO〃)，軸，

所以四邊形A3CO是直角梯形.

由梯形面積5=工(AB+CD)BC=-(m+4+4m+4)義3=8,解得血=一且，即

2215

一^欠函數(shù)表達(dá)式為y=——x+4.

JLD

(2)令y=0,則一船+4=0,解得尸熱令x=0,則y=4,所以E(口,0),F

(0,4),所以三角形EO尸的面積為工乂/義4=15.

22

【例4】請你根據(jù)圖中圖象所提供的信息，求出一個二元一次方程組，使它滿足圖

象中的條件.

【解析】求由兩條直線確定的二元一次方程組的一般步驟：①觀察圖象確定已知

點的坐標(biāo)；②用待定系數(shù)法分別求出兩條直線的表達(dá)式；③把兩條直線的表達(dá)式寫成

二元一次方程的形式.

【解】設(shè)直線/i,，2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式分別為y=〃ix+bi,y=a2x+b2.

由題意，得卜+瓦=1'卜+尻=1，

91=-1,{,3a2~^b2—0,

解得卜=2，之2所以直線/],,2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式分別為y=2x—1,

、瓦=-1，劣=a，

y=2%—1,

所以所求的方程組為113

▼22

【例5】甲、乙兩車分別從A,8兩地相向而行，甲車出發(fā)lh后乙車出發(fā)，并以

各自的速度勻速行駛，兩車相遇后依然按照原速度原方向各自行駛.如圖所示的是甲、

乙兩車之間的距離s與甲車出發(fā)時間/之間的函數(shù)圖象，其中點。表示甲車到達(dá)B地,

停止行駛.

(DA,B兩地的距離為km,乙車的速度是，。的值為；

(2)乙出發(fā)多長時間后兩車相距330km?

【解析】當(dāng)，=0時，s=560,所以4B兩地的距離為560km.甲車的速度為(560

-440)4-1=120(km/h).設(shè)乙車的速度為xkm/h,貝I(120+x)X(3-1)=440,

解得x=100,所以乙車的速度為100km/h.相遇后甲車到達(dá)B地的時間為(3—1)

X1004-120=-(h)，所以。=(120+100)x-=—.

333

【解】(

1)560100km/h—3

(2)設(shè)直線8C的解析式為5=神+6(攵芹()).

將B(l,440),C(3,0)代入，得卜+瓦=440,

13自十瓦=0,

解得|七一之2°，所以$=一220.+660.

力1=660,

由題意，得一2201+660=330,解得1=1.5,所以，-1=1.5—1=0.5.

設(shè)直線CD的解析式為s=k2t+b2(公￡0).

3/C2+^2=

點D的橫坐標(biāo)為|+3甘，將C(3,0)，D與詈)代入，得14..1100

一七一岳=---

?3/乙3

僅

解得|2=220,

b2——660,

所以s=220f—660.由2201—660=330,解得1=4.5.

所以r—1=4.5—1=3.5.

答：乙出發(fā)0.5h或3.5h后兩車相距330km.

【例6】在“美麗廣西，清潔鄉(xiāng)村”活動中，李家村村民委員會主任提出了兩種購

買垃圾桶的方案.方案1：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以后每月的垃圾處理費用

為250元；方案2：買不分類垃圾桶，需要費用10（）（）元，以后每月的垃圾處理費用為

500元.設(shè)方案1的購買費和每月垃圾處理費共為y元，交費時間為x個月；方案2的

購買費和每月垃圾處理費共為”元，交費時間為x個月.

（1）直接寫出"，），2與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)y,的圖象；

（3）在垃圾桶使用壽命相同的情況下，哪種方案省錢？

【解析】（1）根據(jù)總費用=購買垃圾桶的費用+每月的垃圾處理費用X月數(shù)，即

可求出"，”與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，運用兩點法即可畫

出函數(shù)V，”的圖象；（3）觀察圖象可知，當(dāng)使用時間大于8個月時，方案1省錢；

當(dāng)使用時間小于8個月時，方案2省錢；當(dāng)使用時間等于8個月時，方案1與方案2

一樣省錢.

【解】（1）由題意，得yi=25（k+3000,y2=500x+1000.

（2）如圖所示.

元

千

7

6

5

4

3

2

1

（3）由圖象可知，①當(dāng)使用時間大于8個月時，直線y落在直線”的下方，y

V”，即方案1省錢；②當(dāng)使用時間小于8個月時，直線”落在直線》的下方，

即方案2省錢；③當(dāng)使用時間等于8個月時，》=），2,即方案1與方案2一樣省錢.

【迷津指點】本題主要考查利用一次函數(shù)的模型解決實際問題的能力.解題的關(guān)鍵

是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合圖象求解.注意要把所有的情況都考慮進(jìn)去，分情

況討論問題是解決實際問題的基本能力.

【例7】某校校園超市老板到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進(jìn)

貨單價是甲品牌進(jìn)貨單價的2倍，考慮各種因素，預(yù)計購進(jìn)乙品牌文具盒的數(shù)量y（單

位：個）與甲品牌文具盒的數(shù)量X（單位：個）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.當(dāng)購進(jìn)的甲、

乙品牌的文具盒中，甲有12（）個時，購進(jìn)甲、乙品牌義具盒共需7200元.

50200

（1）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求甲、乙兩種品牌文具盒的進(jìn)貨單價：

（3）若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的

文具盒可獲利9元，根據(jù)