第09講空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類

☆

學習標

理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關運算.會求空間向量的夾

角、長度以及有關平行、垂直的證明.

［豳基礎知識

知識點1空間直角坐標系

i.空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點。和一個單位正交基底｛i,J,k｝f以。為原點，分別以i,力k

的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：工軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們

就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

(2)相關概念：。叫做原點，i,〃都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱

為。町平面、O/平面、0次平面，它們把空間分成八個部分.

注意點：

⑴基向量:問=加=|川=量i?j=i?k=j?k=0

(2)畫空間直角坐標系Ox"時，一般使NxOy=135。(或45。)，45=90。.

(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指

向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

2.空間一點的坐標、向■的坐標

(1)空間點的坐標

在空間直角坐標系Ox"中，i，j，”為坐標向量，對空間任意一點A,對應一個向量溫，且點A的位

置由向量況唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組Cr,y,z),使/=xi+jj+M.在單位

正交基底｛i,j,A｝下與向量討對應的有序實數(shù)組(x,j,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作

A(xfytz),其中x叫做點A的橫坐標，叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點

點的位置X軸上y軸上z軸上

坐標的形式(x,0,0)[0,乂0)(0,0,Z)

點的位置。盯平面內Oyz平面內0X平面內

坐標的形式(X,y,0)(。，y，z)(x,0,z)

(2)空間點的對稱問題

①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求

解.

②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論.

(3)空間向■的坐標

向量的坐標：在空間直角坐標系。盯z中，給定向量。，作成=用由空間向量基本定理，存在唯一的

有序實數(shù)組(X,j,z),使。=與+0+4.有序實數(shù)組住，)，，z)叫做。在空間直角坐標系Ox”中的坐標，可

簡記作a=(xtytz).

知識點2空間向量的坐標運算

1.空間向■的坐標運算法則

設向量。=(也，。2,。3),b=(bi,bl,力3),zGR,那么

向量運算向量表示坐標表示

加法a+b(。1+加，⑥+岳，爆+歷)

減法a-b(a\—h\taz-bi,田-63)

數(shù)乘(萩i,Aan幺。3)

數(shù)量積a?b。1加+。2岳+。必3

注意點：

(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.

(2)設A(xi,yi,zi),B(X29yitzi)?則無力=(工2—xi,J2-ji,Z2-zi).即一個空間向量的坐標等于表示此向

量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

(3)運用公式可以簡化運算：(〃±力戶=42±2。?力+從；(a+A)?(a—A)=Q2—護

(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示：數(shù)量積的結果為數(shù)量.

2.空間向量相關結論的坐標表示

設0=31,。2,43),b=(bi,bi?岳),則有

⑴平行關系：當厚0時，a〃bua=).buai=).bi,ai=).bifaj=x^3(>.^R)；

(2)垂直關系：a_1807功=00/1力1+“2〃2+。3”3=0.

(3)|a|=夜1=y/山+次+al

aibi+a2b2+a3b3

(4)cos<a,b)=麗=5++了+總動彳+加+〃/

注點：

(1)要證明。_1_力，就是證明。功=0;要證明。〃兒就是證明。=勸(厚0).

(2)a=(xifji,zi),力=(工2,yifzz),若?！ㄍ邉t必=)2=%成立的條件是卬山利?

3.空間兩點間的距離公式

在空間直角坐標系中，設尸1(X1,VI,Z1),兄2(X2,yi?Z2).

(1)PlPz=(X2-XltJ2-Jl?Z2—Zl).

(2)P|P2=IP\PT|=，T2—X『+y2—yJ+j—Z，.

(3)若30,0,0),P(xtytZ),則|訪尸

注：空間兩點間的距離公式推導過程

如圖，建立空間直角坐標系。盯z,

設Pi(xi,ji,zi),P2(X2fyifZ2)是空間中任意兩點，P\PI=OPI—OP\=(X2—X\1yi-y\t22—zi),

［函解題策略

1.建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點

落在坐標軸上.充分利用幾何圖形的對稱性.

2.求某點M的坐標的方法

作MAT垂直于平面。孫，垂足為求AT的橫坐標X,縱坐標y,即點"的橫坐標x,縱坐標月再

故選：B.

考點二：空間點的對稱問題

【答案】C

【分析】利用空間直角坐標系對稱點的特征即可求解.

故選：C.

【答案】A

故選：A

【答案】B

iinin

【分析】由對稱性分別求出以C則有BC，即可求得心。

故選：B

【分析】先利用對稱找出P的位置，再結合三角形相似以及空間向量的運算即可求解

過點。作平面直萬垂線垂足為8,

因為M與N關「平面對稱，

y

考點三：空間向量的坐標表示

【分析】利用向量的坐標運算求解.

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向軟的坐標表示直接寫出作答.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件求得?！?/p>

故選：D

【分析】求出坐標，根據(jù)給條件表示出c坐標，利用向量模的坐標表示計算作答.

【答案】AD

故選:AD.

考點四：空間向量的坐標運算

【分析】以向量的代數(shù)運算律解之即可.

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共面滿足的坐標關系，對每個選項進行逐?分析，即可判斷和選擇.

同理，B,C中的三個向量也不共面；

故選:D.

【答案】1

故答案為：1

【答案】B

顯然OA，不共線，

經驗算只有B選項符合條件，

故選:B

【答案】BD

所以尸，A,B,。四點共面，D正確；

故選：BD.

變式5.（2023春?重慶?高一重慶一中?？计谥校┫铝袔捉M空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.

故選：D

A.頂角為銳角的等腰三角形B,等腰直角三角形

C.等邊三角形D.頂角為鈍角的等腰三角形

【答案】A

所以為銳角，

故選：A.

考點五：空間向量的平行問題

C-1

?2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算的坐標表示，結合向量共線條件列式計算作答.

所以實數(shù)％的值為-g.

故選：C

【答案】AC

【分析】根據(jù)單位向量的概念，求出與向量a共線的單位向量士即可

故選：AC

變式3.(2023秋?吉林長春?高二長春市第二實驗中學校考階段練習)已知空間兩點42,1,1),B(3,2,

1),下列選項中的)與A%共線的是()

【答案】D

【詳解】解:由點42,1,1),8(3,2,1),

故選：D

【答案】I

故答案為：L

考點六：利用坐標運算解決數(shù)量積問題

A.IIB.3C.4D.15

【答案】C

故選：C.

【答案】19

故答案為：19

A.-3B.3C.-ID.6

【答案】B

故選：B.

考點七：空間向量的垂直問題

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

故選：D.

【答案】50

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關系求出x,再結合向量的坐標運算及模的運算計算作答.

故答案為：5夜

⑴求向量a與向量匕的坐標；

【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標表示公式進行求解即可；

（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標表示公式進行求解即可.

9o7

A.-B.IC.~D.一-

222

【答案】C

故選:C

1R162525

A-2B.石C,-D.正

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.

故選：C.

考點八：利用坐標運算解決夾角問題

故答案為：120.

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的平行、垂直關系求x，z,再根據(jù)空間向量的坐標運算求夾角.

故選：B.

【答案】A

【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.

故選：A.

【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運算的坐標表示，再利用向量的數(shù)量積的坐標運算及向量平行的坐標

表示即可求解.

【答案】（嗎；

【答案】用

2

【分析】根據(jù)題意，求得A8，4c的坐標及其夾角的余弦值和E弦值，利用三角形面積公式即可求得結果.

故答案為：立.

2

A.1B.-C.-D.-

2555

【答案】D

【分析】以。為原點，D4為工軸，OC為）'軸，?！閦軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出異面

直線AM與AG所成角的余弦值.

【詳解】以。為原點，0A為工軸，0c為）軸，。烏為z軸，建立空間直角坐標系，

設異面直線A片與AG所成角為。，

4

所以異面直線A片與4G所成角的余弦值為1.

故選：D.

變式6.（2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）如圖四棱錐以AC。中，底面ABC。為正方形,

且各棱長均相等，E是P8的中點，則異面直線A￡與PC所成角的余弦值為（）

A.@B."C.-D.；

6332

【答案】A

【分析】連接AC與5D交于點。，連接P。，以。點為原點，建立空間直角坐標系，分別求得向量AE和PC

的坐標，結合向量的夾角公式，艮1可得解.

【詳解】連接AC與交于點。，連接P0,

以。點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

設異面直線AE與PC所成角為6,

故選：A.

考點九：利用坐標運算解決距離問題

【答案】石

【分析】寫出對應的向量，利用向量模求解.

故答案為：石.

A.45B.ViOC.5D.10

【答案】A

【分析】先求出AC,再利用向量的模長計算公式即可

故選:A

【答案邛

【分析】利用空間向量的坐標運算求兩點間的距離.

如圖，將正四面體48C。放在正方體中，則正方體的邊長為正，

2

故答案為：立.

3

【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示，以及向量模的計算公式，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.

A.19B.上C.D,2

7714

【答案】C

【分析】利用向量的坐標公式求得的坐標，再利用向量模的坐標公式求解.

故選:C

【答案】V2

【詳解】設CQ,0,0）,。（0,）,0）,

故答案為：yjl

【點睛】方法點睛：求及值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）數(shù)形結合法；（3）導數(shù)法；（4）基本不

等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

【答案】4

【分析】利用坐標法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算，向量線性運算，不等式思想即可求解.

【詳解】a,b是空間相互垂直的單位向最，

故答案為：4.

考點十：利用坐標運算求投影或投影向量

【答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.

【詳解】根據(jù)空間中點的坐標確定方法知，

橫坐標為0,縱坐標與豎坐標不變.

故選：B.

【答案】B

【分析】利用投影向量的定義求解作答.

故選:B

【答案】C

【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求解即可.

故選:C.

【分析】計算48,CD，根據(jù)投影公式得到答案.

[⑨真題演練]

-MIIIIIIIIIIIMIIIIBIIIIllllllltUllUlll.........，

【答案】B

【考點定位】本題考查空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標運算，屬于中等題.

【答案】3

【答案】2

【分析】利用空間向量的坐標運算和數(shù)量積表示求解.

故答案為：2

【詳解】以D為原點，DA為x粕正半軸，DC為y軸正半軸，DDi為z軸正半軸,

建立空間直角坐標系，則A(l,0,0),Ai(L0,2),N(；,l,0),C(01,0)),設M(0,l,z),

【點睛】本題考查平面與平面垂直、空間中兩點間的距離以及二面角的求法，對于二面角的求解，關鍵是

要找到合適的位置建立空間直角坐標系，并求出相應的法向量，考查空間想象能力與運算能力，屬于中等

題.

:反甲檢測J

―HiiiMiaiiiuiiiiiiiiiiiiMiiiiiBiiiiui，

一、單選題

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量坐標運算法則進行計算.

故選：A

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.正三角形D.直角三角形

【答案】D

故選：D

B

C.1D.72

故選：B

A.(—1,3,—3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

【答案】B

故選：B

【答案】B

【分析】利用向量運算以及向量的夾角公式進行求解.

故選：B

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

故選：D

7.(2023春?江蘇常州?高二常州高級中學?？茧A段練習)下列各組空間向量不能構成空間的一組基底的是

)

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.

故選：B.

【答案】B

【分析】根據(jù)向量坐標運算即可.

故選：B.

【答案】C

【詳解】由題意，

故選：C.

A.—7B.—6C.—5D.—4

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示計算可得.

故選：B

【答案】C

又“與力的夾角為鈍角，

故選：C

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】A

故選:A.

二、多選題

【答案】ABD

【分析】根據(jù)空間向量線性坐標運算、數(shù)量積的坐標運算以及垂直的坐標表示即可求解.

故選：ABD

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的坐標進行運算，求向量的模長，判斷關系.

故選：ABC.

【答案】CD

【分析】根據(jù)空間向量的模長、數(shù)量積的坐標運算，以及平行、垂直的坐標表示即可求解.

故選:CD.

【答案】AD

【分析】根據(jù)向量的坐標模長公式、線性運算、數(shù)量積的坐標表示、