高一上學(xué)期國(guó)際與數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，共40分）下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.等腰梯形解析：中心對(duì)稱圖形是指繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形。平行四邊形繞其對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后可與原圖形重合，因此答案為B。其他選項(xiàng)中，等邊三角形和正五邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形但非中心對(duì)稱，等腰梯形是軸對(duì)稱圖形。2025年1月，某城市生產(chǎn)總值達(dá)13507.7億元，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)是（）A.1.35077×1012B.13507.7×10?C.1.35077×10?D.1.35077×10?解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10?，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)。13507.7億=1350770000000=1.35077×1012，故答案為A。注意億級(jí)單位轉(zhuǎn)化時(shí)需補(bǔ)充8個(gè)零，再加上原有的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)。下列運(yùn)算正確的是（）A.(-m2)3=-m?B.3m3·2m2=6m?C.4m?÷(-2m)=-2m?D.m+3m2=4m3解析：根據(jù)冪的運(yùn)算法則：A選項(xiàng)正確，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘；B選項(xiàng)應(yīng)為6m?（指數(shù)相加）；C選項(xiàng)應(yīng)為-2m3（指數(shù)相減）；D選項(xiàng)不是同類項(xiàng)不能合并。答案為A。直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)是（）A.35°B.40°C.45°D.50°解析：由AB⊥AC可得∠BAC=90°，根據(jù)平行線性質(zhì)，∠1的同位角為55°，則∠2=180°-90°-55°=35°，答案為A。輔助線作法：延長(zhǎng)BA交直線b于點(diǎn)D，構(gòu)造直角三角形求解。已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1,2,3,4}，則滿足A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)是（）A.3B.4C.7D.8解析：解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。集合C必須包含{1,2}且是B的子集，故C的個(gè)數(shù)等于集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)（22=4），答案為B。注意區(qū)分子集與真子集的概念，此處C可以等于A或B。函數(shù)f(x)=√(x-2)+1/(x-3)的定義域是（）A.[2,3)∪(3,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.[2,+∞)D.(3,+∞)解析：二次根式要求被開方數(shù)非負(fù)：x-2≥0?x≥2；分式要求分母不為零：x-3≠0?x≠3。取交集得定義域?yàn)閇2,3)∪(3,+∞)，答案為A。注意區(qū)間端點(diǎn)的開閉：等號(hào)成立時(shí)用閉區(qū)間。若a<b<0，則下列不等式一定成立的是（）A.1/a<1/bB.a2<abC.|a|>|b|D.a3>b3解析：采用特殊值法，設(shè)a=-3，b=-2：A選項(xiàng)-1/3>-1/2，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)9>6，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)3>2，正確；D選項(xiàng)-27<-8，錯(cuò)誤。答案為C。也可根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)：負(fù)數(shù)越小絕對(duì)值越大。國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）2025年試題中，某幾何題涉及三角形外心與垂心的距離計(jì)算，若△ABC中，外心O到BC邊的距離等于BC邊長(zhǎng)的一半，則∠BAC的度數(shù)是（）A.45°B.60°C.90°D.120°解析：外心O到BC的距離d=OD（D為BC中點(diǎn)），在Rt△OBD中，OD=BC/2=BD，故∠BOD=45°，則∠BOC=90°。根據(jù)圓心角與圓周角關(guān)系，∠BAC=∠BOC/2=45°，答案為A。該題融合了國(guó)際競(jìng)賽中的幾何構(gòu)造思想。二、填空題（每題5分，共30分）已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|mx-1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的所有可能值組成的集合是________。解析：解方程x2-5x+6=0得A={2,3}。當(dāng)B=?時(shí)，m=0；當(dāng)B={2}時(shí)，2m-1=0?m=1/2；當(dāng)B={3}時(shí)，3m-1=0?m=1/3。故答案為{0,1/2,1/3}。注意空集是任何集合的子集，不可遺漏m=0的情況。函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值是________，最小值是________。解析：二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=1，開口向上。在區(qū)間[0,3]上，當(dāng)x=1時(shí)取得最小值f(1)=2；比較端點(diǎn)值f(0)=3，f(3)=6，故最大值為6。答案依次為6,2。利用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證：f'(x)=2x-2，x=1為極值點(diǎn)。已知a>0，b>0，且a+2b=4，則ab的最大值是________。解析：由基本不等式得a+2b=4≥2√(2ab)，平方得16≥8ab?ab≤2。當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2，即a=2，b=1時(shí)取等號(hào)。答案為2。本題體現(xiàn)了國(guó)際試題中常見的不等式應(yīng)用題型。若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(-3)=________。解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-3)=-f(3)。當(dāng)x=3時(shí)，f(3)=9-6=3，故f(-3)=-3。答案為-3。利用奇函數(shù)性質(zhì)f(-x)=-f(x)是解題關(guān)鍵，避免直接求x<0時(shí)的解析式。國(guó)際數(shù)學(xué)測(cè)試中有一種“數(shù)字黑洞”現(xiàn)象：任取一個(gè)正整數(shù)，若是偶數(shù)則除以2，若是奇數(shù)則乘3加1，反復(fù)運(yùn)算最終會(huì)得到同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是________。解析：這是著名的考拉茲猜想，目前已驗(yàn)證所有小于2??的數(shù)均會(huì)收斂到1。例如：3→10→5→16→8→4→2→1。答案為1。該題引入了國(guó)際趣味數(shù)學(xué)試題中的經(jīng)典問題。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則a?=________。解析：遞推計(jì)算得：a?=2×1+1=3，a?=2×3+1=7，a?=2×7+1=15，a?=2×15+1=31。答案為31。該數(shù)列的通項(xiàng)公式可表示為a?=2?-1，體現(xiàn)了國(guó)際競(jìng)賽中常考的遞推數(shù)列構(gòu)造思想。三、解答題（共80分）（12分）已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。（1）求集合A；（2）若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：（1）解不等式x2-3x-10≤0，因式分解得(x-5)(x+2)≤0，故A=[-2,5]。（4分）（2）當(dāng)B=?時(shí)，m+1>2m-1?m<2，滿足條件；（6分）當(dāng)B≠?時(shí)，需滿足：[\begin{cases}m+1≥-2\2m-1≤5\m+1≤2m-1\end{cases}]解得2≤m≤3。（10分）綜上，m的取值范圍是(-∞,3]。（12分）評(píng)分要點(diǎn)：未考慮B為空集情況扣3分，端點(diǎn)值錯(cuò)誤各扣1分，最終結(jié)果未合并區(qū)間扣2分。（14分）已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5，x∈[t,t+2]。（1）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值；（2）求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的表達(dá)式。解析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，x∈[1,3]，對(duì)稱軸x=2∈[1,3]，f(x)min=f(2)=1，f(x)max=max{f(1),f(3)}=max{2,2}=2。（4分）（2）對(duì)稱軸x=2，分三種情況討論：①當(dāng)t+2<2即t<0時(shí)，f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞減，g(t)=f(t+2)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1；（6分）②當(dāng)t≤2≤t+2即0≤t≤2時(shí)，g(t)=f(2)=1；（8分）③當(dāng)t>2時(shí)，f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增，g(t)=f(t)=t2-4t+5。（10分）綜上，g(t)=[\begin{cases}t2+1&(t<0)\1&(0≤t≤2)\t2-4t+5&(t>2)\end{cases}]（14分）評(píng)分要點(diǎn)：分類討論標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤扣5分，每種情況表達(dá)式正確各得2分，最終結(jié)果未寫分段函數(shù)形式扣2分。（14分）某國(guó)際學(xué)校要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花園，花園的一面靠墻（墻長(zhǎng)18米），另三面用柵欄圍成，柵欄總長(zhǎng)30米。（1）設(shè)花園的寬為x米，面積為S平方米，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，花園面積最大？最大面積是多少？解析：（1）設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米（寬），則平行于墻的邊長(zhǎng)為30-2x米（長(zhǎng)）。面積S=x(30-2x)=-2x2+30x。（4分）由題意得：[\begin{cases}30-2x>0\30-2x≤18\x>0\end{cases}]解得6≤x<15，故定義域?yàn)閇6,15)。（8分）（2）S=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5，（10分）∵x=7.5∈[6,15)，∴當(dāng)x=7.5時(shí)，Smax=112.5。（12分）此時(shí)長(zhǎng)為30-2×7.5=15米<18米，符合題意。答：當(dāng)寬為7.5米時(shí)，花園面積最大，最大面積112.5平方米。（14分）評(píng)分要點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系式錯(cuò)誤扣4分，定義域求解錯(cuò)誤扣3分，未驗(yàn)證最大值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)扣2分，未寫答句扣1分。（15分）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足f(0)=2，f(1)=f(-1)=3。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)g(x)=f(x)-mx，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：（1）由f(0)=2得c=2；（2分）由f(1)=a+b+2=3，f(-1)=a-b+2=3，解得a=1，b=0，故f(x)=x2+2。（5分）（2）方程x2+2=k即x2=k-2，（7分）要有兩個(gè)不相等實(shí)根，則k-2>0?k>2，故k的取值范圍是(2,+∞)。（9分）（3）g(x)=x2-mx+2，對(duì)稱軸x=m/2，（11分）∵g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴m/2≤1?m≤2，（14分）故m的取值范圍是(-∞,2]。（15分）評(píng)分要點(diǎn)：解析式求解錯(cuò)誤扣3分，方程轉(zhuǎn)化不當(dāng)扣2分，單調(diào)性與對(duì)稱軸關(guān)系錯(cuò)誤扣3分，最終結(jié)果區(qū)間表示錯(cuò)誤扣1分。（15分）國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常出現(xiàn)數(shù)論問題：設(shè)n是正整數(shù)，記d(n)為n的正因數(shù)個(gè)數(shù)，S(n)為n的所有正因數(shù)之和。例如d(6)=4（1,2,3,6），S(6)=12。（1）求d(12)和S(12)；（2）若p是素?cái)?shù)，證明：d(p?)=n+1，S(p?)=1+p+p2+…+p?=(p??1-1)/(p-1)；（3）求滿足d(n)=6的最小正整數(shù)n。解析：（1）12的正因數(shù)有1,2,3,4,6,12，共6個(gè)，故d(12)=6；（2分）S(12)=1+2+3+4+6+12=28。（4分）（2）素?cái)?shù)p的正因數(shù)只有1和p，故p?的正因數(shù)為1,p,p2,…,p?，共n+1個(gè)，即d(p?)=n+1；（7分）S(p?)=1+p+p2+…+p?是首項(xiàng)為1，公比為p的等比數(shù)列求和，∴S(p?)=(p??1-1)/(p-1)。（10分）（3）6可分解為6=6×1或6=3×2，①若n=p?（p為素?cái)?shù)），最小n=2?=32；（12分）②若n=p2q（p,q為不同素?cái)?shù)，p<q），最小n=22×3=12；（14分）∵12<32，∴滿足條件的最小正整數(shù)n=12。（15分）評(píng)分要點(diǎn)：第(2)問證明不嚴(yán)謹(jǐn)扣3分，第(3)問漏解因數(shù)分解情況扣4分，未比較大小直接得出結(jié)論扣2分。（12分）在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。（1）求證：DE+DF是定值；（2）設(shè)BD=x，四邊形AEDF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的取值范圍。解析：（1）作AG⊥BC于G，∵AB=AC=5，BC=6，∴BG=3，AG=4（勾股定理）。（2分）S△ABC=BC·AG/2=6×4/2=12，（3分）連接AD，則S△ABD+S△ACD=S△ABC，即AB·DE/2+AC·DF/2=12，∵AB=AC=5，∴5(DE+DF)/2=12?DE+DF=24/5=4.8（定值）。（6分）（2）BD=x，則DC=6-x，∠B=∠C，在Rt△BDE中，DE=BD·sinB=x·(AG/AB)=4x/5，（7分）同理DF=DC·sinC=(6-x)·4/5=4(6-x)/5，（8分）BE=BD·cosB=3x/5，CF=3(6-x)/5，AE=AB-BE=5-3x/5，AF=AC-CF=5-3(6-x)/5=(3x+7)/5，（9分）S=S△ABC-S△BDE-S△CDF=12-(BD·DE)/2-(DC·DF)/2=12-(x·4x/5)/2-[(6-x)·4(6-x)/5]/2=12-(2x2+2(6-x)2)/5=12-[2x2+2(x2-12x+36)]/5=12-(4x2-24x+72)/5=(-4x2+24x+60-72)/5+12=(-4x2+24x-12)/5+12=-4x2/5+24x/5+(-12+60)/5=-4x2/5+24x/5+48/5=-4(x2-6x-12)/5=-4[(x-3)2-21]/5（11分）∵x∈(0,6)，當(dāng)x=3時(shí)Smax=84/5=16.8，當(dāng)x→0或x→6時(shí)S→48/5=9.6，∴S的取值范圍是(48/5,84/5]。（12分）評(píng)分要點(diǎn)：第(1)問輔助線作法錯(cuò)誤扣2分，第(2)問函數(shù)關(guān)系式整理錯(cuò)誤扣3分，取值范圍開閉區(qū)間錯(cuò)誤扣2分。三、附加題（20分，國(guó)際競(jìng)賽拓展題型）設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，證明：(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≥(ab+bc+ca)3。證明：∵a2+ab+b2≥ab+ab+ab=3ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），（5分）同理b2+bc+c2≥3bc，c2+ca+a2≥3ca，（10分）三式相乘得(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≥27a2b2c2，（12分）又∵(ab+bc+ca)3≥(3√[a2b2c2])3=27a2b2c2（基本不等式），（15分）但上述放縮等號(hào)不能同時(shí)成立（前者需a=b=c，后者取等條件相同），需調(diào)整證明：∵a2+ab+b2=(a+b/2)2+(3b2)/4≥(a+b/2)(b+a/2)=ab+a2/2+b2/2+ab/4=5ab/4+a2/2+b2/2，（此處采