2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策模型試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.已知一組樣本數(shù)據(jù)：3,5,7,9,11，則其樣本中位數(shù)是（）。A.6B.7C.8D.92.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤（α）是指（）。A.接受真實為假的假設(shè)B.拒絕真實為真的假設(shè)C.接受真實為真的假設(shè)D.拒絕真實為假的假設(shè)3.對于兩個隨機(jī)變量X和Y，如果Corr(X,Y)=-0.8，則說明（）。A.X和Y線性相關(guān)性強(qiáng)，且正相關(guān)B.X和Y線性相關(guān)性強(qiáng)，且負(fù)相關(guān)C.X和Y線性相關(guān)性弱，且正相關(guān)D.X和Y線性相關(guān)性弱，且負(fù)相關(guān)4.在簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε表示（）。A.回歸系數(shù)B.截距項C.因變量的線性部分D.隨機(jī)誤差項5.若時間序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)穩(wěn)定上升的趨勢，則擬合（）趨勢模型較為合適。A.線性B.指數(shù)C.對數(shù)D.S型6.進(jìn)行單因素方差分析（ANOVA）時，其原假設(shè)H?是（）。A.各總體均值相等B.各總體均值不等C.樣本均值相等D.樣本均值不等7.從總體中抽取樣本進(jìn)行推斷時，用樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（s?/√n）來衡量抽樣誤差，這種抽樣誤差屬于（）。A.系統(tǒng)誤差B.非抽樣誤差C.抽樣誤差中的隨機(jī)誤差D.登記誤差8.在風(fēng)險型決策中，決策者傾向于避免風(fēng)險，可能會選擇（）準(zhǔn)則。A.期望值最大化B.期望后悔值最小化C.最大最小收益D.等可能性9.在完全隨機(jī)設(shè)計中，將n個實驗單位隨機(jī)分配到k個處理組中，每個處理組包含（）個實驗單位。A.n/kB.nC.kD.110.已知某地區(qū)歷年銷售額數(shù)據(jù)呈指數(shù)增長趨勢，若用對數(shù)線性模型（ln(Y)=β?+β?X+ε）擬合，則β?表示（）。A.銷售額的絕對增長量B.銷售額的相對增長率C.銷售額的線性增長量D.銷售額的線性增長率二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0，則這組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為______。2.假設(shè)檢驗中，顯著性水平α表示犯第一類錯誤的概率，其值越小，犯第二類錯誤的概率______。3.在二元線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是______。4.若時間序列數(shù)據(jù)同時存在明顯的長期趨勢和季節(jié)變動，通常采用______法對其進(jìn)行分解。5.進(jìn)行分層抽樣時，應(yīng)保證每層內(nèi)的單元差異______，層間差異______。6.決策樹分析中，通常用______表示決策節(jié)點，用______表示狀態(tài)節(jié)點（或結(jié)果節(jié)點）。7.方差分析的基本思想是______。8.若變量X和Y之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，則它們的相關(guān)系數(shù)r一定等于______。9.在簡單隨機(jī)抽樣（重復(fù)抽樣）下，抽樣平均誤差σ?與樣本量n的關(guān)系是______。10.貝葉斯決策方法中，后驗概率是指在不完全信息下，根據(jù)補(bǔ)充信息重新計算的條件概率P(θ|D)。三、計算題（每小題10分，共30分）1.某公司抽查了5名員工的月工資（單位：千元）：3,4,5,6,7。(1)計算樣本均值和樣本方差。(2)若已知總體方差σ2=4，計算樣本均值μ?的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤）。2.某研究人員想檢驗一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效。設(shè)H?：新藥效果無異（μ?=μ?），H?：新藥效果更好（μ?>μ?）。隨機(jī)抽取兩組病人，新藥組樣本量n?=30，樣本均值x??=85，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s?=10；現(xiàn)有藥物組樣本量n?=30，樣本均值x??=80，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s?=12。假設(shè)兩組病人總體方差相等，檢驗水平α=0.05。請完成以下檢驗步驟：(1)計算合并樣本方差s_p2。(2)計算檢驗統(tǒng)計量t的值。(3)查t分布表，確定臨界值t_α(n?+n?-2)。(4)做出統(tǒng)計決策，并說明結(jié)論。3.某分析師收集了某股票過去10周的價格數(shù)據(jù)（元），發(fā)現(xiàn)價格（Y）與周數(shù)（X）之間存在線性關(guān)系，擬合的簡單線性回歸方程為Y?=100+5X。已知樣本容量n=10，實際觀測到的Y值平方和SSY=5000，X與Y的離差平方和SSXY=200。(1)計算回歸系數(shù)β?的估計值（即斜率）。(2)計算判定系數(shù)R2，并解釋其含義。(3)當(dāng)X=6時，預(yù)測Y的值（點估計）。四、分析題（每小題15分，共30分）1.某工廠生產(chǎn)一種零件，其重量（克）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個零件，測得重量分別為：99.8,100.2,99.5,100.5,99.7,100.0,100.3,99.9,100.1,100.4。問是否有理由認(rèn)為這批零件的平均重量顯著不同于100克？（α=0.05）請寫出完整的假設(shè)檢驗過程，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、做出決策和結(jié)論。2.某公司考慮推出一種新產(chǎn)品，面臨三種市場前景（需求高、需求中、需求低）和三種營銷策略（策略A、策略B、策略C）。經(jīng)預(yù)測，不同策略在不同市場前景下的預(yù)期利潤（萬元）如下：*策略A：若需求高，利潤20；若需求中，利潤10；若需求低，虧損5。*策略B：若需求高，利潤15；若需求中，利潤12；若需求低，虧損2。*策略C：若需求高，利潤10；若需求中，利潤10；若需求低，利潤3。假設(shè)公司認(rèn)為需求高、中、低發(fā)生的概率分別為0.3、0.5、0.2。請分別用期望值準(zhǔn)則和最大最小后悔值準(zhǔn)則為該公司選擇最優(yōu)營銷策略。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.B4.D5.A6.A7.C8.C9.A10.B二、填空題1.02.增大3.[0,1]4.時間序列分解5.??；大6.方框；圓形7.通過比較組內(nèi)變異和組間變異來判斷因素效應(yīng)8.09.成反比（或與√n成反比）10.條件三、計算題1.(1)樣本均值μ?=(3+4+5+6+7)/5=5.0。樣本方差s2=[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]/(5-1)=(4+1+0+1+4)/4=2.0。(2)標(biāo)準(zhǔn)誤σ??=σ/√n=√4/√5=2/√5=2√5/5≈0.894。2.(1)s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(30-1)102+(30-1)122]/(30+30-2)=[2900+4176]/58=7076/58≈121.74。(2)t=(x??-x??)/s_p*√(1/n?+1/n?)=(85-80)/√121.74*√(1/30+1/30)=5/√121.74*√(2/30)=5/11.036*0.2582≈5/11.036*0.2582≈0.101*0.2582≈1.414。(3)臨界值t_0.05(58)≈1.671（查t表，自由度df=58，單尾）。(4)因為|t|=1.414<1.671，所以不拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為新藥效果更好。3.(1)斜率β?的估計值為b?=SSXY/SSX=200/10=20。（注：題目中Y?=100+5X已給出b?=5，此處按題目給定的模型信息計算，若按回歸公式b?=SSXY/SSX=200/10=20，則R2=SSR/SSY=20*20/5000=400/5000=0.08，與原R2=52*200/5000=0.08不符，說明題目條件可能矛盾。若嚴(yán)格按R2=0.08計算，b?需滿足R2=SSR/SSY=1-SSRE/SSY，但此處信息不足。此處按題目給定的模型Y?=100+5X，直接使用β?=5。）更正：題目給定了Y?=100+5X，直接使用β?=5。斜率β?的估計值=5。(2)R2=β?2*SSXY/SSY=52*200/5000=25*200/5000=5000/5000=1.0。（注：此處按b?=5計算，R2=1.0，與題目條件矛盾。若按b?=SSXY/SSX=20，則R2=400/5000=0.08。此題模型信息存在矛盾。假設(shè)題目意圖是R2=1。）假設(shè)題目意圖是R2=1。R2=1.0。其含義是X對Y的線性解釋度為100%，即Y的變異性完全可以通過X的線性關(guān)系來解釋。(3)預(yù)測值Y?=100+5*6=100+30=130。四、分析題1.設(shè)總體均值為μ。提出假設(shè)：H?:μ=100,H?:μ≠100。計算樣本均值x?=(99.8+100.2+99.5+100.5+99.7+100.0+100.3+99.9+100.1+100.4)/10=1000/10=100.0。計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=√[Σ(x?-x?)2/(n-1)]=√[(-0.2)2+0.22+(-0.5)2+0.52+(-0.3)2+02+0.32+(-0.1)2+(0.1)2+(0.4)2]/9=√[(0.04+0.04+0.25+0.25+0.09+0+0.09+0.01+0.01+0.16)/9]=√[1.34/9]=√0.149≈0.386。選擇檢驗統(tǒng)計量t=(x?-μ?)/(s/√n)=(100-100)/(0.386/√10)=0/(0.386/√10)=0/(0.386/3.162)=0/0.122≈0.0。臨界值：自由度df=n-1=9。查t分布表，α/2=0.025，df=9，臨界值t_0.025(9)≈2.262。拒絕域為(-∞,-2.262)∪(2.262,∞)。決策：因為|t|=0.0<2.262，落在接受域內(nèi)。結(jié)論：在α=0.05水平下，不拒絕H?，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為該批零件的平均重量顯著不同于100克。2.(1)期望值準(zhǔn)則：計算各策略的期望利潤：EV(A)=0.3*20+0.5*10+0.2*(-5)=6+5-1=10萬元。EV(B)=0.3*15+0.5*12+0.2*(-2)=4.5+6-0.4=10.1萬元。EV(C)=0.3*10+0.5*10+0.2*3=3+5+0.6=8.6萬元。選擇期望利潤最大的策略B，最優(yōu)策略為