2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策應(yīng)用題庫實戰(zhàn)解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述性統(tǒng)計的主要任務(wù)及其在統(tǒng)計分析中的作用。請分別說明集中趨勢和離散程度測度指標(biāo)中，選擇均值與標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)與四分位差作為主要描述指標(biāo)的條件或適用場景。二、設(shè)一批產(chǎn)品的壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ和σ2未知?，F(xiàn)隨機(jī)抽取容量為n=16的樣本，測得樣本均值x?=1500小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=200小時。1.寫出總體均值μ的90%置信區(qū)間的計算公式。2.假定要檢驗該批產(chǎn)品的平均壽命是否顯著高于1400小時（α=0.05），寫出相應(yīng)的原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?。請說明檢驗統(tǒng)計量的選擇依據(jù)，并給出檢驗統(tǒng)計量的計算公式。3.根據(jù)上述檢驗問題，解釋P值的意義，并說明如果計算得到的P值小于顯著性水平α，你將做出怎樣的統(tǒng)計決策？請說明理由。三、某公司為了解廣告投入與產(chǎn)品銷售額之間的關(guān)系，收集了連續(xù)12個月的廣告投入（單位：萬元）和對應(yīng)的銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)。計算得到：廣告投入的樣本均值x?=5萬元，銷售額的樣本均值y?=80萬元；廣告投入的樣本方差s?2=4，銷售額的樣本方差s<0xE2><0x82><0x99>2=256；廣告投入與銷售額的樣本相關(guān)系數(shù)r=0.85。1.建立簡單的線性回歸模型來描述銷售額對廣告投入的依賴關(guān)系，解釋模型中各符號的含義。2.計算回歸模型的系數(shù)估計值（斜率和截距），并解釋回歸系數(shù)（斜率）在此情境下的經(jīng)濟(jì)意義。3.假設(shè)下個月計劃投入6萬元的廣告費，利用建立的回歸模型預(yù)測可能的銷售額，并簡要說明預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間概念（無需計算具體區(qū)間）。四、為了檢驗兩種不同教學(xué)方法（方法A和方法B）對學(xué)生的考試成績是否有顯著影響，隨機(jī)抽取了15名學(xué)生，其中7人接受方法A教學(xué)，8人接受方法B教學(xué)。他們的考試成績（滿分100分）數(shù)據(jù)已匯總計算（此處省略數(shù)據(jù)列表，假設(shè)數(shù)據(jù)已提供或需計算）。假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布，且兩種方法教學(xué)的學(xué)生成績方差相等但未知。1.寫出檢驗兩種教學(xué)方法效果是否存在顯著差異（單尾檢驗）的原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?。2.說明應(yīng)選擇的恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)檢驗方法，并簡述其基本原理。3.假設(shè)通過計算得到的檢驗統(tǒng)計量為t，自由度為df，P值為0.03。請根據(jù)此結(jié)果，在顯著性水平α=0.05下，做出統(tǒng)計決策，并解釋你的結(jié)論。五、一家銀行想知道客戶的月收入（X，單位：千元）與月支出（Y，單位：千元）之間是否存在線性關(guān)系。隨機(jī)抽取了9位客戶，得到以下信息：樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.9，樣本回歸方程為?=15-2X。1.解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.9的數(shù)值含義。2.當(dāng)某客戶的月收入為5千元時，根據(jù)回歸方程預(yù)測其月支出，并解釋預(yù)測值與實際支出之間可能存在的差異（需提及隨機(jī)誤差）。3.若已知該銀行所有客戶的平均月收入為8千元，根據(jù)回歸方程估計該銀行所有客戶的平均月支出，并簡要說明這個估計值與用樣本均值y?直接計算出的平均支出之間的區(qū)別。試卷答案一、描述性統(tǒng)計的主要任務(wù)是將一組雜亂的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、歸類和展示，提煉出數(shù)據(jù)的主要特征（如集中趨勢、離散程度、分布形狀等），以便更直觀、清晰地認(rèn)識數(shù)據(jù)規(guī)律。其作用在于為后續(xù)的推斷性統(tǒng)計分析提供基礎(chǔ)，幫助研究者理解數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的模式，比較不同數(shù)據(jù)集的特征。選擇均值與標(biāo)準(zhǔn)差作為集中趨勢和離散程度測度指標(biāo)的條件是：數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，且數(shù)據(jù)中沒有極端異常值。此時，均值能最好地反映數(shù)據(jù)的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差能有效地衡量數(shù)據(jù)的波動幅度。選擇中位數(shù)與四分位差作為集中趨勢和離散程度測度指標(biāo)的條件是：數(shù)據(jù)分布偏斜，存在極端異常值，或者數(shù)據(jù)類型是順序數(shù)據(jù)。中位數(shù)不受極端值影響，能更好地反映數(shù)據(jù)的中心位置；四分位差基于中位數(shù)，能有效地衡量數(shù)據(jù)在中間50%范圍內(nèi)的散布程度，對異常值不敏感。二、1.總體均值μ的90%置信區(qū)間的計算公式為：(x?-t_(α/2,n-1)*(s/√n),x?+t_(α/2,n-1)*(s/√n))。其中，x?是樣本均值，s是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n是樣本容量，t_(α/2,n-1)是自由度為n-1、顯著性水平為α/2的t分布臨界值。2.原假設(shè)H?:μ≤1400；備擇假設(shè)H?:μ>1400。選擇t檢驗的依據(jù)是：總體方差σ2未知，且樣本容量n=16屬于小樣本。檢驗統(tǒng)計量的計算公式為：t=(x?-μ?)/(s/√n)，其中μ?=1400是原假設(shè)下的總體均值。3.P值是在原假設(shè)H?為真時，觀察到當(dāng)前樣本統(tǒng)計量或更極端統(tǒng)計量的概率。如果計算得到的P值小于顯著性水平α=0.05，說明觀察到的樣本結(jié)果在原假設(shè)成立下是小概率事件，因此拒絕原假設(shè)H?，接受備擇假設(shè)H?，認(rèn)為該批產(chǎn)品的平均壽命顯著高于1400小時。理由是基于小概率反證法，拒絕原假設(shè)。三、1.簡單線性回歸模型為：Y=β?+β?X+ε。其中，Y是因變量（銷售額），X是自變量（廣告投入），β?是截距，β?是斜率，ε是隨機(jī)誤差項，代表模型無法解釋的變異。2.回歸系數(shù)（斜率）β?的估計值b?=r*(s<0xE2><0x82><0x99>/s?)=0.85*(√256/√4)=0.85*(16/2)=6.8?；貧w系數(shù)（斜率）b?=6.8的經(jīng)濟(jì)意義是：在控制其他因素不變的情況下，廣告投入每增加1萬元，預(yù)計銷售額將增加6.8萬元。3.預(yù)測下個月廣告投入為6萬元時的銷售額：?=b?+b?*6=15+6.8*6=15+40.8=55.8萬元。預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間概念是指：在重復(fù)抽樣的過程中，有100(1-α)%的概率，真實的總體均值（在此情境下指所有可能廣告投入為6萬元時的平均銷售額）會落在我們根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的置信區(qū)間內(nèi)。它衡量了預(yù)測值的不確定性。四、1.原假設(shè)H?:μ_A≤μ_B（方法A的平均成績不超過方法B）；備擇假設(shè)H?:μ_A>μ_B（方法A的平均成績超過方法B）。2.應(yīng)選擇獨立樣本t檢驗（用于比較兩個獨立群體的均值差異），因為數(shù)據(jù)來自兩個不同的樣本組（接受方法A和方法B教學(xué)的學(xué)生），且假設(shè)兩組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布且方差相等?；驹硎潜容^兩組樣本均值之間的差異是否足夠大，以排除由隨機(jī)抽樣誤差引起的偶然性，從而判斷兩組總體均值是否存在顯著差異。3.由于P值=0.03<α=0.05，因此拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論是在顯著性水平α=0.05下，有足夠的證據(jù)表明方法A教學(xué)導(dǎo)致的學(xué)生平均成績顯著高于方法B教學(xué)導(dǎo)致的學(xué)生平均成績。五、1.樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.9的數(shù)值含義是：月收入（X）與月支出（Y）之間存在強(qiáng)烈的負(fù)相關(guān)關(guān)系。具體來說，月收入越高，月支出越低；反之，月收入越低，月支出越高。相關(guān)系數(shù)的絕對值接近1，表明這種線性關(guān)系的強(qiáng)度非常高。2.當(dāng)月收入X=5千元時，預(yù)測的月支出為：?=15-2*5=15-10=5千元。預(yù)測值與實際支出之間可能存在的差異是由隨機(jī)誤差ε引起的。隨機(jī)誤差ε代表了除了月收入之外的其他因素（如個人消費習(xí)慣、家庭狀況、意外支出等）對月支出的影響，這些因素是模型Y=15-2X無法解釋的。3.估計所有客戶的平均月支出：??=15-2*x?=15-2*8=15-16=-1千元。用回歸方程估計出的平均支出為-1千元，而直接用樣本均值y?計算出的