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文檔簡介
2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試:抽樣調(diào)查方法與概率論試題型考試時間:______分鐘總分:______分姓名:______一、選擇題1.從總體N個單位中抽取n個單位組成樣本,若每個單位被抽中的概率相等,且每次抽取后不放回,這種抽樣方式稱為()。A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣2.抽樣調(diào)查中,由于抽樣引起的樣本指標與總體指標之間的差異稱為()。A.抽樣誤差B.登記誤差C.系統(tǒng)誤差D.隨機誤差3.在重復抽樣條件下,若樣本量增加一倍,其他條件不變,抽樣平均誤差將變?yōu)樵瓉淼模ǎ?。A.1倍B.\(\sqrt{2}\)倍C.\(\frac{1}{2}\)倍D.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)倍4.設事件A和事件B互斥,P(A)=0.3,P(B)=0.4,則P(A∪B)=()。A.0.1B.0.7C.0.8D.0.95.設隨機變量X的期望E(X)=2,方差Var(X)=0.25,則隨機變量Y=3X-4的期望E(Y)和方差Var(Y)分別為()。A.E(Y)=2,Var(Y)=0.25B.E(Y)=2,Var(Y)=3C.E(Y)=2,Var(Y)=4D.E(Y)=2,Var(Y)=26.若隨機變量X服從參數(shù)為n=10,p=0.2的二項分布,則P(X=3)=()。A.0.2013B.0.5120C.0.0264D.0.81927.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}\),則X服從()分布。A.二項分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布8.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ未知,σ2已知,從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn,則μ的點估計量是()。A.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)B.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\)C.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i|\)9.設總體X的均值μ和方差σ2未知,從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn,則總體方差σ2的無偏估計量是()。A.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)B.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\)C.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i-\mu|\)10.根據(jù)中心極限定理,當樣本量n足夠大時,樣本均值的分布近似于()。A.二項分布B.泊松分布C.正態(tài)分布D.指數(shù)分布二、填空題1.設總體N=1000,σ=10,采用簡單隨機抽樣方法抽取樣本量為n=50的樣本,則抽樣平均誤差σ_?=()。2.設事件A和事件B相互獨立,P(A)=0.6,P(B)=0.7,則P(A∩B)=()。3.設隨機變量X的期望E(X)=3,方差Var(X)=4,則隨機變量Y=2X-1的期望E(Y)和方差Var(Y)分別為()。4.設隨機變量X服從參數(shù)為λ=2的泊松分布,則P(X=1)=()。5.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,4),從中抽取樣本量為n=16的樣本,樣本均值為\(\bar{X}\),則μ/2的95%置信區(qū)間為()。6.設隨機變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=3,X的方差Var(X)=4,Y的方差Var(Y)=9,則X和Y的相關系數(shù)ρ_xy=()。7.若隨機變量X和Y相互獨立,且X服從均勻分布U(0,1),Y服從指數(shù)分布Exp(2),則E(XY)=()。8.設總體X的密度函數(shù)為f(x)=\(\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\),則X的期望E(X)=()。9.設總體X的均值μ未知,方差σ2=4,從總體中抽取樣本量為n=25的樣本,樣本均值為\(\bar{X}\),則μ的95%置信區(qū)間的臨界值z_0.025=()。10.大數(shù)定律表明,當試驗次數(shù)n趨于無窮時,隨機事件A發(fā)生的頻率\(\frac{m}{n}\)將()其概率P(A)。三、計算題1.某城市共有100萬人口,其中青年人口占70%。現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取樣本量為2000人的樣本,其中青年人口按比例抽取。求樣本中青年人口的平均年齡為25歲,標準差為5歲,求樣本中青年人口平均年齡的抽樣平均誤差。2.設隨機變量X和Y相互獨立,且X服從二項分布B(3,0.4),Y服從泊松分布P(2)。求E(XY)和Var(X+Y)。3.設總體X的密度函數(shù)為f(x)=\(\begin{cases}(1+\theta)x^{\theta-1},&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\),其中θ>0。從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn,求θ的矩估計量。四、證明題設總體X的期望E(X)=μ,方差Var(X)=σ2。從總體中抽取樣本X?,X?,...,Xn,證明樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計量。五、綜合應用題某工廠生產(chǎn)一種零件,已知零件重量X服從正態(tài)分布N(μ,0.052)?,F(xiàn)隨機抽取100個零件,測得樣本均重為5.02克。假設總體方差不變,能否在95%的置信水平下認為該廠生產(chǎn)的零件平均重量μ大于5克?請說明理由。試卷答案一、選擇題1.A解析:簡單隨機抽樣是指從總體N個單位中,按照完全隨機的方式抽取n個單位組成樣本,且每個單位被抽中的概率相等,每次抽取后不放回。2.A解析:抽樣誤差是指由于抽樣引起的樣本指標與總體指標之間的差異,它是抽樣調(diào)查中不可避免的誤差。3.D解析:在重復抽樣條件下,抽樣平均誤差σ_?=σ/√n,當樣本量增加一倍,即n變?yōu)?n,則抽樣平均誤差變?yōu)棣?(√2n)=σ_?/√2,即變?yōu)樵瓉淼?/√2倍。4.B解析:由于事件A和事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。5.A解析:E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3*2-4=2;Var(Y)=Var(3X-4)=9Var(X)=9*0.25=0.25。6.C解析:P(X=3)=C(10,3)*0.23*0.8?=0.0264。7.C解析:正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)2/(2σ2)),與題目中的密度函數(shù)形式一致,其中μ=1,σ=1。8.A解析:樣本均值\(\bar{X}\)是總體均值μ的無偏估計量,即\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)。9.B解析:樣本方差S2=(n-1)/n*∑(X?-X?)2是總體方差σ2的無偏估計量。10.C解析:中心極限定理表明,當樣本量n足夠大時,樣本均值的分布近似于正態(tài)分布N(μ,σ2/n)。二、填空題1.1.58解析:抽樣平均誤差σ_?=σ/√n=10/√50≈1.58。2.0.42解析:由于事件A和事件B相互獨立,則P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.6*0.7=0.42。3.6,16解析:E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=2*3-1=6;Var(Y)=Var(2X-1)=4Var(X)=4*4=16。4.0.4解析:P(X=1)=λ^1*e^(-λ)/1!=21*e^(-2)/1!=0.4。5.(4.847,5.153)解析:由于總體方差已知,μ/2的95%置信區(qū)間為(μ?-z_(α/2)σ/√n,μ?+z_(α/2)σ/√n),其中z_(0.025)=1.96,代入數(shù)據(jù)得(4.847,5.153)。6.\(\frac{1}{3}\)解析:ρ_xy=Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))=3/(√4*√9)=1/3。7.\(\frac{1}{3}\)解析:E(XY)=E(X)E(Y)=∫?1x*(2x)dx*(∫?1(1/2)e^(-2y)dy)=1/3。8.\(\frac{1}{3}\)解析:E(X)=∫?1x*2xdx=1/3。9.1.96解析:z_(0.025)是標準正態(tài)分布的臨界值,查表得z_(0.025)=1.96。10.收斂于三、計算題1.0.71解析:樣本中青年人口平均年齡的抽樣平均誤差σ_?_青年=σ_青年/√n_青年,其中n_青年=2000*70%=1400,σ_青年=5,代入數(shù)據(jù)得σ_?_青年=5/√1400≈0.71。2.1.12,2.76解析:E(XY)=E(X)E(Y)=3*0.4*2=2.4;Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=3*0.4*(1-0.4)+2=2.76。3.\(\frac{\bar{X}^2}{\bar{X}-1}\)解析:E(X)=∫?1x*(1+θ)x^θdx=θ+1;樣本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\);E(X^2)=∫?1x^2*(1+θ)x^θdx=θ+2;樣本二階矩A_2=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2\);由E(X^2)=A_2,E(X)=\(\bar{X}\),可得\(\frac{\theta+2}{\theta+1}=\frac{A_2}{\bar{X}}\),解得θ的矩估計量θ?=\(\frac{\bar{X}
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