專題64二項(xiàng)分布與超兒何分布、正態(tài)分布

知

考綱要求

識

考點(diǎn)預(yù)測

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題型一：二項(xiàng)分布

題型二：超幾何分布的概率

題

題型三：超幾何分布的分布列

型

題型四：正態(tài)分布指定區(qū)間概率

歸

類題型五：正態(tài)分布特殊區(qū)間概率

題型六：正態(tài)分布3。原則

題型七：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題.

2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

⑴伯努利試驗(yàn)

只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的

隨機(jī)試驗(yàn)稱為〃重伯努利試驗(yàn).

(2)二項(xiàng)分布

一般地，在〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為MOVpVl),用X表示事

件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=Z)=C￡p《l-pyr,左=(),1,2,…，n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?5(〃，p).

2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

⑴若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,Q(X)=p(l-p).

(2)若X~B(〃，p),則E(X)=〃p,D(X)=np(}—p).

3.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件(不放回)，用

X表示抽取的幾件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=,Z=垃,"2+1,+2,…，

LN

r,其中,n,N,M￡N",M&N,nWN,m=max{0,〃一N+M},r=min{n,M]?如果隨機(jī)

變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

4.正態(tài)分布

(1)定義

[一(一)2

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為xeR,其中，"￡R,。>0為參數(shù)，

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(〃，/).

⑵正態(tài)曲線的特點(diǎn)

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x="對稱.

②曲線在x=1.i處達(dá)到峰值得關(guān).

③當(dāng)因無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.

(3)3。原則

①『(〃-(7<X<〃+(7)20.6827；

②P(〃一2C￡XW〃+2O)Q().9545；

③P(〃—3oWXW〃+3b)Q().9973.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?NQi,^),則E(X)=〃，D(X)=o2.

【常用結(jié)論】

I.二項(xiàng)分布當(dāng)〃=1時(shí)就是兩點(diǎn)分布.

2.若X服從正態(tài)分布，即X?M/i,心),要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱和曲線與x軸

之間的面積為1解題.

3.利用〃重伯努利試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足

公式P(X=A)=a//(l—p)〃r的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；

(2加次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的;

⑶該公式表示〃次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了上次的概率.

【方法技巧】

1.判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試臉的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征

是：

①考察對象分兩類；

②已知各類對象的個(gè)數(shù)；

③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.

3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.

4.解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)對稱軸x=〃；

⑵標(biāo)準(zhǔn)差u

(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概,率值；由出明分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分

布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=().

二、【題型歸類】

【題型一】二項(xiàng)分布

【解析】【答案】BCD

故選：BCD.

【典例2](多選)(2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測)下列命題正確的是()

【解析】【答案】ACD

故選：ACD

【典例3】(多選)(2023?海南海II市瓊山華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知小李每天在上班路上都要經(jīng)過

甲、乙兩個(gè)路口，且他在甲、乙兩個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為:，〃.記小李在星期一到星期五這5天每

天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為x,在甲、乙這兩個(gè)路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為丫，則()

c.小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為當(dāng)

625

【解析】【答案】BC

【詳解】對于A,B,小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為X,

故A錯誤，B正確;

X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

【典例2】（2023?陜西漢中?校聯(lián)考模擬預(yù)測）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策.補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教

育發(fā)展的短板?計(jì)貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育,是夯建脫貧攻堅(jiān)根基之所在.治貧先治愚.

扶貧先扶智.為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次

參與支教活動.支教活動共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人

中隨機(jī)抽選.已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒有支教經(jīng)驗(yàn).

⑴求5名優(yōu)秀教師中的“甲〃，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；

（2）求第?次抽取到無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)X的分布列；

【解析】【答案】⑴言

（2）分布列見解析

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求解，

（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解概率，進(jìn)而可求解分布列.

【詳解】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲〃在每輪抽取中，被抽取到的概率為

（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，X的可能取值有0,1,2.

所以分布列為：

X012

P0.10.60.3

⑴求〃的值,并估計(jì)該項(xiàng)技能的評價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）：

⑵分布列見解析；期望為：

【分析】（1）由頻率分布直方圖概率之和為1求出。，再由頻率直方圖中位數(shù)的計(jì)算方法求解即可;

（2）求出X的可能取值，及其對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可得出答案.

則X的分布列為

X01234

73514141

P

9999339999

【題型四】正態(tài)分布指定區(qū)間概率

【典例1】（2023?四川廣安?四川省廣安友誼中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列說法中，正確的命題的是（）

A.一臺晚會有6個(gè)節(jié)目，其中有2個(gè)小品，如果2個(gè)小品不連續(xù)演出，共有不同的演出順序240種

【解析】【答案】C

【分析】利用插空法可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對稱也可判斷B選項(xiàng)；利用對數(shù)的運(yùn)算可判斷C

選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，一臺晚會有6個(gè)節(jié)目，其中有2個(gè)小品，如果2個(gè)小品不連續(xù)演出，

只需先將其余4個(gè)節(jié)目全排，然后將2個(gè)小品插入另外4個(gè)節(jié)目形成的5個(gè)空位中的兩個(gè)即可，

對于D選項(xiàng)，因?yàn)闃幽緮?shù)據(jù)乙、“、L、丸的方差為2,

故選：C.

A.19B.12C.6D.5

【解析】【答案】C

【分析】由正態(tài)曲線的對稱性求出理論上說在130分以上的概率，即可求出理論上說在130分以上人數(shù).

故選：C.

A.滿足二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量也是連續(xù)隨機(jī)變量

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布為離散型隨機(jī)變量的分布可判斷A選項(xiàng)；利用Logistic分布的定義可判斷B選項(xiàng)；根

據(jù)Logistic分布的概率公式可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，滿足二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，A錯；

對于B選項(xiàng)，根據(jù)Logistic分布的定義可知，

對于C選項(xiàng)，若X服從位置參數(shù)為0,形狀參數(shù)為，耳的Logistic分布，

故選:C.

【題型五】正態(tài)分布特殊區(qū)間概率

A.0.8186B.0.9759C.0.74D.0.84

【解析】【答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

故選:D.

【典例2］（2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（）

【解析】【答案】D

即分布列為：

Y01

_1_￡

P

22

所以

2Y02

P

22

故選:D

A.1070B.2140C.4280D.6795

【解析】【答案】A

故選：A

【題型六】正態(tài)分布3。原則

A.15B.16C.34D.35

【解析】【答案】D

故選:B

【解析】【答案】A

故選:A.

A.455B.2718C.6346D.9545

【解析】【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合對稱性得出數(shù)學(xué)成績位于［80,88］的人數(shù).

故透:B

【題型七】正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

A.0.2B.03C.0.4D.0.6

【解析】【答案】A

故選：A

【典例2】（2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變審:遵循正態(tài)分布.例如反豆測豉某

一個(gè)物理屋，其測量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理最做〃次測量，最后結(jié)果的誤差，X〃~N(O,

21

-)，則為使的概率控制在0.0456以下，至少要測量的次數(shù)為()

n4

【附】隨機(jī)變量o2),則P(〃一oVXV"+c)=0.6826,P{u-2a<X<^2a)=0.9544,P(u-3ff<X<

"+3。)=0.9974.

A.32B.64C.128D.256

【解析】【答案】C

故選：C.

A.由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為74.5

B.由直方圖可估計(jì)樣本的中空數(shù)約為75

【解析】【答案】C

【詳解】對于A選項(xiàng)，由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)為

故選:C

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎

的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識的了解，某校舉辦了一次"新冠疫情"知識競賽.競賽分個(gè)人賽和團(tuán)體

賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出10道題，編號為A，4,4，

L,%,電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團(tuán)體賽以班級為單位，

各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以

下兩種參賽方案中任選一種參賽：

方案一：將班級選派的3〃名參賽選手每3人一組，分成〃組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同

的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這〃個(gè)小組都順利出線，

則該班級晉級決賽.

方案二：將班級選派的3〃名參賽選手每〃人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的〃名選手一道相同的

試題，每人均獨(dú)立答題，若這〃個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利

出線，則該班級晉級決賽.

4

⑴郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為彳，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他

不會主動放棄任何?次作答機(jī)會，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差：

⑵選擇方案一，理由見解析

故A班為使晉級團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇方案一參賽.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為概率類綜合題目，題目背景較為復(fù)雜，因而解答的關(guān)鍵是要明確題目含義，明

確變量服從二項(xiàng)分布，從而作答，難點(diǎn)在于第二問求得方案一二的概率表達(dá)式，并進(jìn)行大小比較.

【訓(xùn)練二】（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）春節(jié)過后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐

漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在社交媒體平臺和短視頻平臺同時(shí)投放宣傳廣告并進(jìn)行線上售票,

通過近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購買門票的概率為在

社交媒體平臺宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購買門票的概率為4;二輪廣告精準(zhǔn)投放后，目標(biāo)用戶在短視頻平臺進(jìn)

行復(fù)購的概率為〃，在社交媒體平臺復(fù)購的概率為，.

（2）記在社交媒體平臺的3名目標(biāo)用戶中，恰有1名用戶購票并發(fā)購的概率為當(dāng)戶取得最大值時(shí)，q為何

值？

⑶為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進(jìn)行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門票100元/人,

在短視頻平臺和社交媒體平臺的目標(biāo)用戶分別在90萬人和17萬人左右，短視頻平臺和社交媒體平臺上的

廣告投放費(fèi)用分別為4元/100人和5元/100人，不計(jì)宣傳成本的景區(qū)門票利潤率分別是2%和5%,在第（2）

問所得4值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個(gè)平臺上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤總額.

⑶元

（3）根據(jù)題意，分兩個(gè)平臺進(jìn)行計(jì)算凈利潤，最后進(jìn)行求和即可

又知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

X的分布列為

X01234

272731

P

6472864256

所以X的分布列為

X01234

132727

P

25664T2864

故景區(qū)在兩個(gè)平臺上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤總額為元.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：這道題的信息最較多，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所

學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的

【訓(xùn)練三】（2022?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，電子商務(wù)成為新的經(jīng)濟(jì)增長點(diǎn)，市場競

爭也日趨激烈，除了產(chǎn)品品質(zhì)外，客服團(tuán)隊(duì)良好的服務(wù)品質(zhì)也是電子商務(wù)的核心競爭力，衡量一位客服工

作能力的重要指標(biāo)一一詢單轉(zhuǎn)化率，是指咨詢該客服的顧客中成交人數(shù)占比，可以看作一位顧客咨詢該客服

后成交的概率，己知某網(wǎng)店共有10位客服，按詢單率分為A,3兩個(gè)等級（見下表）

等級AB

詢單轉(zhuǎn)化率[70%,90%)[50%,70%)

人數(shù)64

視A,8等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值，完成下列兩個(gè)問題的解答；

⑴現(xiàn)從這10位客服中任意抽取4位進(jìn)行培訓(xùn)，求這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%的概率；

⑵已知該網(wǎng)店日均咨詢顧客約為1萬人，為保證服務(wù)質(zhì)量，每位客服日接待顧客的數(shù)量不超過1300人.在網(wǎng)

店的前期經(jīng)營中，進(jìn)店咨詢的每位顧客由系統(tǒng)等可能地安排給任一位客服接待，為了提升店鋪成交最，網(wǎng)

店實(shí)施改革，經(jīng)系統(tǒng)調(diào)整，進(jìn)店咨詢的每位顧客被任一位A等級客服接待的概率為被任一位B等級客服

接待的概率為仇若希望改革后經(jīng)咨詢口均成交人數(shù)至少比改革前增加300人，則a應(yīng)該控制在什么范圍？

【解析】【答案】⑴3

設(shè)事件C表示“這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%”,

A等級客服的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,123,4,

（2）設(shè)改革前后A等級客服的接待顧客人數(shù)分別為匕Z

【解析】【答案】⑴0.20

（2）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為與

（3）5

【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出。的值，進(jìn)而估計(jì)出概率；

（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；

【洋解】（1）由頻率分布直方圖得：

（2）由頻率分布直方圖得：

若采用分層抽樣的方法抽取了10人，

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則X的可能取值為0,1,2,3,

.?.X的分布列為：

X0123

31

P

62To30

【訓(xùn)練五】（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新梁道.某服

裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡(luò)平臺分配合理的服裝量，隨機(jī)抽查了100個(gè)帶貨平臺的銷售情況，銷售每件服

裝平均所需時(shí)間情況如下頻率分布直方圖.

⑴求〃?的值，并估計(jì)出這100個(gè)帶貨平臺銷售每件服裝所用時(shí)間的平均數(shù)。和中位數(shù)；

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積為1可得加，再根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的算法求解即可；

⑴芳甲第一關(guān)通過的概率為：，第二關(guān)通過的概率為：，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；

43

①暇設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵,

請說明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人〃，請結(jié)

合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

【解析】【答案】⑴]

O

⑵①能，理由見解析；②乙所說為假

【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可：

（2）①利用止態(tài)分布的對稱性及3b法則，求得前400名參賽者的最低得分即口J判斷；

②假設(shè)乙所說為真，利用正態(tài)分布的對稱性及3b法則，證得丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，從而得以判

斷.

【詳解】（1）設(shè)A：第i次通過第一關(guān)，B,：第i次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P,

而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

【解析】【答案】C

【分析】利用比大小的方法，即可求出％的值.

【洋解】解：由題意得：

故選：C.

2.（2020上?西藏日喀則?高三?？茧A段練習(xí)）《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華

文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十

背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)的概率為

（）

O-O-O-O-O-O-O

【解析】【答案】C

【解析】本題首先可以根據(jù)題意確定10個(gè)數(shù)中的陽數(shù)和陰數(shù)，然后求出任取3個(gè)數(shù)中有2個(gè)陽數(shù)以及任取3

個(gè)數(shù)中有3個(gè)陽數(shù)的概率，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，10個(gè)數(shù)中，1、3、5、7、9是陽數(shù)，2、4、6、8、10是陰數(shù)，

故選：C.

A.45B.53C.54D.90

【解析】【答案】B

故選：B.

4.（2023?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)

賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)

不少于io名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝.已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為;，每名業(yè)余棋手與乙比賽

獲勝的概率均為，，若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為（）

4

A.24B.25C.26D.27

【解析】【答案】A

【分析】由二項(xiàng)分布及其期望計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X,選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為匕

設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為小則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32,E

故選:A.

5.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？家荒＃┫铝姓f法正確的是（）

【解析】【答案】C

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律可判定A,利用充,分、必要條件的定義可判定B,利用秦九貂算法可判定C,

利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可判定D.

故A錯誤；

故選：C.

6.（2023?江西南昌?江西師大附中?？级＃┫铝姓f法：

（1）分類變量A與8的隨機(jī)變量六越大，說明A與8相關(guān)的把握性越大；

以上正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】【答案】D

【詳解】根據(jù)獨(dú)江性檢驗(yàn)原理，分類變量A與8的隨機(jī)變量K?越大，說明A與H相關(guān)的把握性越大，故（1）

正確：

所以正確的個(gè)數(shù)是3.

故選：D.

7.（2023下吶蒙古赤峰?高三?？茧A段練習(xí)）某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10

張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1

次抽獎活動，一個(gè)月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎券有（）

A.1張B.2張C.3張D.4張

【解析】【答案】B

【分析】根據(jù)題意，計(jì)算盒子中獎券數(shù)量對應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.

若盒子中的有獎券有1張，

若盒子中的有獎券有2張，

若盒子中的有獎券有3張，

若盒子中的有獎券有4張，

根據(jù)題意盒子中的有獎券有2張，更有可能30天中獎11天，

故選:B.

A.該校學(xué)生體育成績的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績的期望為85

C.該校學(xué)生體育成績的及格率小于85%

D.該校學(xué)生體育成績的優(yōu)秀率大于3%

【解析】【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征可求A,B選項(xiàng)的正誤，根據(jù)優(yōu)秀和及格的標(biāo)準(zhǔn)可得C,D選項(xiàng)的正誤.

因?yàn)?0分及以上為及格，

故選：C.

【多選題】

9.（2023?湖南長沙?長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）以下說法正確的有（）

B.某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為10,3,8,3,2,18,7,4,則該樣本數(shù)據(jù)的第三四

分位數(shù)為9

【解析】【答案】BD

【分析】對于A,由回歸直線的性質(zhì)判斷，對于B,由分位數(shù)的估計(jì)方法判斷，對于C,由條件概率公式和

獨(dú)立事件的概率公式分析判斷，對于D,由二項(xiàng)分布的概率公式，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)，再由充分條件

和必要條件的定義判斷.

【詳解】對于A,回歸直線不一定過樣本點(diǎn)，但必過樣本中心點(diǎn)，所以A錯誤，

故選：BD

【解析】【答案】AC

對于C,D,根據(jù)正態(tài)分布的3（7準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中。代表標(biāo)準(zhǔn)差，〃代表均值，

故選:AC

11.（2023下?山東青島?高二山東省青島第十七中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）

C.現(xiàn)安排A,3,。三名同學(xué)到五個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選

擇同一個(gè)工廠，若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有61種

【解析】【答案】AC

【分析】由殘差的概念即可判斷A；由二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)正難則反思想,

求出滿足條件的安排方法種數(shù)，即可判斷C；求出至少有一名女生的對立事件的概率，即可得出至少有一名

女生的概率，從而判斷D.

【詳解】對于A：由殘差的概念知，殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越

好，故A正確；

對于C：由題可知，所有可能的方法有5,種，工廠甲沒有同學(xué)去的方法有4,種，

故至少有一名女生的概率為《，

故選：AC.

A.正常情況下，從生產(chǎn)線甲任意抽取一包食鹽，質(zhì)量小于485g的概率為0.15%

C.生產(chǎn)線乙產(chǎn)出的包裝食鹽一定比生產(chǎn)線甲產(chǎn)出的包裝食鹽質(zhì)量重

D.生產(chǎn)線甲上的檢測員某天隨機(jī)抽取兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g,于是判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異

常是合理的

【解析】【答案】AD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的參數(shù)，以及結(jié)合3。原則的參考數(shù)據(jù)，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】由條件可知，設(shè)生產(chǎn)線甲正常情況下生產(chǎn)出來的包裝食鹽的質(zhì)量為X,

C.不一定，可能小概率事件發(fā)生，生產(chǎn)線乙產(chǎn)出的包裝食鹽比生產(chǎn)線甲產(chǎn)出的包裝食鹽質(zhì)量輕，故C錯誤；

故選：AD

【填空題】

13.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）若每經(jīng)過一天某種物品的價(jià)格變?yōu)樵瓉淼?.02倍的概率為0.5,變?yōu)樵瓉?/p>

的0.98倍的概率也為0.5,則經(jīng)過6天該物品的價(jià)格較原來價(jià)格增加的概率為.

【解析】【答案】1

【分析】先判斷價(jià)格比原來的升降情況，然后利用二項(xiàng)分布的知識求解，即得結(jié)果.

故經(jīng)過6天該物品的價(jià)格較原來價(jià)格增加的情況是6天中恰好是4天升高2天降低，

故答案為：號.

14.（2023?天津河西?統(tǒng)考一模）某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學(xué)生對勞動教育

重要性的認(rèn)識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動技能學(xué)習(xí)，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率則

為;在至少有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動學(xué)習(xí)的概率

【解析】【答案】士\

【分析1應(yīng)用組合數(shù)，超幾何分布的概率求法求恰有一名女生參加、至少有一名女生參加的概率，進(jìn)而求

至少有一名女生參加條件下，恰有一名女生的概率（條件概率）.

故答案為：I

【解析】【答案】4093

故答案為：4093

【解析】【答案】與

64

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出學(xué)生的成績高于120的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求出

結(jié)果.

9

故答案為：—

64

【解答題】

17.（2023?全國?模擬預(yù)測）2023年5月31日，習(xí)近平主席在學(xué)?？疾鞎r(shí)指出：“體育鍛煉是增強(qiáng)少年兒童

體質(zhì)的最有效手段為提升學(xué)生身體素質(zhì)，某班組織投籃比賽，比賽分為A,8兩個(gè)項(xiàng)Fl.

（i）選手在每個(gè)項(xiàng)目中投籃5次，每個(gè)項(xiàng)目中投中3次及以上為合格；

（ii）第一個(gè)項(xiàng)目投完5次并且合格后可以進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目，否則該選手結(jié)束比賽；

（iii）選手進(jìn)入第二個(gè)項(xiàng)目后，投籃5次，無論投中與否均結(jié)束比賽.若選手甲在A項(xiàng)目比賽中每次投中的

概率都是0.5.

⑴求選手甲參加A項(xiàng)目合格的概率；

⑵己知選手甲參加8項(xiàng)目合格的概率為0.6.比賽規(guī)定每個(gè)項(xiàng)目合格得5分，不合格得0分.設(shè)累計(jì)得分為

X,為使累計(jì)得分X的期望最大，選手甲應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的比賽（每個(gè)項(xiàng)目合格的概率與次序無關(guān)）？

并說明理由.

【解析】【答案】⑴0.5

⑵甲選擇先進(jìn)行3項(xiàng)目比賽，理由見解析

【分析】（1）由一項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可求解.

（2）分別求出選手甲參加兩個(gè)項(xiàng)目累計(jì)得分的期望值，比較即可得解.

（2）選手甲應(yīng)選擇先進(jìn)行8項(xiàng)目，理由如下：

所以為使累計(jì)得分的期望最大，選手甲選擇先進(jìn)行8項(xiàng)目比賽.

18.（2023?全國?模擬預(yù)測）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結(jié)束后，

為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后,

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示.

成績區(qū)間

頻數(shù)10314380279

假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競賽成績相互獨(dú)立.

【解析】【答案】⑴79.5

（2）解：從全市成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人參加省級黨史知識競賽,

所以X的分布列為

X01234

272731

P

6412864256

時(shí)間段

頻數(shù)100300H1

⑴現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取

4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00-9：40通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與期望；

10

【解析】【答案】（1）分布列見解析,期望為最

⑵655

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣、超幾何分布等知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

車輛數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4,