專題17.17勾股定理（最短路徑問題）

（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，在四邊形A8O）中，NA=90。，.44=4，點。是線段AO上的動點,

連接BP,CP,若△BPC周長的最小值為16,則8C的長為（）

A.5B.6C.8D.10

3.如圖，△48C中，AB=AC=\（）,NA=45。，40是AABC的邊AC上的高，點P是8。

上動點，則無BP+CP的最小值是（）

2

6.如圖，等邊AABC的邊長為12,P是』48。的中線A。上的動點，則/AP+BP的最

小值是（）

A.12B.6x/3C.10D.

A.160B.150C.140D.130

8.如圖，在心△ABC中，/ACB二90。，AC=3,AB=5,8。平分/ABC,點M,N分別

是8。，8c上的動點，連接CM,MM則CM+MN的最小值是（）

A.3B.5

B

AD

A.372B.5C.2V3D.4

C.12D.18

C.9.6D.4.8

二、填空題

14.如圖，已知。(6,0),MN〃x軸旦經(jīng)過點E(0,4),點A,8分別是線段0。,

OE上的兩動點，AB=2,點C為AB的中點，點P為直線MN在第一象限上的動點，連接PC、

PD,則PC+PD的最小值為.

A

B

D

23.如圖，已知圓柱底面的周長為8dm,圓柱身為4dm,在圓柱的側(cè)面上，過點4和

點。嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長的最小值的平方為dm.

A

三、解答題

24.如I圖，在^八8C中，Z/l=90°,8。平分NA8C交AC于點D,AB=4,BC=T2,人/>3,

若點P在BC上運動.

(1)求線段。尸的最小值；

(2)當(dāng)。P最小時，求尸的面積.

(2)如圖2,若點E是A8邊上的動點，求線段CE的最小值.

【操作觀察】

【理解應(yīng)用】

【拓展延伸】

參考答案

1.B

【分析】作點8關(guān)于AD的對稱點E,連接CE交4)于P,則AE=A8=4,EP=BP,

設(shè)8C=x,則CP+BP=\6-x=CE,依據(jù)R28CE中，EB2+BC2=CE2,即可得到8W=(16

-x)2,進而得出8c的長.

解:如圖所示，作點4關(guān)于AO的對稱點E,連接CE交從。于P,則AE=/W=4,EP

=BP,

設(shè)BC=x,則CP+BP=16-x=CE,

???/84。=90。，AD/7BC,

???ZABC=90°,

.?.RtZiBCE中，EB2+BC2=CE2,

82+^=(16-x)2.

解得x=6,

???BC=6,

故選從

【點撥】本題考查勾投定理的應(yīng)用和三角形的周長，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用

和三角形的周長的計算.

2.A

【分析】求出A點關(guān)于y軸的對稱點A，，連接AB,交y軸于點P,則P即為所求點，

利)IJ兩點間的距禽公式即可求解.

解：作點A關(guān)于y軸的對稱點A，，連接A，B交y軸于點P,則P即為所求點；

???點A(4,1),

:,點A關(guān)于y軸的對稱點A，的坐標(biāo)為(4,1),

???A'(4,1),B(2,3),

故選A.

B

【點撥】本題考查的是最短線路問題及兩點間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點

之間線段最短的知識.

3.B

解：???NA=45。，8。是aABC的邊AC上的高，

由等腰三角形兩腰上的高相等

故選：B.

A

E

D

BC

【點撥】本題考查垂線段最短問題，涉及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要

考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

4.D

【分析】由于A8長度固定，找到點A關(guān)于直線x=l的對稱點。，求出8。的長即可得

到△A4C周長的最小值.

解：在△A8C中，48長度不變，

C（I,w）,即點C為直線戶1上的動點，

設(shè)。（3,0），則A,。關(guān)于直線戶1對稱，

：,AC=DC,

故選D.

【點撥】本題考查了點的坐標(biāo)，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是找到點。，利用的長

代替AC+3c的最小值.

5.A

【分析】作8〃_LAC,垂足為"交人/）于M點，過M點作MML八8,垂足為M則

8M+MN為所求的最小值，再根據(jù)AD是NBAC的平分線可知MH=MM再求出8〃即可得

出結(jié)論.

解：如圖，作BH_LAC,垂足為H,交A。于M點，過M點作MN_LA8,垂足為M

則8M+MN為所求的最小值.

:A。是NZMC的平分線，

:?M'H=MN,

???BH是點8到直線AC的最短距離（垂線段最短），

,:AB=34i，ZBAC=45°,

???BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3.

故選：A.

【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形

認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.

6.B

【分析】可以作8￡_L4C于點￡交于點P,根據(jù)是等邊三角形，ADA.BC,

得ND4O30。,所以利用勾股定理求出8E的長，當(dāng)BP_LAC時，^AP+BP=PE+BP

的值最小，由此得到答案.

解：如圖：

作出LLAC于點￡,交AO于點P,

??,△ABC是等邊三角形，A。是4ABC的中線,

：,ADLBC>

???ZDAC=30°,

:?PEAP,

???44BC是等邊三角形，BE1AC,

???NABE=30。，

：.AE=^AB=6,

當(dāng)8〃_LAC時,

的值最小為66.

故選：B.

【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解

決本題的關(guān)鍵是找到動點P的位置.

7.A

如圖所示，延長八8交MN于點產(chǎn),

故選A.

【點撥】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短及

三角形的三邊關(guān)系.

8.D

【分析】過點C作CE_LA8丁點E,交BD丁點過點“作MNrBC丁N,則CE即

為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值.

解：如圖，過點C作CE_L/W于點E,交8。于點用，過點用作,團7_18。于M

???BD平分NABC,MELAB于點、E,MNtBC于N.

:.MN=ME,

???CM+MN的最小值=CM+ME=C￡,

\*AC=3,A8=5,48=90。，

解得：CE=2.4.

故選：D

【點撥】本題考查了軸對稱——最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題日具有

一定的代表性，是一道比較好的題目.

9.A

【分析】當(dāng)G/最大時，G/最小，當(dāng)/運動到點A時，G/最大，根據(jù)勾股定理求解即

可.

解：當(dāng)G/最大時，G/最小，當(dāng)/運動到點4時，G/最大，

故選：A.

【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出G/的最大值是解題的關(guān)鍵.

故選：A.

11.C

???06'垂直平分線段48,

故選：c.

【點撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)

鍵是以活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

12.D

解：取點N關(guān)于AD的對稱點E，如下圖:

???點E在AAF.

???點N與點￡關(guān)于AD對稱

???AO是N點與E點所連線段的垂直平分線

故選：D.

【點撥】本題考查最短路徑問題、軸對稱圖形或成軸對稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及等

面積法，對稱轉(zhuǎn)化是解決最短路徑問題的常用方法，本題解題關(guān)鍵是將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為

垂線段最短的問題.

13.M

【分析】平移CO使點。落在點8處，連接則點C的對應(yīng)點為8,即夕C=BO,

進而得出8,(1,2),再作點A關(guān)于x軸的對稱點則4(0,1),進而得出AC+B。的

最小值為4E,即可求解答案.

解：如圖，平移CD使點。落在點B處，連接8C,

則點C的對應(yīng)點為8,即B'C=BD,

VCD=1,B(0,2),

?,?點￡(1,2),

作點A關(guān)于工軸的對稱點4,當(dāng)點4'，C,9在同一條線上時，AC+/3Q最小，

V4(0,1),

(0,I),

故答案為：x/io.

【點撥】此題主要考查了對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，將AC+BO的最小值轉(zhuǎn)化為A9是

解本題的關(guān)鍵.

14.9

【分析】作點。關(guān)于直線MN的對稱點。，連接PO,OD',OC.判斷出點。坐標(biāo)，

求出。。'，根據(jù)OQ'0OC+PC+P。'，可以推出「C+PO29，可得結(jié)論.

解：作點。關(guān)于直線MN的對稱點。，連接P。，OD\OC.

,:E(0,4),D(6,0),MN〃x軸，。，。關(guān)于MN對稱，

(6,8),

VZAOB=90°,AB=2,AC=CB,

OC=^AB=\,

?：PD=PD'

:?PC+PD=PC+PD\

■:OD^OC+PC+PD1,

???PC+PD^,

???PC+PD的最小值為9,

故答案為：9.

【點撥】本題考查軸對稱——最短問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定埋，兩點之間線段

最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型.

15.3舊

解：如圖，過點A作直線/Lr軸，過C,B作CD1/于點。，BEJJ于點E,

???ZDCA+ZCAD=90PfZEAB+ZCAD=180°90°=90°,

：.ZDCA=ZEAB,

XVZCDA=ZAB=AC,

：.^CDA^AAEB(AAS),

：.BE=AD,

；?AD=BE=0A=3,

故答案是：3石.

【點撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱求線段和的最

小值問題，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

oD

?：0D=2,

：.DF=\,

【點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱，軸對稱求最短

距離的方法是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)題意得當(dāng)人匠人。。尸時，可得當(dāng)人，F(xiàn),。在同一直線上時，人尸的長最??；

再根據(jù)勾股定理進行計算，即可得到線段4尸長的最小值.

解：如圖，連接AD,

*：AF+DF>AD,

???當(dāng)A、F、。三點共線時，4廠的長最小，

【點撥】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、最值問題等幾何知識點及其應(yīng)用

問題，熟練掌握折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的

關(guān)鍵.

18.372

【分析】取的中點G,根據(jù)等腰三角形兩腰上的中線相等得到4F+CT=4E+EGN

AG,當(dāng)點A、E、G共線時，4E+CT有最小值，最小值為線段4G的長，利用勾股定理即

可求解.

解：取CQ的中點G,連接CE、EG、AG,

???點。是的中點，且。E=OB,

:.DE=DC,即△DEC是等腰三角形，

?:點、CF、EG是等腰三角形△OEC兩腰上的中線,

，DG=DF=-ED=-CD,

22

:?CF=EG,

.\AE+CF=AE-\-EG>AG,

???當(dāng)點4、E、G共線時，AE+C尸有最小值，最小值為線段AG的長，

???點。是BC的中點：點G是。。的中點，且804,

：,BG=3,

又48=3,且N8=90。，

故答案為：3&-

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，得到當(dāng)點4、E、G共線時，AE+

C尸有最小值，最小值為線段AG的長是解題的關(guān)鍵.

19-I

解:如圖,當(dāng)GPJM8時,GP最小,

根據(jù)作圖知4G平分/B4C,ZC=90°,

：,GC=GP,

設(shè)GC=GP=x,

在直角△ABC中，ZC=90°,

解得智,

故答案為g.

【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離

的方法.

20.12

解：連接AP,AH.

A

???MN是線段48的垂直平分線，

:,點B關(guān)于直線MN的對稱點為點A,

故答案為：12.

【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，熟知等腰三角形三線合一的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【點撥】本題考查了勾股定理的使用，涉及了軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握并熟練使用相關(guān)

知識，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵.

22.15

故答案為：15.

【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，正確的找出點￡尸的位置

是解題的關(guān)鍵.

23.128

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果,

在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可.

故答案為：128.

【點撥】本題考查了平面展開最短路徑問題，掌握圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩

形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”

是解題的關(guān)鍵.

24.⑴小5的最小值是3：(2)當(dāng)。P最小時，△CD尸的面積為12.

【分析】(I)由垂線段最短可知當(dāng)。尸時，DP最短,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可

得出結(jié)論；

(2)由勾股定理得8。=5,當(dāng)OP最小時，DP1BC,再由勾股定理得PB=4,則

CP=BCPB=S,然后由三角形面積公式即可求解?.

(1)解：當(dāng)OP_L3C時，線段。。的值最小，

???6。平分ZA6C,ZA-90",

當(dāng)。P_L4C時，DP=AD,

VAD=3,

???。夕的最小值是3；

(2)解：VZA=90°,