1、第八章立體幾何初步(19題型清單)

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

知識點1：棱柱

(1)棱柱的定義

定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

1

底面(底)：兩個互相平行的面

側(cè)面：其余各面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點：側(cè)面與底面的公共頂點

(2)棱柱的圖形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

(3)棱柱的分類及表示

①按棱柱底面邊數(shù)分類：

②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類：

③宜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱

表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱4BCDEF-4'B'C'D'E'F'

知識點2：棱錐

(1)棱錐的定義

定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面

側(cè)面：有公共頂點的各三角形面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點：各側(cè)面的公共頂點

(2)棱錐的圖形

(3)棱錐的分類及表示

按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐

2

特別地，三棱錐乂叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐

表示法：楂錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐S-Z8C。

知識點3：棱臺

（1）棱臺的定義

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去械棱錐，我們把底面和械面之間的那部分多面體叫做棱臺

上底面.：原棱錐的截面

下底面：原棱錐的底面

側(cè)面：除上下底面以外的面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點：側(cè)面與上（下）底面的公共頂點

（2）棱臺的圖形

三棱臺、四棱臺、五棱臺、

（3）棱臺的分類及表示

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺

用各頂點字母表示棱柱，如棱臺ABCD—A'B'C'D'

知識點4：圓柱

（1）圓柱的定義

以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓柱的底面?：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

底面

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面Af

圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

側(cè)面

（2）圓柱的圖形L母線

（3）圓柱的表示A

底面

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱OO'

知識點5：圓錐

（1）圓錐的定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

3

的圖形.

（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）

（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點o,畫直觀圖時作出與之對?應(yīng)的E

軸和V軸，兩軸相交于點。'，且使Nx'oy=45°（或135"）

（2）畫線：已知圖形中平行于或在x軸，y軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在E軸，軸

上的線段.

（3）取長度：已知圖形中在左軸上或平行于入軸的線段，在直觀圖中長度不變.在y軸上或平行于y釉

的線段，長度為原來長度的一半.

（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.

方法歸納：設(shè)?個平面多邊形的面積為s原圖，利用斜二測面法得到的直觀圖的面積為s直觀圖，則有

力

s直觀圖=一丁5原圖?

知識點8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法

（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的X軸和歹軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)

的/軸與V軸1,兩軸交于點。'，且使NfOT=45'"（或135"）,它們確定的平面表示水平面；

（2）畫底面.已知圖形中，平行于工軸y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于/軸、V軸或/軸

的線段；

（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于V軸的線段，長度

變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.

知識點9：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍

然相交：③平行于x,z軸的長度不變.

知識點10：棱柱、棱錐、棱臺的表面積

（1）正方體、長方體的表面積

正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和

長、寬、高分別為。力,。的長方體的表面積：

S長方體=2（ab+bc+ac）

棱長為。的正方體的表面積：

S正方體=6八

（2）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖

5

棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:

(3)棱柱、棱錐、棱臺的表面積

棱柱的表面積：S極柱=5側(cè)+25氐

棱錐的表面積：S極錐=5側(cè)十S底

棱臺的表面積：s梭臺=S惻+S上底+S下底

知識點11:棱柱、棱錐、棱臺的體積

(1)棱柱的體積

①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足(垂線與

底面的交點)之間的距離，即垂線段的長.

②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積S和高〃的乘積，即v=s人

(2)棱錐的體積

6

①棱錐的高：錐體的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足(垂線與底面的交點)

之間的距離，即垂線段的長.

②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積S和高力的乘積的，即P理解.

3

(3)棱臺的體積

①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足(垂線與底

面的交點)之間的距離，即垂線段的長

②棱臺的體積：r=g(s'+JFM+s”(s'，s分別為上下底面面積，〃為臺體的高)

尸…，宙

'臺="P-ABCD-VP-ABCD

=：$(〃+%)—3%

JJ

=；(S+府+S1)h

知識點12：圓柱、圓錐、圓臺的表面積

(1)圓柱的表面積

①圓柱的側(cè)面積：

圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為〃，母線長為/,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長,

另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側(cè)面積為S劃=2乃”.

②圓柱的表面積：

S=5仰+2s底=2萬〃+2m二=2zr(l+r).

7

(2)圓錐的表面積

①圓錐的側(cè)面積：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長,

半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側(cè)面積為S側(cè)

②圓錐的表面積：

S=S例+S底=乃〃+nr1=7rr(l+r)

(3)圓臺的表面積

①圓臺的側(cè)面積：

圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán).圓臺的上底面半徑為/，下底面半徑為廣，母線長為/，故圓臺的側(cè)面積為

S廣小/+，)/

②圓臺的表面積：

知識點13：圓柱、圓錐、圓臺的體積

(1)圓柱的體積：V=Sh

8

甯，

（2）圓錐的體積:V=-Sh

3

（3）圓臺的體積：P=；（S上+JS、SF+S下）〃

知識點14：球的表面積和體積

（1）球的表面積：S=4TTR2

4

（2）球的體積：%=一〃火3

3

知識點15：異面直線

（1）異面直線的概念

不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線

（2）異面直線的畫法

畫異面直線時，為了體現(xiàn)它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托

①定義法②兩直線既不平行也不相交

知識點16：直線與平面平行

（D直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

a<Za

符號表述：haa-=>6/||a

n\\b

9

圖形語言

直線與平面的平行關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系（平面問題）即

線線平行=>線面平行

（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

符號表述：a\\a,au0,=b=>a\\b

簡記：線線平行，線面平行

注意：①定理中三個條件缺一不可

②簡記：線面平行，則線線平行

③定理的作用：判斷直線與直線平行的重要依據(jù)

④定理的關(guān)鍵：尋找平面與平面的交線

知識點17：平面與平面平行的判定定理

（1）兩個平面平行的判定定理

如果一個平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.（定理簡述：線面平行，則面

面平行。）

（2）符號語言

au0,buP

a(\b=PnaH。

alia.blfa

(3)圖形語言

（4）定理應(yīng)用

線線平行=>面面平行

知識點18：平面與平面平行的性質(zhì)定理

（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理

兩個平行平面，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

（2）符號語言

alip

aC\y=a>=>a//b10

=b

(3)圖形語言

(4)定理應(yīng)用

面面平行=>線線平行

知識點19：異面直線所成角的概念

f

已知兩條異面直線。，b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線b//bt我們把直線，與ZT所成的

角叫做異面直線。與。所成的角(或夾角)

知識點20：異面直線所成角的范圍

由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角。是銳角或直角，即0,<ew9(r.

注意：①異面直線所成角的大小不能是0、若兩條直線所成角是0、則這兩條直線平行，不可能異面.②

空間兩直線所成的角9的范圍是<0<90°.

知識點21：直線與平面垂直

(1)定義：如果一條直線/與平面。內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線/垂直于平面a,記為/_Lo.直

線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面，垂線與平面的交點P叫垂足.

(2)符號語言：對于任意。ua,都有/_L〃n/_La.

(3)圖形語言：1

(4)應(yīng)用：①若直線與平面垂直，則這條直線與這個平面內(nèi)的所々直線都垂直，從而可?尸/

判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂直，即“若。_La"ua,則aJLb"，簡述為“若線面|一

垂直，則線線垂直”因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也是證明直線與直線

垂直的重要且常用的方法.

②重要結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

知識點22：直線與平面垂直的判定定理

(1)直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線

與此平面垂直.簡記：線線垂直n線面垂直

（2）符號語言：Ila,lib.aua,bua,a[yb=PnILa

（3）圖形語言：如圖

知識點23：直線與平面所成角

（1）直線與平面所成角的定義

如圖，一條直線21和一個平面a相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜p/

線，斜線和平面的交點力叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO,過垂足O^A~/~—

和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所4/j/

成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

（2）說明：①/為斜線

②/與a的交點/為斜足

③直線04為在平面a上的射影

④直線/與射影OA所成角ZPAO=0（角。）為直線/與平面a上所成角

⑤當(dāng)直線4尸與平面。垂直時：6=90°：當(dāng)直線NP與平面。平行或在平面。內(nèi)時：6=0°

⑥直線與平面所成角。取值范圍：0r<6><90\

（3）直線與平面所成角的求解步驟

①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平而引垂線，在這?步確定垂足的位置是關(guān)鍵：

②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；

③算：一般借助三角形的相關(guān)知識計算.

知識點24：二面角

（1）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平

面叫做二面角的面.

⑵符號語言：

①二面角a-48-6.

②在a,￡內(nèi)分別取兩點P,QiP^AB,。任45）,可記作二面角尸一48-。；

③當(dāng)棱記作/時，可記作二面角”―/一￡或者二面角。一/-。.

12

知識點25：二面角的平面角

(1)定義：在二面角2一/一尸的棱/上任取一點O,以點O為垂足，在半平面。和夕內(nèi)分別作垂直與直線/的

射線。力，。8,則射線和構(gòu)成的N/08叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度；

②二面角的大小與垂足。在/上的位置無關(guān)一個二面角的平面角有無數(shù)個，它們的大小是相等的；

③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的

兩功必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩功必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可，前兩個要素決定了二面

角的平面角大小的唯一性，后一個要素表明平面角所在的平面與棱垂直；

④二面角的平面角。的范圍是0。494180°，當(dāng)兩個半平面重合時，0=0,；當(dāng)兩個半平面合成一個平面

時,<9=180°

⑤當(dāng)兩個半平面垂直時，夕=90"，此時的二面角稱為直二面角.

知識點26：二面角的平面角求法

(I)定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(一般取特殊點)，過該點在兩個半平

面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二

面角的平面角定義的三要素來找出平面角.

(2)三垂線定理及其逆定理

①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜

線垂直.

②三垂線定理(逆定理)法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另

一面上的射影也與二面角的棱垂直從而確定二面角的平面角.

(3)找(作)公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交

線所成的角，就是二面角的平面角.

(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角(或其補角).

(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法(該方法我們將在先擇性必修第一冊中學(xué)到).

知識點27：平面與平面垂直

(1)定義:一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

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(2)符號語言：a_L尸

(3)圖形語言

知識點28：平面與平面垂直的判定定理

(1)定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)

(2)符號(圖形)語言：a_La,.夕

(3)應(yīng)用：線面垂直=面面垂直.

知識點29：平面與平面垂直的性質(zhì)定理

(1)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

(2)符號(圖形)語言：a1/3,aAp=l,aua,a工1

(3)應(yīng)用：①面面垂直=>線面垂直②作平面的垂線.

03題型歸納

題型一棱柱、棱錐、棱臺、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

例題1:(23-24高一下?浙江?期中)下列四個命題中正確的是<)

A.每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.所有棱長都相等的四棱柱是正方體

C.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所闈成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱

D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐

14

例題2：（多選）（23-24高一下,河南南陽?階段練習(xí)）下列說法不正確的是（）

A.底面是矩形的四棱柱是長方體

B.有兩個面平行，其余四個面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體

C.棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形

D.有兩個面平行、其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

例題3：⑵-24高一下?新疆烏魯木齊?期中）下列關(guān)于空間幾何體的說法：

①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；

②棱柱的兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行；

③棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊膨；

④圓柱的任意兩條母線互相平行.

其中正確結(jié)論的序號是.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一下?天津?期末）下列說法正確的是（）

A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是該圓柱的母線

B.直四棱柱是長方體

C.將一個等腰梯形繞著較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐

D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

2.（多選）（2024?全國?模擬預(yù)測）我們熟知的五面體有三棱柱、三棱臺、四棱錐等.《九章算術(shù)》中將

有三條棱互相平行且不全相等，有一個面為矩形的五面體稱之為“芻薨”，對于“芻薨”下列判斷正確的是（）

A.三棱臺體不是“芻差”

B.“芻費”有且僅有兩個面為三角形

C.存在有兩個面為平行四邊形的“芻薨”

D.“芻亮”存在兩個互相平行的面

3.（多選）（23-24高一下?重慶璧山?階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A.棱柱是有且僅有兩個平面平行，其他平面為平行四邊形的多面體

B.圓柱是由一個四邊形繞著其中一條邊旋轉(zhuǎn)得到的

C.棱臺的所有側(cè)棱交于同一點

D.用一個平面去截圓錐，這個平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺

題型二表面路徑最短問題

例題1：（2024?湖南郴州?三模）已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為10和5,側(cè)面積為300肛為圓臺的

一條母線（點8在圓臺的上底面圓周上），郵為44的中點，一只螞蟻從點H出發(fā)，繞圓臺側(cè)面一周爬行到

點明，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（）

A.30B.40C.50D.60

15

例題2：（24-25高二上?上海寶山期末）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里,

母線長為40公里，4是母線S/1上一點，且48=10公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從A繞山一周

到8的觀光鐵路.這條鐵路從A出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則上坡段鐵路的長度為公里.

A

例題3：（23-24高一下?安徽?期中）（1）如圖1,底面半徑為1cm,高為女m的圓柱，在點月處有一只螞

蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點力爬到點氏求螞蟻爬行的最短路線長（冗取3）；

（2）如圖2,在長方體48CZ）-44GA中，M是CG的中點，AB=BBX=4cm,BC=3cm,一只螞蟻從

點,4出發(fā)沿長方體表面爬行到點必，求螞蟻爬行的最短路線長.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?上海?期末）如圖，在長方體/8CO-44G。中，AB=A^=4,AD=3t點￡為48上的

動點，則Q盧+CE的最小值為.

2.（23-24高一下?山東莉澤?階段練習(xí)）正三棱錐S-/8c中，AB=BC=CA,S4=l,4SB=3Q°,過點力

作一截面與側(cè)棱S8,SC分別交于點E,F,則截面△力即周長的最小值為.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體48cA中，點〃在側(cè)面8CC心上運動，

則|21|+歸4|的最小值為.

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題型三空間幾何體的截面圖及應(yīng)用

例題1：（24-25高三上?天津南開?期末）在棱長為2的正方體Z88-44GA中，瓦廠分別為力。,8。的

中點，則平面4石”截該正方體的外接球得到的截面的面積為（）

6兀八7元-12兀、14TI

A-TB-Tc-VD-V

例題2:（多選）（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，已知正方體48CO-4AGA的棱長為1,E,F,G,H

分別是的中點，用一個平面。截該正方體，截面面積為S,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若。經(jīng)過點用4,G,則$=立

2

B.若a經(jīng)過點B,G,H,則5=如

2

C.若。經(jīng)過點瓦￡G,則a經(jīng)過點A

D.則。經(jīng)過點EE".則。經(jīng)過的一個三等分點

例題3：（2024高三?全國?專題練習(xí)）我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)?商功》中，將底面是直角三角形的

直三棱柱稱為“塹培”.在如圖所示的“塹堵”力4。一小89/中，AB=AC=AAr=2,M.N分別是64和4G的

中點，則平面4WN截“塹堵74。一力向。所得截面圖形的面積為.

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鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?上海普陀?階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為4,過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面

積的最大值為8,則該圓錐底面半徑的取值集合為（）

A.{2碼B.（0,2>/2]C.（0,4）D.12收,4）

2.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）在長方體力44GA中，AB=2AD=2AAlt點M是線段GR上靠近

。的四等分點，點N是線段CG的中點，則平面力截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.（多選）（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知正四面體尸-力8C,過點。的平面將四面體的體積平分，則

下列命題正確的是（）

A.截面一定是銳角三角形B.截面可以是等邊三角形

C.截面可能為直角三角形D.截面為等腰三角形的有6個

題型四立體圖形的直觀圖

例題1：（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）如圖，按斜二測畫法所得水平放置的平面四邊形48CO的直觀圖

為梯形A'B'C'D',其中AB'//C/y,WBUB'C',NB'=4,D'C'=2.以原四邊形ABCD的邊AD為軸旋轉(zhuǎn)一周

A.14尤乃+8萬B.--—71

「80112亞

例題2：（多選）（23-24高一下?河北?期中）如I圖所示，用斜二測畫法畫一個水平放置的V/6C,04=2,

A.O'4=2B.的面積為立

18

C.04邊上的高為指D.0%邊上的高為巫

2

例題3：（24-25高二上?上海?期中）已知V/5C用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形“TTC

（如圖），則V48。中邊長與“ZC的邊長相等的邊.上的高為

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的“8C的直觀圖，得到如圖所示的等

腰直角"WC'.已知0'是斜邊ZTC的中點，且力'0'=1,則"AC的邊4c上的高為（）

2.（23-24高一下?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖所示，梯形HA'CZ）'是平面圖形力8co用斜二測畫法得到的

3.（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直

題型五簡單組合體的表面積與體積

例題1：（24-25高二上?廣東湛江?階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為TT且半徑為2的扇形，則該

圓錐的體積為（）

19

2后7T

—"I"

例題2：（24-25高三上?河北?階段練習(xí)）已知三棱錐P-48C,PA=PB=PC=26AB=2R，BC=20

月C=6,三棱錐P-48C外接球的表面積與三棱錐P-48C的惻面積之比為（）

A.4（x/3-l）7tB.4A/3TID.4\&

例題3：（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）已知圓錐SO（0是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為行，

高為1，尸、。為底面圓周上任意兩點.有以下三個結(jié)論：

①三角形SP。面積的最大值為2；

②三棱錐。-SP。體積的最大值為:

③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為9幾.

以上正確的結(jié)論是.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）已知三棱錐P-4BC滿足月8=3,BC=4,AC=5,且其體積為4拒,

若點尸（正投影在V48C內(nèi)部）到48,BC,4。的距離相等，則三棱錐的表面積為（）

D.27

2.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）如圖所示是一個無蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺組成,

圓柱的底面圓的半徑為1,圓臺的下底面圓的半徑為2,圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為

卜立+2）兀，則瓶子的體積為（）

B.4冗

3.（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）長為石，寬為1的矩形片4。。，以它的對角線4C所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一

周，得到的旋轉(zhuǎn)體的體枳為.

20

題型六內(nèi)切球問題之獨立截面法

例題1：（24-25高二上?湖北荊州?階段練習(xí)）若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的

球），且母線與底面所成角的正弦值為立，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）

2

4137

A.—B.2C.—D.—

363

例題2：（24?25而二上?山東濰坊?期中）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4,母線長為6.若該圓臺內(nèi)

部有一個球，則球的半徑的最大值為；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體48CO-44C；〃，且底面力8C。在

圓臺的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長最大時，以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線的長度為.

例題3：（23-24高一下?福建龍巖?期中）“圓錐容球”是指圓錐形的容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面

及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）.己知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為2百，則該圓錐內(nèi)切球

的表面積為.（容器壁的厚度忽略不計）

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23高二上?安徽宣城?開學(xué)考試）如圖，正四棱臺力8。-44GA的上、下底面邊長分別為

2G,4,邑分別為44,8CCD刃的中點，8個頂點叫EG,4,4G，"構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球,

則該內(nèi)切球的表面積為（）

C.4a兀D.2缶

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）與圓臺的上下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若某圓臺的

上底面圓的半徑為1,且該圓臺的內(nèi)切球半徑為2,則該圓臺的惻J面積為.

3.（23-24高三上?江蘇?階段練習(xí)）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為斗弓且Q=3,則此圓臺的內(nèi)切

球（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球）的表面積為.

題型七內(nèi)切球問題之等體積法

例題1：（2024?吉林?三模）點〃、N為正四面體力8。。的內(nèi)切球球面上的兩個動點，7為棱A8上的一動

21

點，則當(dāng)/A/7W取最大值時，tan/M77V=（）

A.1B.V2C.2x/2D.4V2

例題2：（23-24高二下?浙江寧波?期末）已知四棱錐。-48。。的底面是矩形,平面44_1_平面力8。0,以=3,

PB=4,8=5.若四棱錐P-48C。內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個面均相切），則3C=,該內(nèi)

切球的表面積為.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高二下?安徽?階段練習(xí)）已知矩形/8C力中，AB=2,AD=\,沿著對角線力。將A/CQ折起，使

得點。不在平面力8。內(nèi)，當(dāng)4。工8c時，求該四面體/18CZ）的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（）

人18-9V3口19-9^k21-128c24-126

A.------B.-------C.--------D.--------

5555

2.（23?24高三上?江西萍鄉(xiāng)?期末）已知球。是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，4?為球。的一條直徑，點

P為正四面體表面上的一個動點，則PAPB的取值范圍為.

題型八外接球問題之補形法

例題1：（24-25高二上?安徽宣城?開學(xué)考試）在四面體力8c。中，已知點E,尸分別為棱48,CO中點，

且EFL力B,EFlCD,若AB=CD=2,EF=2,則該四面體外接球半徑為（）

A.V2B.6C.272D.273

例題2：（23-24高一下?遼寧本溪?期末）正六面體部分頂點連線，面的中心連線完美的勾勒出正四面體，

正八面體，而正四面體的外接球恰好是正方體的外接球，立體兒何中有好多類似的事實存在：若四面體

P-ABC,PA=BC=>[6,PB=AC=2/2,PC=AB4"R）,則該四面體外接球的體積為.

例題3：（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）已知正四面體力8。中，E是棱4。上一點，過E作平面滿足

AB\\atCD//a,若AB、CO到平面a的距離分別是3和9,則正四面體/出。。的外接球被平面。截得的

截面面積為.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知四面體力4c。的各個頂點都在球。的表面上，BA,BC,8。兩兩垂

直，且48=jn，BC=3,80=4,E是棱8c的中點，過E作四面體48。。外接球。的截面，則所得截

面圓的面積的最大值與最小值之差是（）

2.（2024?黑龍江?二模）已知三棱錐P-9C的四個面是全等的等腰三角形，且21=2,PB=AB=3,則

三棱錐尸一月8C的外接球半徑為:點。為三棱錐P-48c的外接球球面上一動點，★）=恒時，動

2

點。的軌跡長度為.

3.（23-24高一下?天津紅橋,期末）已知三棱錐尸-48C四個頂點在球面上，PA=PB=PC,YABC是邊

22

長為立的正三角形，E,尸分別是P4,48的中點，/CEF=90。,則此球的半徑是.

題型九外接球問題之單面定球心法

例題1:（24-25高三上?甘肅張掖?期中）在三棱錐力-8C。中，平面ZBAC=\2^°，

AB=AD=AC=2,則該棱錐的外接球半徑為（）.

A.#>B.y/bC.3D.4

例題2：（24-25高三上?山東荷澤?開學(xué)考試）已知正三棱錐力-BC。的外接球為球。,/8=6.%?=3百，點

E為的中點，過點E作球O的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（）

21-1「271rr,

A.—7iJ2nB.—K,12TIC.[2171,48TC]D.[27TC,48TI]

例題3：（24-25高二上?浙江杭州?期中）已知正三棱錐力-8CQ的外接球為球0,羽=6,8。=3百/是球0

上任意一點，E為8。的中點，則尸E的取值范圍為.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一下?浙江?期中）已知一圓柱的底面直徑與母線長相等，高為3,在該圓柱內(nèi)放置一個棱長為

。的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則當(dāng)。取得最大值時正四面體的高（）

A.273B.276C.x/6D.2

2.（23-24高一下?四川南充?階段練習(xí)）已知正四棱錐Q-48CQ底面正方形的邊長為2,側(cè)棱長為石，球

0為其外接球，若點S是正四棱錐尸-48CQ的表面上的一點，。為球。表面上的一點，則|S。的最大值為

（）

3L

A.-B.2C.2及D.3

3.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）現(xiàn)有10個直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長為。的正四面體盒子中，

則。的最小值為（）

A.4+46B.5+4"C.6+4#D.8+4而

題型十證明三點共線（三線共點）問題

例題1：（23-24高一?全國?課后作業(yè)）如圖，N8CO為空間四邊形，點E、尸分別是44、的中點，點

G、〃分別在C。、力加上，RDH=-AD,DG=-CD,求證：

33

（2）EH、6G必相交且交點在直線8。上.

23

例題2：(24-25高二上?上海?階段練習(xí))如圖，在正方體48CO-44GA中，點〃、N分別是44、B￡

的中點.求證：

(1)直線4M和CN在同一平面上；

(2)直線AM、BB、和CN交于一點.

例題3：(23?24高二上?北京?階段練習(xí))如圖，在空間四邊形中，E、尸分別是48、力。的中點,

G,〃分別在8C,CD上,且BG:GC=DH:HC=l:2.

(1)求證：；

(2)設(shè)￡G與77/交于點P,求證：P,4c三點共線.

24

鞏固訓(xùn)練

1.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）已知V力〃。與與G所在平面相交，并且交于一點.若

ABQA^=M,BCC]B}Cl=N,ACf]AlCl=P,求證:M,N,P共線.

2.（23-24高二上?四川樂山?階段練習(xí)）在空間四邊形力BC。中，H,G分別是/。，CO的中點，E,/分

CFAF1

別邊48,8c上的點，且==蕓=:.求證：

「BEB3

C

⑴四邊形EFG”為梯形；

（2）直線E〃，BD,"G相交于一點.

3.（2024高一?江蘇?專題練習(xí)）如圖所示，在正方體48cA中，瓦廠分別為力從力同上的點且

?FcCE=M.求證：點24M三點共線.

25

題型十一由平面基本性質(zhì)做截面圖

例題1：（24-25高二上?河南南陽?階段練習(xí)）已知正方體力8。。-44GA棱長為2,E為棱的中點，則

經(jīng)過4，。,E三點的正方體的截面面積為（）

A.1B.372C.—D.日

222

例題2：（23-24高一下?河南三門峽?期末）在正四棱柱444GA中，48=4,44=6,分別是

力凡力。的中點，則平面wvq截該四棱柱所得截面的周長為（）

A.1472B.18x/2C.10+60D.10+10及

例題3：（24-25高二上?上海?期中）如圖，己知F,G,，分別是正方體力44GA的棱,

BC,CC,,G"的中點，且歐與例相交于點。.

（1）求證：點。在直線QC上；

（2）作出過A、G、3三點的截面；（寫出作圖過程并保留作圖痕跡）

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?黑龍江?開學(xué)考試）如圖，在棱長為12的正方體力3c。-44GA中，反尸分別是棱。4G

的中點，平面4E/7與直線CC交于點N,則NF=（）

A.10B.15C.6^5D.2而

26

2.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）在棱長為2的正方體力88-44GA中，”是棱44的中點