第八章立體幾何初步易錯訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練

01目錄

易錯題型一混淆斜二測畫法中長度有變有不變......................................................1

易錯題型二在直線與平面平行中，忽視直線是否在平面內(nèi)的多種情況................................4

易錯題型三錯誤認(rèn)為，無數(shù)等于所有..............................................................8

易錯題型四忽略異面直線所成角的范圍............................................................9

壓軸題型一截面問題及截面中的最值問題..........................................................12

壓軸題型二表面積體積最值（范圍）問題.........................................................19

壓軸題型三異面直線所成角最值（范圍）問題....................................................28

壓軸題型四線面角的最值（范圍）問題..........................................................33

壓軸題型五二面角的最值（范圍）問題..........................................................39

壓軸題型六線面角的探索性問題.................................................................45

壓軸題型七二面角的探索性問題................................................................5（）

壓軸題型八點到平面距離的最值問題（含探索性問題）.............................................62

02易錯題型

易借題型一混淆斜二測畫法中長度有變有不變

直觀圖還原原圖時注意長度有變有不變：與X軸平行（重合）的線段長度不變；與V軸平行（重合）的線

段長度直觀圖是原圖的一半.

例題1：（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）如圖，按斜二測畫法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖

為梯形A'B'C'D',其中A'B'//mA'B'VB'C；A'B'=4,0'C=2.以原四邊形ABCD的邊AD為軸旋轉(zhuǎn)一周

得到的幾何體體積為（）

出

B.3

1

C巴D.巨

33

【答案】D

【知識點】斜二測畫法中有關(guān)量的計算

【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則還原出原圖形，進而確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，再根據(jù)相關(guān)特征計算幾何體體積即

可.

【詳解】解：由題意,A'B'//C'D\A'B'LB'C',A'B'=4,D'C=2.

所以AD=1/1?

如圖，原圖形ABCD中，AB//CDyABlAD,AB=4,DC=2fAD=2Ar>=AT2,

所以直角梯形ABCD的邊AD為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺,

222

r=y(r,+/y+t\r2)h=^-(2+4+2x4)x4\f=

例題2：（24-25高二上?上海?期中）己知V/18C用斜二測畫法通出的直觀圖是邊長為1的正三角形△48'U

【答案】瓜

【知識點】正弦定理解三角形、斜二測畫法中有關(guān)量的計算

【分析】由斜二測畫法的特點可知平行J7軸的邊長不變，在直觀圖中由止弦定理求出O'C，然后求出原

圖中OC的長度即可求解.

【詳解】由于VZ5c用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊民為1的正三角形△4'8'C',

則VABC中邊長與的邊長相等的邊為/方=AB，

在AOWC‘中HC'=1,/HOC=45°,/CW8'=60”，

CO'A'C

所以NCWO'=120"，由正弦定理得:

sinZC'A'O'sinACO'A

2

所以O(shè)'C'=%=當(dāng)，所以原圖V/8C中法邊上的高為：OC=2x且=而，

V222

故答案為：V6.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的△48c的直觀圖，得到如圖所示的等

腰直角人已知。是斜邊/?'「的中點,且4。'=1,則的邊/?「上的高為（）

【答案】C

【知識點】斜二測回法中有關(guān)量的計算

【分析】在直觀圖中"C'//y軸，可知原圖形中力C〃y軸，故.4匕:34。，求直觀圖中4c'的長即可求

解.

【詳解】因為直觀圖是等腰直角AHB'U,z^jv=9（r,jY/=i,所以4匕=應(yīng)，

根據(jù)直觀圖中平行卜y袖的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

所以V48c的邊8c上的高力。=2At=2V2.

故選：C.

2.（23-24高一下?青海海南?期中）若水平放置的四邊形力。AC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四

邊形OWC*為等腰梯形，AC//OB\AC=4,0B=8,則原四邊形408c的面積為.

/O'*x'

【答案】24&

【知識點】斜二測畫法中有關(guān)量的計算

【分析】由斜二測畫法的知識求解.

【詳解】在直觀圖中，四邊形HC'8'O'為等腰梯形，N4O?=45。，而HC'=4,O'8'=8,

則0W=2及，由斜二測畫法得原四邊形408C是直角梯形，AC//OB,ZAOB=90°,OA=472,0B=2AC=S,

如圖.

3

所以四邊形AOBC的面積為AC+0Bx()A=—x4y/2=240.

22

故答案為：24拒

易錯題型二在直線與平面平行中，忽視直線是否在平面內(nèi)的多種情況

例題1:（24-25高二?全國?課后作.業(yè)）已知」是平面a外的一條直線,直線〃ua,那么“m〃武是“m/二”

的條件.

【答案】充分不必要

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、判斷線面平行、線面平行的性質(zhì)

【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，以及性質(zhì)定理，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷.

【詳解】根據(jù)線面平行的判斷定理可知,“旭//〃”,可得“〃//a”，反過來，“m〃a”，附并不平行于平面a

的所有直線，所以“〃是“〃"以”的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

例題2：（2025高一?全國?專題練習(xí)）如圖，點力，B,C,M,/V為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列

各圖中，不滿足直線MN//平面48C的是（）

【答案】D

【知識點】判斷線面平行、證明線面平行

【分析】對J-'A,根據(jù)MN//4C結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷：對于B,根據(jù)結(jié)合線面平行的

判斷定理即可判斷；對于C,根據(jù)MN/出。，結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對于D,根據(jù)四邊形AMNB

是等腰梯形，44與所在的直線相交，即可判斷.

【詳解】對于A,如下圖所示，

4

易將ACHEF,MNNEF,

則A/N//4C,

又MN(Z平面ABC,ACu平面ABC,

則MN//平面力8C,故A滿足：

對于B,如下圖所示，

產(chǎn)上為所在棱的中點，連接打斥,碎

易得4E=BC,AEHBC,

則西邊形力改石為平行四邊形，

48,C,E四點共面，

又易知MNUBE,

又MN(Z平面ABC、BEu平面ABC,

則MN//平面/8C,故B滿足；

對干C,如下圖所示，

點。為所在棱的中點，連接。4Z)C,Z)8,

易得四邊形/18CQ為平行四邊形，4民C,加四點共面,

目MNUBD、

又MN(Z平面ABC,BDu平面ABC,

則MN〃平面川?C,故C滿足；

5

對于D,連接

由條件及止方體的性質(zhì)可知四邊形4MN8是等腰梯形，

所以48與A/N所在的直線相交，

故不能推出MN與平面/BC不平行，故D不滿足，

故選:D.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，點4B,C,M,N是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足MN〃平面

力的有()

【答案】AD

【知識點】判斷線面平行

【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項.

【詳解】對于A,連接EO,由下圖可知跖V//QE//4C,平面49C,力Cu平面49C,所以MN〃平

面,4BC,A正確.

6

對于B：設(shè)，是EG的中點，A是。戶的中點，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知,

ABHNH,MNHAH/iBC,AMHCH,故六邊形MNHCB4為正六邊形,所以A,B,C,，：N,M六

點共面，B錯誤.

對于C,如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知MN〃力。，由于4。/平面43C',

由于四邊形力￡CN是矩形，所以。是NE中點，由于

由干MNN平面力8C,8Qu平面44C,所以MN〃平面力BC,D正確.

故選：AD.

2.（24-25高二?上海?隨堂練習(xí)）以下命題中（其中〃，力表示直線，a表示平面），寫出所有錯誤命題的編

號,

①若?！?，bua,則“Pa②若“Pa,bPa,則

③若hPa,則④若“u夕，a[\p=b,則

【答案】①②③

【知識點】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷線向平彳1

7

【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系一一判定命題即可.

【詳解】對于①，若aRb,%ua,則“Pa或aua,故①錯誤；

對于②，若aPa,bPa,則?！颉芭c異面或a與〃相交；故②錯誤；

對于③，若bPa,則或aua,故③錯誤；

對于④，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，“若aPa,aup,aA6=6,則?！ㄐ?，是正確的.

故答案為：???

易錯題型三錯誤認(rèn)為，無數(shù)等于所有

例題1：（2024高一下?全國?專題練習(xí)）判斷正誤，正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”.

（1）若直線/與平面。內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則）

（2）若aA.b,b上a,則a//a.（）

（3）若直線/與平面。垂直，則直線/與平面.。內(nèi)所有直線所成的角均為90。.（）

（4）若直線/與平面a所成的角為0。，則直線〃/平面a.（）

【答案】錯誤錯誤正確錯誤

【知識點】線面角的概念及辨析、判斷線面是否垂直、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】利用線面垂直的意義判斷（1）；利用線面垂直的性質(zhì)判斷（2）；直線與平面所成角的定義判斷

（3）（4）.

【詳解】直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條宜線垂直，當(dāng)這無數(shù)條直線為一組平行直線時，不能推出/_La,（1）

錯誤；

當(dāng)。_1_力/_1,。時，aua或（2）錯誤；

若直線/與平面。垂直，則宜線/垂直于平面。的每條直線，直線1與平面。內(nèi)所有直線所成:打角均為90°,

（3）正確;

若直線/與平面a所成的角為0。，則/ua或〃/a,（4）錯誤.

故答案為：錯誤；錯誤；正確；錯誤

鞏固訓(xùn)練

1.（21-22高一?全國?課后作業(yè)）判斷

（1）異面直線出力所成角的范圍為[?！?90].（）

（2）如果一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.（）

（3）如果一條直線與一個平面內(nèi)所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.（）

【答案】xx弋

【知識點】判斷線面是否垂直、異面直線所成的角的概念及辨析

【分析】通過反例可知（1），（2）錯誤；根據(jù)線面垂直的判定可知（3）正確.

【詳解】對于（1）,若。力所成角為0。，則直線重合或平行，不是異面直線，（1）錯誤；

對于（2）,若一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條互相平行的直線都垂直，那么這條直線可能在平面內(nèi)，（2）錯誤;

8

對干（3）,若一條直線與平面內(nèi)所有直線都垂直，則必存在兩條相交直線與該直線都垂直，則這條直線與

這個平面垂直，（3）正確.

故答案為：x：x；Y.

易錯題型四忽略異面直線所成角的范圍

例題1:（24-25高二上?重慶江北?期中）如圖，在平行六面體44GA中,

ZBAD==^DAA,=60°,AB=AD=A^=2,則異面直線“。與4G所成角的余花值為（）

A.AB.一比C.近D,一包

6633

【答案】A

【知識點】求異面直線所成的角、求空間向量的數(shù)量積、用空間基底表示向量

【分析】利用空間向量的基本定理將瓦萬與福用基底而，而，石表示出來，然后利用數(shù)量積的定義求解

即可.

【詳解】由條件可知，B,D=AD-AB.=AD-AB-AA?A,C,=AB+AD,

而布=（否-荏-/）.（%+通）

=J5JS+JD*2-J52-^5--^5=04-4-4-0-2x2x1-2x2x1=-4

麗卜西一翦一羽=J（施一而一珂2=7刀+刀+肉2K7b2%）.42兀亍

4+4+4-0-2x2x2xL2x2x2x』=2百，

22

楊福二-4V6

所以cos（甌碉=

|麗口?！?6x2及一6

所以異面直線4。與4G所成角的余弦值為在.

6

故選：A

例題2:（23-24高一下?福建三明?期末）如圖，在直三楂柱48。-44G中，AA=AC=BC=3,/ACB=9。。,

點。是線段44上靠近4的三等分點，則直線CQ與8c所成角的余弦值為（）

9

【答案】C

【知識點】求異面直線所成的角、余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)題意，可以用正方體模型補形解題，通過平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.

【詳解】根據(jù)題意，可以補充成一個棱長為3的正方體.

如圖所示.取的三等分點",連接鳥根據(jù)正方體性質(zhì)，知道

則NC與9為直線CQT用C所成角或補角.

連接CR,CW.根據(jù)正方體性質(zhì)，知道〃A_LCM.

3=+CM，=h+(3揚2=匯

。片=4BC2+BB；=V32+32=3x/2

DB=4ND；+NB：=A/12+32=而

力-SDOA我士則打得/八A廠D&+CB：-CD：10+18-226石

在MAC中，余弦定理知道，cos/。跳=-mxCg=2x回x3&=詼=而'

則直線G。與4c所成角的余弦值為

io

故選：c.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高二上?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，在正方體4BCD-中，M,N分別為Z）8,4G的

中點，則宜線和夾角的余弦值為（）

10

【答案】C

【知識點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、求異面直線所成的角

【分析】由正方體結(jié)構(gòu)特征證得4M//NC,化為求直線NC和8N夾角余弦值，應(yīng)用余弦定理求結(jié)果.

【詳解】連接4CCN,由正方體的性質(zhì)，知"也是/C的中點，且4G/〃C，即4N//CM,

又A、N=CM=,故A,MCN為平行四邊形，則AXM//NC,

所以直線4"和8N夾角，即為直線NC和BN夾角，

若正方體棱長為2,則NC=BN=m,BC=2,

所以cos4NC=，'C=—2、即直線4M和網(wǎng)夾角余弦值為上

2NCBN2x633

故選：C

2.（24-25高二上?遼寧?開學(xué)考試）如圖，在正四面體48CQ中，點E是線段力。上靠近點。的四等分點,

則異面直線￡（?與〃。所成角的余弦值為（）

A3Mx/13r3而

A?-------Rri?-----v?---------

261326

II

【答案】A

【知識點】余弦定理解三角形、求異面直線所成的角

【分析】設(shè)尸為靠近8處的四等分點，則EF//BD,故/在C或其補角即為8。與。￡所成的角，由余弦

定理可求C￡=CF=而，故可取線線角的余弦值.

【詳解】

C

設(shè)產(chǎn)為48靠近6處的四等分點，則EF//BD,

故LFEC或其補角即為BD與CE所成的角，

設(shè)正四面體的棱長為4,則?！?：,故CE=J167I=1x4=而，

同理W=而丘=］即=3,故cos/FEC二2二3、傷,

4g26

故選:A.

03壓軸題型

壓軸題型一截面問題及截面中的最值問題

例題1：（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）將一個圓柱整體放入棱長為1的正方體力8C。-44GA中，圓柱的

軸線與正方體體對角線4。重合，則圓柱的底面圓的半徑的取值范圍為（）

【答案】C

【知識點】圓柱軸械面的有關(guān)計算、正棱柱及其有關(guān)計算

【分析】如圖，作出正方體44GA的兩個全等且平行的正三角形截面EFG，，設(shè)

4廣正△￡＞明內(nèi)切圓的半徑為「，即可得到/?=逅”設(shè)圓柱的高為力，推導(dǎo)H」"=G-26，

6

求出〃的臨界值，即可得解.

12

【詳解】如圖，作出正方體的兩個全等且平行的正三角形械面EFG,E￡G「

則出I柱的兩個底面是△EFG,△片1G1的內(nèi)切|員］,

設(shè)4-=。（0＜。＜1）,正△加G,內(nèi)切圓的半徑為「，則尸G=x/5a，

所以尸=—FGX—=a，

236

6

而q產(chǎn)=2〃=—a?所以4Q="尸"2=——a?

33

設(shè)圓柱的高為3乂正方體的體對角線為爐訴產(chǎn)=6,

所以h=6-匝a,即人二百一2萬，

3

顯然當(dāng)圓柱兩底面圓逐漸靠近時，半徑越來越大，令人=6-2、￡=（），解得==如,

4

所以圓柱底面圓的半徑取值范圍是

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是利用圓柱和正方體的對稱性推導(dǎo)出人=石-2萬，然后利用臨界

分析求解.

例題2：（多選）（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，正方體力BC'O-44GA的棱長為1，動點。在對角線

叫上,過P作垂直于8R的平面a,記平面。與正方體力44GA的截面多邊形（含三角形）的周

長為人面積為S,5P=x,xe（0,V3）,下面關(guān)于函數(shù)“X）和S（x）的描述正確的是（）

13

A.S(x)最大值為苧；

B.“x)在.”與時取得極大值;

C.L(x)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減:

D.S(x)在上單調(diào)遞增,,8上單調(diào)遞減

【答案】AD

【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、判斷正方體的截面形狀

【分析】分情況作出截面，求截面的周長和面積，進行判斷.

【詳解】當(dāng)xe0,當(dāng)時，截面為等邊三角形，如圖:

因為=所以印=&x，

，邛，亨.

所以：L⑶=3限,S(x)=0

2

上單調(diào)遞增，且￡(加3夜,S(x)<^~

此時￡(x),S(x)在

如圖:

8可=8"=/

14

所以六邊形EEG〃A/N的周長為：3V2/+3V2(l-/)=3^為定值;

做MV11.平面"CQ于M,MM}_L平面ABCD于M.

設(shè)￥面EFGHMN與平面ABCD所成的角為。，則易求cosa=巫.

3

所以SEFDHMN'COS(X=SFANMCG，

所以SWMN=-g*=G

在(),；上遞增,在上遞減,

所以截面面積的最大值為=斗￡,此時，=7，即x=g.

[224)422

所以S(x)在惇，用上遞增，在‘奈乎上遞減.X邛時，s(x)最大，為限

”(孚，可時，易得:

￡(.V)=3N/6(>/3-X),5(力=((67)-

此時“力，S(x)在(苧,6上單調(diào)遞減，"x)<3拉，S(.x)<當(dāng).

綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.

故選：AD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)xe(4，Wk，如果堅持用K表示截面的周長和面積，感覺比較麻煩，設(shè)力E=f,

\/

用/表示截面的周長和面積就省勁多了.

例題3：(23-24高一下?四川成都?期末)已知在四面體尸-48C中，P4=8C=2,P8=/c=",PC=AB=5

PM=A/C?m=而，平面夕滿足MN_L尸，記平面￡截得該四面體P-48C的多邊形的面積為S,則S

的最大值為.

【答案】1

【知識點】棱錐中截面的有關(guān)計算、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類

【分析】將四面體還原至長方體，可知點M，N分別為PC,49中點，即可得當(dāng)夕經(jīng)過中點時，截面

面積最大，再根據(jù)長方體的性質(zhì)可得解.

【詳解】由尸4=8C=2,PB=AC=幣，PC=AB=5

可知四面體尸-48c的各個棱為長方體各面的對角線,

沒長方體的長寬高分別。，b,c.

15

!l!iJ-a2+c2=V72,解得力=1

\b2+c2=452[c=2

如圖所示，

由麗=沅，麗=而，

可得點M,N分別為PC,48中點，

所以MNLK方體以為對角線的平面，

又MN1萬，所以戶與長方體以48為對角線的平面平行，

易知當(dāng)《經(jīng)過MN中點時，截面面積最大，

此時尸與長方體的截面如圖所示，其中四邊形EFG"即為尸與四面體相交所得截面，

此時E、F、G、〃分別為各邊中點，

則SEFGH=qS長方形=］bc=',

故答案為：1.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（23-24高三上?江蘇揚州?期末）極長為2的正方體"CQ-44GA中，下列選項中正確的有

（）

A.過4c的平面截此正方體所得的截面為四邊形

B.過4。的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為［26,4及］

c.四棱錐C-44G。與四棱錐G-48C'。的公共部分為八面體

D.四棱錐c-44GA與四棱錐G-/以。。的公共部分體積為:

【答案】ABD

16

【知識點】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、錐體體積的有關(guān)計算、判斷正方體的截面形狀、正棱柱及其有

關(guān)計算

【分析】利用平面基本性質(zhì)作任意?個過4。的平面截正方體所得的截面，即可判斷A；由正方體結(jié)構(gòu)特

征，討論良〃為各線段上的中點及從中點向線段兩端運動時截面面積的變化情況確定截面面積的范圍判斷

B；令BG，BC交于G,C〃,CQ交于〃，/G令。交于結(jié)合平面基本性質(zhì)找到四棱錐c-4TGA與四

棱錐G-48CO的公共部分，并應(yīng)用棱錐的體積公式求其體積判斷C、D.

【詳解】連接4與線段上任意一點尸，過C作。石〃4尸交。A于七，

所以過4c的平面截此正方體所得的截面為四邊形44方，A對；

由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形4打。上為平行四邊形，

若瓦尸為各線段上的中點時，四邊形4月CE為菱形，

此時截面最小面積為:x4Cx￡F=；x2右X2及=26；

根據(jù)正方體的對稱性，E從中點向?；駻運動時，四邊形力/CE面積都是由小變大,

當(dāng)E與。重合時，截面最大面積為2X」XZX?X4力=2X,X2X2Q=4&；

22

綜上，過4c的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為［26,4拒］,B對；

令BG，4c交于G,CD】,C\D交手H,力6,4c交于。，

顯然G,",0是各交線的中點，若/是CC中點，連接〃7,〃0,0G,G/,

所以四棱錐C-44GA與四棱錐C-48CO的公共部分為六面體a〃OGG，C錯;

［2

其體積%HOGC\=^C-iHOG+^Ct-IHOG=2x—xlxlxl=—,D對.

故選：ABD

17

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于A、B,應(yīng)用平面基本性質(zhì)作出截面，結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征判斷；對于C、D,

將棱錐各側(cè)棱連接，由平面基本性質(zhì)判斷相交平面，進而確定公共部分的幾何特征.

2.（2024?河北邯鄲?二模）在長方體44GA中，彳5=5,力。=3,的=4,平面a〃平面均4^股,則

a截四面體力。24所得截面面積的最大值為.

【答案】10

【知識點】棱錐中截面的有關(guān)計算

【分析】結(jié)合題意畫出對應(yīng)圖形后，設(shè)《￡=久，則有與=要=/=2=2，則有

OjCjTWTUVUVW

S平吁四邊形A5A.W=S平懺四邊形山小7-2黑力-2￡g借助/表示出面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】平面a截四面體力CR用的截面如圖所示，

設(shè)性="則需=篝=蒜=葛=2,所以四邊形NSRM為平行四邊形，

RMR“UW、MNI/TV,

在矩形U/WT中，C/r=4,KFr=5,?=5Z,MC/=5（l-Z）,77?==4（I-Z）,

則S平行四邊形MSR”=S平行四邊形-22、附-2*s“,R

4420-20』=1（,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

=20-2O[A2+(1-A)2-=20-2C2A

乙乙乙

故答案為：10.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是得到所得截面后，借助割補法表示出該截面面積，并結(jié)合二次函數(shù)的

性質(zhì)求解.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在邊長為4的正方形力8c。中，如圖甲所示，E,F,M分別為8C,CD,

防的中點，分別沿4E,力/及EF所在直線把“EBe/E和/PC折起，使8,C,。三點重合于點P,得

到三棱錐尸-力斯；過點.”的平面截三棱錐P-/E/外接球所得截面的面積的取值范圍是.

乙

18

【答案】1,6句

【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題、球的截面的性質(zhì)及計算

【分析】三棱錐。-力￡”外接球即為補形為邊長2,2,4長方體的外接球，球過某點的最大截面是過球心的截

面，最小截面為以該點為圓心的圓，此時該點與球心得連線與截面垂直，所以解之可得.

【詳解】

由干4,。,。三點重合于點

/EPF=NECF==ZADF=90/APE=NABE=90,

由此可將三棱錐補為長方體，如圖所示，

PE=CE=2,PF=CF=2,AP=AB=4,

則長方體邊長為2,2,4,

三棱錐尸-力￡戶外接球即為補形后長方體的外接球，

外接球直徑即為長方體對角線長度2R=722+22+42=2而，所以R二振，

過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，

其中最大截面為過球心O的大圓，此時截面圓的面積為冗代=加：而『=6兀，

最小微面為過點“垂直于球心O與必連線的圓，

由于球心O為長方體對角線上的中點，則。時為長方體正面對角線的一半，

所以O(shè)A/=-V42+22=V5,

2

此時截面圓半徑廠=JR2-OM2=而每=］,則截面圓的面積為“2=兀，

所以過點M的平面截三棱錐尸-他尸的外接球所得截面的面積的取值范圍為［兀,6可.

故答案為：［對6句.

壓軸題型二表面積體積最值（范圍）問題

例題1：（23-24高二下?湖南益陽?階段練習(xí)）已知正四面體S-48c的棱長為1,如果一高為，的長方體

6

能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該長方體的長和寬形成的長方形面積的最大值為（）

11

A，3B.-D.

624

【答案】D

19

【知識點】基本不等式求積的最大值、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】根據(jù)題意，要滿足一高為f的長方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則長方體的對角線長不超過止

四面體的內(nèi)切球的直徑.利用正四面體的性質(zhì)可得內(nèi)切球的半徑，利用長方體的對角線與內(nèi)切球的直徑的

關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

B

設(shè)正四面體S-如圖所示，

可得它的內(nèi)切球的球心。必定在高線S〃上，

延長力H交8C于點。，則。為6c的中點，連接S。,

則內(nèi)切球切S。于點，連接力O.

VH是正三角形ABC的中心，:.AH:HD=2:1,

'：RQO4HSR4DSH，

???——=——=3,可得。4=3O〃=S。，

OHDH

因此，SH=40H,可得內(nèi)切球的半徑寵=

???正四面體棱長為I,

RIAS“。中，SD=+HD?=j（4R）2+=*，解得R24，

要滿足一高為李的長方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，

則長方體的對角線長不超過正四面體的內(nèi)切球的直徑，

設(shè)該長方體的長和寬分別為“，y,

該k方體的長和寬形成的長方形面積為s,

?二42之［骼］+/+?2,x2+y2,

??.s=vw3i=_L,即長方形面積的最大值為

22424

故選：D

20

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了正四面體的性質(zhì)、勾股定理、長方體的對角線與其外接球的直徑之間的關(guān)

系，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于找到長方體的對角線與內(nèi)切球的直徑的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式求

解.

例題2：（多選）（2025?廣西柳州?模擬預(yù)測）如圖.直四棱柱444GA的底面是梯形，

AB//CD,AD1DC,BC=CD=2,=48=1/是棱的中點，。是棱GA上一動點（不包含端點），

B.8a與平面8P。有可能平行

C.三角形8P0周長的最小值為姮士運

2

D.三棱錐力-8〃。的體積為定值

【答案】ACD

【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、判斷線面平行

【分析】對于A,當(dāng)。為的中點時，可證得四邊形ABC.Q為平行四邊形，則AC,與BQ互相平分于點M,

連接PM可證得尺”//AC,再由線面平行的判定定理可得結(jié)論，對于B,由題意打得“Q與平面BPQ相交,

對「C,把力8GA沿G"展開與CQ"G在同一平面（如圖），則當(dāng)氏P，。共線時，8。+尸。有最小值,

從而可求得結(jié)果，對于D,VA-BPQ=VQ-ABP，SdABP為定值，可得結(jié)論.

【詳解】對于A,連接當(dāng)。為G"的中點時，Q3=；D?,

因為CO=CQ=2,CD〃CQ\,AB〃CD,AB=1,

所以48=0G=1,AB//0G,

所以四邊形力BG。為平行四邊形，

所以/iG與8。互相平分，設(shè)4G與8。交于點M，連接PM,

因為P是棱CG的中點，所以PM〃/1C，

因為力C<z平面5P。，八"€:平面8/5。，

所以4C〃平面8P。，故A正確；

21

對尸B,BQ、〃BD、又。任平面BP。，夕。與平面8PQ只能相交，

所以5A與平面8P。只能相交,故B錯;

對于c,BP要,把48GA沿GA展開與COAG在同一平面（如圖），

則當(dāng)從P,。共線時，8。+。。有最小值，

在直角梯形48CO中，AB//CD,ADLDC,BC=CD=2,AB=1,

則,4Q=也二十=6,

所以+

=G7T=2,

V29

所以8P=

2

所以三角形8尸。周長的最小值為姮鏟羽，故C正確;

對干D,^A-BPQ=匕M"，因為定值，因為CO〃GA，AB//CD,

所以〃G。1,

因為。￡<Z平面/BP,4Bu平面4BP,

所以GR〃平面力HP,故。到平而42P的距離也為定值,所以匕T〃。為定值.所以D正確，

故選:ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線面平行的判定和棱錐體的求法，對「選項A解題的關(guān)鍵是證明四邊形

月8G。為平行四邊形，從而可找到/G的中點，再利用三角形中位線定理可得線線平行，考杳空間想象能

力，屬于較難題.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（24-25高三上?安徽準(zhǔn)南?階段練習(xí)）在直棱柱"CO-44GR中，44=2,底面為棱長是1

22

的菱形，/BAD=g若/=〃?而+〃刀，其中則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)m時，三棱錐尸-8G3的體積為定值

B.當(dāng)〃=；時，三棱錐P-8GA的體積為定值

c.當(dāng)陽+〃=i時，貝”4+做的最小值為姐也

2

D.若Pj=亞,則點尸的軌跡長度為與

【答案】AD

【知識點】余弦定理解三角形、錐體體積的有關(guān)計算、判斷線面平行、判斷面面平行

［分析】對J--A,分別取邊AD,BC的中點/鳥，連接片鳥，先推得點P在線段68上，證明片鳥!/平面BCR

即可判斷A正確：對于B,利用反證法思路，假設(shè)打巴〃平面8G僅，推出矛盾即可判斷B錯誤；對于C,

通過翻折平面使動點尸與4,用在一條直線.上時，24+尸片取得最小，計算即可判斷C錯誤：對于D，結(jié)合

圖形將PD.=45轉(zhuǎn)化成DP=l,從而可判斷點P的軌跡形狀.

【詳解】

對于A,分別取邊力。,8。的中點％E，連接々4，

1—,I——,

當(dāng)用=5時，由4夕=5力。+〃月氏〃4r0』可知點?在線段，鳥上運動，

因片￡〃ZX?〃DC"/｝（Z平面8CQ,Q￡u平面8CQ,故片用〃平面8cQ1,

即點P到平面4GA的距離不變，而△3GR的面積是定值，

故三棱錐尸-8CQ1的體積為定值，即A正確；

23

DiG

對干B,如圖，分別取邊48,CO的中點,巴，連接4匕，

當(dāng)〃時，由方+瓦/〃?（）』可知點尸在線段々鳥上運動，

假設(shè)AE〃平面8G0,易得48〃AG，因44a平面BQ。,AGu平面8GA，故48〃平面8GA，乂

PsP&cAB=P、,PR,ABu平面ABCD,

故平面ABCD//平面BCR,

這與平面ABCD與平面有公共點B矛盾，故假設(shè)不成立，

即g與平面BGR不平行,故當(dāng)點P在線段鳥鳥上運動時，

點、P到平面4GA的距離在改變，

故三棱錐尸-8G。的體積不是定值，故B錯誤；

對于C,當(dāng)加+〃=1時，由萬=川力+〃而，可得點P在邊上,

將A48。翻折到與AB。4共面時，連接44，交BD于點、P,

此時4,四,0三點共線，P4+P4最小，即44的長.（如圖）

1

在中，4B=4D=&,BD=1,則8S/DBN=2_叵

'x/510

故3inNDB4=H言=嚕，因BBJBD,

則cosNB"=cos(90°+ZD5J,)=一sin/OB4=--,

24

在中,由余弦定理,4^=（＞/5）2+22-2X2XV5X

=9+2如豐,故C錯誤;

~2~

對干D,如圖，依題，點P在平面力8c。內(nèi)，又PD、=后,連接。P,

在RtaOQ尸中，力。=^（